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11. 如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=6,AD=AE=5,点D在BC上,连接CE.
(1)△AEC≌△
(2)△CDE的面积是
(1)△AEC≌△
ADB
;(2)△CDE的面积是
$\frac{11}{2}$
.答案
11. (1)ADB (2)$\frac{11}{2}$
解析
【分析】
(1) 要判定与△AEC全等的三角形，先提取已知相等边：由等腰直角三角形性质可得AC=AB、AE=AD，再推导夹角相等：∠EAC和∠DAB都是90°减去公共角∠CAD，因此∠EAC=∠DAB，根据SAS即可判定全等关系。
(2) 先由全等性质推导出∠ECD=90°，确定△CDE是直角三角形，面积可表示为$\frac{1}{2}·CD·CE$；再由全等得CE=BD，将面积转化为$\frac{1}{2}·CD·BD$，最后通过勾股定理和平方差公式计算CD·BD的值，即可求出面积。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
∴AC=AB，AE=AD，$∠ EAC + ∠ CAD = ∠ DAB + ∠ CAD = 90°$
∴$∠ EAC = ∠ DAB$
在△AEC和△ADB中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAC=∠ DAB \\AC=AB\end{cases}$
∴△AEC≌△ADB（SAS）
(2)
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=6，∠BAC=90°
∴$∠ B=∠ ACB=45°$，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$
过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形性质得：$BH=CH=AH=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}$
由△AEC≌△ADB得：$CE=BD$，$∠ ACE=∠ B=45°$
∴$∠ ECD=∠ ACE+∠ ACB=45°+45°=90°$，即△CDE为直角三角形
在Rt△AHD中，AD=5，$AH=3\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$DH^2=AD^2-AH^2=5^2-(3\sqrt{2})^2=25-18=7$
∵$BD=BH-DH$，$CD=CH+DH$，且$BH=CH=3\sqrt{2}$
∴$CD·BD=(3\sqrt{2}+DH)(3\sqrt{2}-DH)=(3\sqrt{2})^2-DH^2=18-7=11$
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}·CD·CE=\frac{1}{2}·CD·BD=\frac{1}{2}×11=\frac{11}{2}$
【答案】
(1)$ADB$；(2)$\frac{11}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将全等三角形和等腰直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过全等转化边和角的关系，利用平方差公式简化计算，无需单独求解CD、BD的长度即可得到面积。
【难度系数】
0.6
(1) 要判定与△AEC全等的三角形，先提取已知相等边：由等腰直角三角形性质可得AC=AB、AE=AD，再推导夹角相等：∠EAC和∠DAB都是90°减去公共角∠CAD，因此∠EAC=∠DAB，根据SAS即可判定全等关系。
(2) 先由全等性质推导出∠ECD=90°，确定△CDE是直角三角形，面积可表示为$\frac{1}{2}·CD·CE$；再由全等得CE=BD，将面积转化为$\frac{1}{2}·CD·BD$，最后通过勾股定理和平方差公式计算CD·BD的值，即可求出面积。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
∴AC=AB，AE=AD，$∠ EAC + ∠ CAD = ∠ DAB + ∠ CAD = 90°$
∴$∠ EAC = ∠ DAB$
在△AEC和△ADB中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAC=∠ DAB \\AC=AB\end{cases}$
∴△AEC≌△ADB（SAS）
(2)
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=6，∠BAC=90°
∴$∠ B=∠ ACB=45°$，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$
过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形性质得：$BH=CH=AH=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}$
由△AEC≌△ADB得：$CE=BD$，$∠ ACE=∠ B=45°$
∴$∠ ECD=∠ ACE+∠ ACB=45°+45°=90°$，即△CDE为直角三角形
在Rt△AHD中，AD=5，$AH=3\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$DH^2=AD^2-AH^2=5^2-(3\sqrt{2})^2=25-18=7$
∵$BD=BH-DH$，$CD=CH+DH$，且$BH=CH=3\sqrt{2}$
∴$CD·BD=(3\sqrt{2}+DH)(3\sqrt{2}-DH)=(3\sqrt{2})^2-DH^2=18-7=11$
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}·CD·CE=\frac{1}{2}·CD·BD=\frac{1}{2}×11=\frac{11}{2}$
【答案】
(1)$ADB$；(2)$\frac{11}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将全等三角形和等腰直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过全等转化边和角的关系，利用平方差公式简化计算，无需单独求解CD、BD的长度即可得到面积。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共40分)
12.(12分)如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图②所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D的大小。
12.(12分)如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图②所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D的大小。
答案
12. 解:
∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD. 在△BAC和△EAD中,
∵$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△BAC≌△EAD,(SAS),
∴∠D=∠C=50°.
∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD. 在△BAC和△EAD中,
∵$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△BAC≌△EAD,(SAS),
∴∠D=∠C=50°.
解析
【分析】
要计算∠D的大小，观察图形可知∠D和已知的∠C分别在△EAD和△BAC中，因此可通过证明两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等求解。首先已知∠BAD=∠EAC，给两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到△BAC和△EAD的一组对应夹角∠BAC=∠EAD；再结合题目给出的AB=AE、AC=AD两组边相等的条件，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到∠D和∠C相等，代入∠C的度数即可求出∠D。
【解析】
解：
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD。
在△BAC和△EAD中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D=∠C，
又
∵∠C=50°，
∴∠D=50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题关键是通过角的和差关系推导得到全等所需的对应夹角相等，再结合已知的边相等条件证明三角形全等，进而求解对应角的度数。
【难度系数】
0.85
要计算∠D的大小，观察图形可知∠D和已知的∠C分别在△EAD和△BAC中，因此可通过证明两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等求解。首先已知∠BAD=∠EAC，给两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到△BAC和△EAD的一组对应夹角∠BAC=∠EAD；再结合题目给出的AB=AE、AC=AD两组边相等的条件，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到∠D和∠C相等，代入∠C的度数即可求出∠D。
【解析】
解：
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD。
在△BAC和△EAD中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D=∠C，
又
∵∠C=50°，
∴∠D=50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题关键是通过角的和差关系推导得到全等所需的对应夹角相等，再结合已知的边相等条件证明三角形全等，进而求解对应角的度数。
【难度系数】
0.85
13.(12分)如图,已知$∠ A=∠ D$,有下列五个条件:①$AE=DE$;②$BE=CE$;③$AB=DC$;④$∠ ABC=∠ DCB$;⑤$AC=BD$.其中能证明$△ ABC$与$△ DCB$全等的条件有几个?并选择其中一个进行证明.
答案
13. 解:共4个:①或②或③或④.若选①AE=DE,则证明如下:在△ABE和△DCE中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AE=DE, \\ ∠AEB=∠DEC, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCE.(ASA),
∴AB=DC,BE=CE,
∴DE+BE=AE+CE,
∴BD=AC,在△ABC和△DCB中,$\begin{cases} AC=DB, \\ AB=DC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB.(SSS)
∴△ABE≌△DCE.(ASA),
∴AB=DC,BE=CE,
∴DE+BE=AE+CE,
∴BD=AC,在△ABC和△DCB中,$\begin{cases} AC=DB, \\ AB=DC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB.(SSS)
解析
【分析】
要判断给定条件能否证明△ABC≌△DCB，首先明确已知条件为∠A=∠D，且两个三角形有公共边BC=CB，结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，SSA不能判定全等）逐个分析条件：
1. 条件①AE=DE：结合∠A=∠D、对顶角∠AEB=∠DEC，可先证△ABE≌△DCE，得到对应边相等，进一步推导可得△ABC和△DCB三组对应边相等，用SSS即可证全等；
2. 条件②BE=CE：可得∠EBC=∠ECB，结合∠A=∠D、公共边BC=CB，用AAS即可证全等；
3. 条件③AB=DC：结合∠A=∠D、对顶角∠AEB=∠DEC，先证△ABE≌△DCE，得到角相等后推出∠ABC=∠DCB，用AAS可证全等；
4. 条件④∠ABC=∠DCB：结合∠A=∠D、公共边BC=CB，直接用AAS即可证全等；
5. 条件⑤AC=BD：构成SSA的条件，不能判定全等。
因此符合要求的条件共4个，选择其中一个按全等判定的规范步骤证明即可。
【解析】
能证明△ABC与△DCB全等的条件有4个：①或②或③或④。
选择条件①AE=DE证明如下：
在△ABE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D, \\AE=DE, \\∠AEB=∠DEC\mathrm{（对顶角相等）},\end{array} $
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴AB=DC，BE=CE，
∴BE+DE=CE+AE，即BD=AC，
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AC=DB, \\AB=DC, \\BC=CB\mathrm{（公共边）},\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
（选择其余三个条件证明，逻辑正确即可）
【答案】
共4个：①、②、③、④；选择①的证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时要充分挖掘图形中的隐含条件（对顶角相等、公共边相等），注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误选条件⑤。
【难度系数】
0.7
要判断给定条件能否证明△ABC≌△DCB，首先明确已知条件为∠A=∠D，且两个三角形有公共边BC=CB，结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，SSA不能判定全等）逐个分析条件：
1. 条件①AE=DE：结合∠A=∠D、对顶角∠AEB=∠DEC，可先证△ABE≌△DCE，得到对应边相等，进一步推导可得△ABC和△DCB三组对应边相等，用SSS即可证全等；
2. 条件②BE=CE：可得∠EBC=∠ECB，结合∠A=∠D、公共边BC=CB，用AAS即可证全等；
3. 条件③AB=DC：结合∠A=∠D、对顶角∠AEB=∠DEC，先证△ABE≌△DCE，得到角相等后推出∠ABC=∠DCB，用AAS可证全等；
4. 条件④∠ABC=∠DCB：结合∠A=∠D、公共边BC=CB，直接用AAS即可证全等；
5. 条件⑤AC=BD：构成SSA的条件，不能判定全等。
因此符合要求的条件共4个，选择其中一个按全等判定的规范步骤证明即可。
【解析】
能证明△ABC与△DCB全等的条件有4个：①或②或③或④。
选择条件①AE=DE证明如下：
在△ABE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D, \\AE=DE, \\∠AEB=∠DEC\mathrm{（对顶角相等）},\end{array} $
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴AB=DC，BE=CE，
∴BE+DE=CE+AE，即BD=AC，
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AC=DB, \\AB=DC, \\BC=CB\mathrm{（公共边）},\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
（选择其余三个条件证明，逻辑正确即可）
【答案】
共4个：①、②、③、④；选择①的证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时要充分挖掘图形中的隐含条件（对顶角相等、公共边相等），注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误选条件⑤。
【难度系数】
0.7
14.(16分)如图所示,在$△ ABC$中,$DE⊥ AB$交AB于E,$DE=CD$,F在AC上,$BD=DF$,$CF=BE$,
(1)求证:$∠ C=90°$;(8分)
(2)若$AF=3$,$FC=2$,求AB的长.(8分)
(1)求证:$∠ C=90°$;(8分)
(2)若$AF=3$,$FC=2$,求AB的长.(8分)
答案
14. (1)证明:在△FCD和△BED中,
$\begin{cases} DF=DB, \\ CF=EB, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴△FCD≌△BED.(SSS),
∴∠C=∠DEB.
∵DE⊥AB.
∴∠DEB=90°.
∴∠C=90°.
(2)解:
∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠C=∠AED=90°. 在Rt△ACD和Rt△AED中,$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED.(HL),
∴AC=AE.
∵AF=3,FC=2,
∴AE=AC=AF+FC=3+2=5.
∵CF=BE,
∴BE=2.
∴AB=AE+BE=5+2=7.
$\begin{cases} DF=DB, \\ CF=EB, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴△FCD≌△BED.(SSS),
∴∠C=∠DEB.
∵DE⊥AB.
∴∠DEB=90°.
∴∠C=90°.
(2)解:
∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠C=∠AED=90°. 在Rt△ACD和Rt△AED中,$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED.(HL),
∴AC=AE.
∵AF=3,FC=2,
∴AE=AC=AF+FC=3+2=5.
∵CF=BE,
∴BE=2.
∴AB=AE+BE=5+2=7.
解析
【分析】
（1）要证明∠C=90°，已知DE⊥AB可得∠DEB=90°，因此只需证明∠C=∠DEB即可。观察已知条件，△FCD和△BED的三组对应边分别相等，可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到∠C=∠DEB，进而完成证明。
（2）求AB的长时，AB可拆分为AE+BE，已知CF=BE=2，因此只需算出AE的长度即可。已知∠C和∠AED都是直角，AD为公共边，CD=DE，可通过HL判定Rt△ACD和Rt△AED全等，得到AE=AC，计算出AC长度后即可求出AB总长。
【解析】
(1)证明：在△FCD和△BED中，
$\begin{cases} DF=DB, \\ CF=EB, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴△FCD≌△BED（SSS），
∴∠C=∠DEB。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠C=90°。
(2)解：
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
∵AF=3，FC=2，
∴AE=AC=AF+FC=3+2=5。
∵CF=BE，
∴BE=2，
∴AB=AE+BE=5+2=7。
【答案】
(1) ∠C=90°得证；
(2) AB的长为7。
【知识点】
全等三角形判定与性质，HL定理，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础应用类题目，解题核心是结合已知条件准确找到对应全等的三角形，通过全等实现角和边的等量转化，步骤清晰，逻辑链条明确，有助于巩固全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠C=90°，已知DE⊥AB可得∠DEB=90°，因此只需证明∠C=∠DEB即可。观察已知条件，△FCD和△BED的三组对应边分别相等，可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到∠C=∠DEB，进而完成证明。
（2）求AB的长时，AB可拆分为AE+BE，已知CF=BE=2，因此只需算出AE的长度即可。已知∠C和∠AED都是直角，AD为公共边，CD=DE，可通过HL判定Rt△ACD和Rt△AED全等，得到AE=AC，计算出AC长度后即可求出AB总长。
【解析】
(1)证明：在△FCD和△BED中，
$\begin{cases} DF=DB, \\ CF=EB, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴△FCD≌△BED（SSS），
∴∠C=∠DEB。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠C=90°。
(2)解：
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=ED, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
∵AF=3，FC=2，
∴AE=AC=AF+FC=3+2=5。
∵CF=BE，
∴BE=2，
∴AB=AE+BE=5+2=7。
【答案】
(1) ∠C=90°得证；
(2) AB的长为7。
【知识点】
全等三角形判定与性质，HL定理，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础应用类题目，解题核心是结合已知条件准确找到对应全等的三角形，通过全等实现角和边的等量转化，步骤清晰，逻辑链条明确，有助于巩固全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
