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11. 如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷跷板AB长为4米，支柱OH垂直地面。如图1，当AB的一端A接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为$\frac{1}{2}$；如图2，当AB的另一端B接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为$\frac{1}{3}$，则支柱OH的长为（
A.0.5米
B.0.6米
C.0.8米
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$米
C
）A.0.5米
B.0.6米
C.0.8米
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$米
答案
11. C
12. [一题多解]如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若AB=6,AD=8,求$\sin∠ OEA$的值.
答案
12. 解:方法一:如图,连接EC.
$\because$ 四边形ABCD为矩形,
$\therefore OA=OC,∠ ABC=90°$. 由勾股定理易得 $AC=10$, 即 $OA=5$.
$\because OE⊥ AC,\therefore AE=CE$. 在 $\mathrm{Rt}△ EDC$ 中,设 $EC=AE=x$, 则 $ED=AD-AE=8-x$, $DC=AB=6$.
由勾股定理得 $x^2=(8-x)^2+6^2$,
解得 $x=\frac{25}{4},\therefore AE=\frac{25}{4}$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE$ 中, $\sin∠ OEA=\frac{OA}{AE}=\frac{4}{5}$.
方法二:$\because OE⊥ AC,\therefore ∠ EOA=90°$.
$\because$ 四边形ABCD是矩形, $\therefore ∠ ADC=90°$.
$\therefore ∠ OEA=∠ ACD$.
$\because CD=AB=6,AD=8,\therefore AC=10$.
$\therefore \sin∠ OEA=\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{5}$.
13. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$AD=2$,$BD=1$,$DC=4$,求$∠ BAC$的度数. 
答案
13. 解:$\because AD=2,BD=1,DC=4,\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{AD}{DC}$.
$\because ∠ BDA=∠ ADC=90°$,
$\therefore △ BDA∽△ ADC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ C$.
$\because ∠ C+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAC=90°$.
$\because ∠ BDA=∠ ADC=90°$,
$\therefore △ BDA∽△ ADC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ C$.
$\because ∠ C+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAC=90°$.
14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,垂足为点$D$,$BC=18$,$AD=6$.
(1)求$\sin B$的值.
(2)点$E$在$AB$上,且$BE=2AE$,过$E$作$EF ⊥ BC$,垂足为点$F$,求$DE$的长.
(1)求$\sin B$的值.
(2)点$E$在$AB$上,且$BE=2AE$,过$E$作$EF ⊥ BC$,垂足为点$F$,求$DE$的长.
答案
14. 解:(1)$\because AB=AC,AD⊥ BC,BC=18$,
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}BC=9$,
$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}$,
$\therefore \sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.
(2)$\because AD⊥ BC,EF⊥ BC$,
$\therefore EF// AD$,
$\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}=\frac{BF}{BD}=\frac{2}{3}$,
$\therefore EF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×6=4,BF=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}×9=6$,
$\therefore DF=BD-BF=9-6=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $DE=\sqrt{EF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}BC=9$,
$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}$,
$\therefore \sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.
(2)$\because AD⊥ BC,EF⊥ BC$,
$\therefore EF// AD$,
$\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}=\frac{BF}{BD}=\frac{2}{3}$,
$\therefore EF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×6=4,BF=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}×9=6$,
$\therefore DF=BD-BF=9-6=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $DE=\sqrt{EF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
