1. [2025 威海期末] 如图,教室墙面$ADEF$与地面$ABCD$垂直,点$P$在墙面上,$PA = 5 \ \mathrm{m}$,$AB = 5 \ \mathrm{m}$,点$P$到$AF$的距离是$4 \ \mathrm{m}$,若一只蚂蚁要从点$P$爬到点$B$,求它爬行的最短路程.

解:如图,过点 P 作 PG⊥AF 于点 G,连接 PB,则这只蚂蚁从点 P 爬到点 B 的最短路程即线段 PB 的长.
∵ PA = 5 m,AB = 5 m,点 P 到 AF 的距离是4 m,
∴ PG = 4 m,
∴ AG = $\sqrt{PA^2 - PG^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3(\mathrm{m})$,
∴ BG = AG + AB = 3 + 5 = 8(m),
∴ PB = $\sqrt{BG^2 + PG^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80}(\mathrm{m})$,
∴ 这只蚂蚁爬行的最短路程是$\sqrt{80}\ \mathrm{m}$.

2. [2025辽阳二中月考] 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程.（杯壁厚度不计）

解:如图,将玻璃杯侧面展开,作点 B 关于 EF 的对称点B',作B'D⊥AE 交 AE 的延长线于点 D,连接 AB'.
由题意可得,DE = B'F = BF = 1 cm,AE = 9 - 4 = 5(cm),
∴ AD = AE + DE = 6 cm.
∵ 玻璃杯的底面周长为 16 cm,
∴ $B'D = \frac{1}{2} × 16 = 8(\mathrm{cm})$(点 B 和点 A 是相对的,故 B'D 的长度是底面周长的一半),
∴ $AB' = \sqrt{AD^2 + B'D^2} = 10\ \mathrm{cm}$.
由“两点之间线段最短”可知,蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为 10 cm.

3. 教材P133例2变式 某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆、下方是长方形的仿古通道.
(1)如图1,现有一辆卡车,装满家具后的高为4 m,宽为2.8 m,若该通道是单行道,这辆送家具的卡车能通过这个通道吗?为什么?
(2)如图2,若该通道是双行道,一辆宽为1.5 m、高为3.9 m的车能通过这个通道吗?为什么?

解题思路:(1)先控制卡车的宽度满足要求,计算卡车宽度满足要求时,通道所对应的高,将4与此高比较大小即可.
(2)先控制卡车的高度满足要求,计算卡车高度满足要求时,通道所对应的宽(此宽指的是双行道中1个道的宽),将此宽与1.5比较大小即可.
解:(1)能.理由如下:
如图1,设半圆 O 的半径为 R,则 R = 2 m.
作 EF//AD,且 EF = 2.8 m(卡车装满家具后的宽),过点 O 作OH⊥EF 于点 H,连接 OF,
则 HF = 1.4 m(卡车边缘距通道中线的距离).
∵ $OH = \sqrt{OF^2 - HF^2} = \sqrt{2^2 - 1.4^2} = \sqrt{2.04}(\mathrm{m})$.
∴ 此时通道的高为 AB + OH = $(2.6 + \sqrt{2.04})\mathrm{m}$.
∵ $\sqrt{2.04} ＞ \sqrt{1.96} = 1.4$,
∴ $2.6 + \sqrt{2.04} ＞ 2.6 + 1.4 = 4$.
∴ 这辆卡车能通过此通道.

(2)能.理由如下:
如图2,当车高为 3.9 m 时,OH = 3.9 - 2.6 = 1.3(m),
此时 $HF = \sqrt{OF^2 - OH^2} = \sqrt{2^2 - 1.3^2} = \sqrt{2.31}(\mathrm{m})$.
∵ $\sqrt{2.31} \approx 1.52 ＞ 1.5$,
∴ 该车能通过此通道.