[2026福州期末]【项目背景】
某小区有4栋住宅楼:B栋,C栋,D栋,E栋.A处为小区入口.为方便小区居民传递爱心,物业管理处准备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱”,现需确定“爱心衣物回收箱”的具体位置,使它到4栋住宅楼的路程之和最短.
【实地测绘】
某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动,先根据物业管理处工作人员提供的信息绘制了如图1所示的小区简易平面示意图,又进一步抽象成了如图2所示的几何图形,并测量出了某些道路的长度,具体数据如下表所示,其中主干道AC与BE交于点F,BE//CD,小组成员又借助电子角度仪测得∠BCE=90°,EC平分∠BED.
|道路|AE|AB|BC|BF|EF|DE|
|----|----|----|----|----|----|----|
|长度/m|80|60|60|36|64|50|
【问题解决】
请根据以上信息,解决下列问题:
(1)求道路CD和AC的长.
(2)请你在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置(用点G表示)及需要增设的小路CG,DG,并说明理由.

解:(1)
∵BE//CD,
∴∠BEC=∠DCE.
∵EC平分∠BED,
∴∠CEB=∠CED,
∴∠CED=∠DCE,
∴CD=DE=50 m.
∵AE=80 m,AB=60 m,EF=64 m,BF=36 m,
∴BE=64+36=100(m),
∴AE²+AB²=BE²,
∴△ABE是直角三角形,且∠EAB=90°.
在Rt△ECB中,由勾股定理得,
EC=√(EB²-BC²)=√(100²-60²)=80(m),
∴AE=EC.
∵AB=BC,
∴BE垂直平分AC,
∴FA=FC.
∵S△AEB+S△EBC=1/2 AE·AB +1/2 EC·BC=1/2 EB·AC
∴AC=(AE·AB + EC·BC)/EB=(80×60 +80×60)/100=96(m).
(2)"爱心衣物回收箱"的具体位置点G及需要增设的小路CG,DG如图所示.理由如下:
∵EB垂直平分AC,
∴GA=GC.根据"两点之间线段最短",可得AD,EB的交点G到4栋住宅楼(C栋、E栋、D栋、B栋)的路程之和最短.