1. 下列各图中，a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）


A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙

1.B

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），先求出左侧△ABC的三个内角，明确各边对应的角、各角夹的边的对应关系，再逐个对比甲、乙、丙三个三角形的边角条件，符合判定定理的即为和△ABC全等的三角形。第一步先计算△ABC的未知角∠A，第二步明确△ABC的边角对应关系，第三步分别验证三个三角形的条件是否符合全等判定。
【解析】
首先计算△ABC的∠A：
根据三角形内角和为180°，得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-58°=72°$。
可得△ABC的核心边角条件：
1. 边$a$和边$c$的夹角为$∠ B=50°$；
2. $∠ A=72°$，对边为$a$，且存在内角$∠ B=50°$。
逐个判断三个三角形：
甲：50°角的对边为$a$，但△ABC中50°角（$∠ B$）的对边为$b\ne a$，边角不对应，不全等。
乙：边$a$、边$c$的夹角为50°，与△ABC中$a$、$c$的夹角$∠ B=50°$完全对应，符合SAS全等判定，乙和△ABC全等。
丙：内角分别为50°、72°，且72°角的对边为$a$，与△ABC中“$∠ A=72°$对边为$a$，且有50°内角”的条件对应，符合AAS全等判定，丙和△ABC全等。
因此乙和丙与△ABC全等。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的核心是准确找到边角的对应关系，避免因边角对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C$. 若$∠ ACB = 70°$, $∠ ACB' = 100°$,则$∠ BCA'$的度数为 （）

A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$50°$

第2题图 第3题图

2.C

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，因此可以得到∠A'CB'和已知的∠ACB度数相等。接下来观察图形中角的组成关系，∠ACB'是由∠ACB和∠A'CB'减去二者重叠的∠BCA'得到的，通过这个和差关系就能列式求出∠BCA'的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ A'B'C$，
∴$∠ A'CB' = ∠ ACB = 70°$（全等三角形的对应角相等）。
根据图形中角的和差关系可得：
$∠ ACB' = ∠ ACB + ∠ A'CB' - ∠ BCA'$
将$∠ ACB'=100°$，$∠ ACB=∠ A'CB'=70°$代入上式：
$100°=70°+70°-∠ BCA'$
解得：$∠ BCA'=140°-100°=40°$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是掌握全等三角形对应角相等的性质，解题的关键是准确识别图形中各角的位置关系，理清重叠角与其他角的和差逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 如图，AD，BC 相交于点 E. 若 $△ ABE ≌ △ DCE$，则下列结论中不正确的是 （）

A.$AB=DC$
B.$AB// CD$
C.E 为 BC 中点
D.$∠ A=∠ C$

3.D

【分析】
本题考查全等三角形性质的应用，解题思路如下：首先根据全等三角形的书写规范确定两个三角形的对应边、对应角，再结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，逐一验证各选项的结论是否成立，最终找出不正确的选项即可。
【解析】
已知$△ ABE ≌ △ DCE$，根据全等三角形的性质：
1. 对应边相等，可得$AB=DC$，$BE=CE$，$AE=DE$，因此A选项结论正确；
由$BE=CE$可知E是BC的中点，因此C选项结论正确。
2. 对应角相等，可得$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$，因此D选项$∠ A=∠ C$的结论错误。
又因为$∠ A=∠ D$，二者是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$，因此B选项结论正确。
综上，不正确的结论是D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，中点的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是根据全等三角形的书写顺序准确找到对应边和对应角，再结合平行线判定等相关知识推导结论，易错点是混淆全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在△PAB中,∠A=∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=42°,则∠P的度数为

()

A.$44°$
B.$66°$
C.$96°$
D.$92°$

4.C

【分析】
首先结合已知条件，△PAB中∠A=∠B，且给出两组对应边相等AM=BK、BN=AK，优先考虑利用SAS判定定理证明△AMK和△BKN全等；再通过全等三角形对应角相等的性质，结合三角形外角的性质推导∠A与已知∠MKN的等量关系，最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
在△AMK和△BKN中，
$\{\begin{array}{l} AM=BK(已知)\\ ∠A=∠B(已知)\\ AK=BN(已知)\end{array} $
∴△AMK≌△BKN（SAS）
∴∠AMK=∠BKN（全等三角形的对应角相等）
2. 推导∠A的度数：
根据三角形外角的性质，△AMK的外角∠MKB=∠A+∠AMK，
同时∠MKB=∠MKN+∠BKN，
因此∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
将∠AMK=∠BKN代入上式，消去相等角可得：∠A=∠MKN=42°，
∴∠B=∠A=42°。
3. 计算∠P的度数：
在△PAB中，三角形内角和为180°，
∴∠P=180°-∠A-∠B=180°-42°-42°=96°。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形与三角形角度计算的综合题，解题的核心是通过已知的边角关系证明三角形全等，再通过角的等量代换求出底角的度数，最终求解顶角。
【难度系数】
0.65

5.如图，AD是$△ ABC$的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且$DE=DF$，连接BF，CE，有下列说法：①$CE=BF$；②$△ ABD$与$△ ACD$的面积相等；③$BF // CE$；④$△ BDF ≌ △ CDE$，其中正确的有 （）
姓名: 分数:

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

5.D

【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质得到BD=CD，再结合已知DE=DF和对顶角相等，通过SAS判定△BDF与△CDE全等，再根据全等三角形的性质验证对应边相等、对应角相等，进而推导边平行的结论；最后根据等底同高的三角形面积相等，判断中线分得的两个三角形面积是否相等，逐一验证4个说法即可。
【解析】
1. 验证结论④：
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，即$BD=CD$。
在$△ BDF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ BDF=∠ CDE\quad (\mathrm{对顶角相等}) \\ DF=DE \end{cases}$
∴$△ BDF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，故④正确。
2. 验证结论①：
由$△ BDF≌△ CDE$，根据全等三角形对应边相等，可得$CE=BF$，故①正确。
3. 验证结论③：
由$△ BDF≌△ CDE$，得$∠ F=∠ CED$，根据内错角相等，两直线平行，可得$BF// CE$，故③正确。
4. 验证结论②：
△ABD和△ACD中，底$BD=CD$，高均为点A到BC的垂线段长度，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可知两个三角形面积相等，故②正确。
综上，①②③④均正确，共4个正确说法。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先证明三角形全等，再结合全等的性质、三角形中线的特点逐一推导结论，是全等三角形应用的典型考题。
【难度系数】
0.8

6.如图,在$△ ABC$中,$BD⊥ AC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$,$BD$和$CE$相交于点$O$,$AO$的延长线交$BC$于点$F$.若$AB=AC$,则图中全等的直角三角形有（）

A.3对
B.4对
C.5对
D.6对

6.D

【分析】
解题时先明确已知条件：AB=AC，BD⊥AC、CE⊥AB可得多个直角，结合全等直角三角形的判定定理（HL、AAS、ASA等）和等腰三角形的性质，按固定顺序逐一寻找全等的直角三角形，避免漏数。首先利用公共角、等边先证明较大的直角三角形全等，再借助已证的全等结论得到相等的边、角，依次推导其他直角三角形全等即可。
【解析】
我们按顺序逐一找出全等的直角三角形：
1. △AEC≌△ADB
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
又
∵∠EAC=∠DAB（公共角），AB=AC，
∴△AEC≌△ADB（AAS）。
2. △BCE≌△CBD
由△AEC≌△ADB得CE=BD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，BC=CB（公共边），
∴△BCE≌△CBD（HL）。
3. △AOE≌△AOD
由△AEC≌△ADB得AE=AD，
∵∠AEO=∠ADO=90°，AO=AO（公共边），
∴△AOE≌△AOD（HL）。
4. △BOE≌△COD
由△AOE≌△AOD得OE=OD，
∵∠BEO=∠CDO=90°，∠BOE=∠COD（对顶角相等），
∴△BOE≌△COD（ASA）。
5. △ABF≌△ACF
由△AOE≌△AOD得∠BAF=∠CAF，
又
∵AB=AC，根据等腰三角形三线合一，得AF⊥BC，即∠AFB=∠AFC=90°，
∵AF=AF（公共边），
∴△ABF≌△ACF（HL）。
6. △BOF≌△COF
由等腰三角形三线合一得BF=CF，
∵∠OFB=∠OFC=90°，OF=OF（公共边），
∴△BOF≌△COF（HL）。
综上，共有6对全等的直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等直角三角形的判定；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题综合考查全等直角三角形的判定和等腰三角形的性质，解题时要有序梳理图形中的边、角关系，借助已证结论推导后续全等，避免出现漏数、多数的问题，熟练掌握相关判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6

7.如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用它观看视频，这样做的数学道理是.

7. 三角形具有稳定性

【分析】
首先观察手机支架的结构，可发现支架的支撑部分构成了三角形形状。我们已经学习过三角形的特性，对比易变形的四边形，三角形具有不易变形的性质，也就是稳定性。解题时只需要将生活中实物的结构特征和所学的三角形性质对应起来，就能得到对应的数学原理。
【解析】
观察题图中的手机支架，其支撑结构形成了三角形结构，三角形具有稳定性，一旦成型后形状不容易发生改变，能够稳定支撑手机，避免手机放置时轻易晃动、变形，因此该设计用到的数学道理是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见物品命题，考查几何性质在实际生活中的应用，引导学生主动观察生活中的数学现象，建立书本知识与实际应用的联系。
【难度系数】
0.9

8.在平面直角坐标系中有两点$A(4,0),B(0,2)$.如果点$C$在$x$轴上方,由点$B,O,C$组成的三角形与$△ AOB$全等时,点$C$的坐标为.

8. (4,2)或(-4,2)

【分析】
首先明确△AOB是直角三角形，直角在原点O，OA=4，OB=2。要使△BOC与△AOB全等且点C在x轴上方，需结合全等三角形对应边、对应角相等的性质分类讨论：由于OB是两个三角形的公共边，优先考虑直角的对应关系，若直角对应为∠OBC=∠AOB=90°，则BC与OA对应相等，此时BC平行于x轴，点C纵坐标与B点相同，再分C在y轴左右两侧两种情况计算坐标；若直角对应为∠BOC=∠AOB=90°，则点C在x轴上，不符合x轴上方的要求，直接舍去。
【解析】
已知A(4,0)，B(0,2)，可得OA=4，OB=2，∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。
点C在x轴上方，故C的纵坐标大于0，分两种情况讨论全等：
1. 当点C在y轴右侧时：
若∠OBC=∠AOB=90°，BC=OA=4，OB为公共边，根据SAS判定△BOC≌△OBA。
由于OB沿y轴方向，∠OBC=90°，故BC沿水平方向，C点纵坐标与B点相同为2，横坐标为0+4=4，即C(4,2)。
2. 当点C在y轴左侧时：
同理，∠OBC=90°，BC=OA=4，OB为公共边，△BOC≌△OBA。
C点纵坐标仍为2，横坐标为0-4=-4，即C(-4,2)。
若直角顶点为O，则∠BOC=90°，点C在x轴上，纵坐标为0，不符合“点C在x轴上方”的条件，舍去该情况。
综上，点C的坐标为(4,2)或(-4,2)。
【答案】
(4,2)或(-4,2)
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题考查全等三角形在坐标系中的综合应用，解题时要注意分类讨论对应边和直角顶点的位置，同时要结合题目的限制条件筛选解，避免出现增解或者漏解。
【难度系数】
0.6

9.如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是。

9. 90°

【分析】
解题时先从正方形的性质入手，正方形四条边相等、四个内角都是90°，结合已知AF=BE，可先证明△ABE和△DAF全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，将角进行等量代换，结合直角的和差关系，最后利用三角形内角和即可求出∠AOD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠B=90°，
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DA\\ ∠ B=∠ DAF\\ BE=AF\end{array} $
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠BAE+∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠ADF+∠EAD=90°，
在△AOD中，∠AOD=180°-(∠ADF+∠EAD)=180°-90°=90°。
【答案】
90°
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是通过全等三角形实现角的等量转化，进而推导所求角的度数，是全等三角形与正方形性质结合的典型考法。
【难度系数】
0.7

10.(南宁八中单元卷)如图,四边形ABCD中,AC⊥BC,AD//BC.若AB=a,AD=2BC=b,M为BD的中点,则CM的长为.

10. $\frac{a}{2}$

【分析】
解题时首先观察已知条件：AD//BC，M为BD中点，因此可通过延长CM交AD于点E构造全等三角形，利用平行线内错角相等、中点对应边相等证明△BMC≌△DME，得到CM=ME、BC=DE；再结合AD=2BC推导出AE与BC平行且相等，证明四边形ABCE为平行四边形，得到CE=AB，最后根据CM为CE的一半即可求出结果。
【解析】
解：延长CM交AD于点E。
∵AD//BC，
∴∠MBC=∠MDE，∠MCB=∠MED，
∵M为BD的中点，
∴BM=DM，
在△BMC和△DME中：
$\{\begin{array}{l}∠ MBC=∠ MDE\\ ∠ MCB=∠ MED\\ BM=DM\end{array} $
∴△BMC≌△DME（AAS），
∴CM=EM，BC=DE，
∵AD=2BC，
∴AE=AD-DE=2BC-BC=BC，
又
∵AE//BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE=AB=a，
∵CM=$\frac{1}{2}$CE，
∴CM=$\frac{1}{2}a=\frac{a}{2}$。
【答案】
$\frac{a}{2}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行四边形的判定与性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于几何线段求解类常规题型，核心是结合平行线和中点的特征构造全等三角形完成线段的等量转化，再借助平行四边形的性质建立所求线段与已知线段的关联，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6