14.(8分)补充完成下面的证明过程.
如图,已知AB//DC,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.
求证:AD//BC.
证明:∵AB//DC(已知),
∴∠1=∠CFE().(2分)
∵AE平分∠BAD(已知),
∴∠1=∠2(),(2分)
∴∠2=∠CFE(等量代换).
∵∠CFE=∠E(已知),
∴∠2=(),(2分)
∴AD//BC().
(2分)

14. 两直线平行,同位角相等 角平分线的定义 ∠E 等量代换 内错角相等,两直线平行

【分析】
这是一道平行线证明的补充填空题，解题思路如下：第一步，根据已知的AB//DC，结合同位角的特征，确定∠1和∠CFE的数量关系对应的平行线性质；第二步，利用角平分线的定义，得到∠1和∠2相等；第三步，结合已知的∠CFE=∠E，通过等量代换推出∠2和∠E相等；第四步，观察∠2和∠E是AD、BC被AE截得的内错角，根据平行线的判定定理即可推出AD//BC，按照这个推导顺序依次填写对应的依据和等量即可。
【解析】
我们逐空分析推导：
1. 已知AB//DC，∠1和∠CFE是直线AB、CD被直线AE所截形成的同位角，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，因此第一个空填“两直线平行，同位角相等”；
2. 已知AE平分∠BAD，根据角平分线的定义，角平分线会将一个角分成两个大小相等的角，因此∠1=∠2，第二个空填“角平分线的定义”；
3. 前面已推出∠2=∠CFE，又已知∠CFE=∠E，通过等量代换可得∠2=∠E，因此第三个空填“∠E”，对应的依据填“等量代换”；
4. ∠2和∠E是直线AD、BC被直线AE所截形成的内错角，内错角相等即可推出两直线平行，因此最后一个空填“内错角相等，两直线平行”。
【答案】
两直线平行,同位角相等；角平分线的定义；∠E；等量代换；内错角相等,两直线平行
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于基础证明类填空题，核心是区分平行线的性质和判定：已知直线平行推导角的关系用性质，已知角的关系推导直线平行用判定，结合角平分线的定义逐步推导即可完成证明，要求熟练掌握相关定理的几何语言表达。
【难度系数】
0.8

15.（11分）（河池二中单元卷）如图，已知$∠ ABC=90°,∠1=∠2,∠ DCA=∠ CAB$.求证：

（1）$CD⊥ CB$；（5分）
（2）$CD$平分$∠ ACE$.（6分）

15. (1)证明:
∵∠ABC=90°,
∴∠CAB + ∠1 = 90°. 又
∵ ∠CAB = ∠DCA,
∴∠DCA + ∠1 = 90°,即∠DCB=90°,
∴CD⊥CB. (2)由(1)知,∠DCA + ∠1 = 90°,
∴∠DCE+∠2 = 180°-(∠DCA + ∠1)=180°-90°=90°.又
∵∠1=∠2,
∴∠DCA=∠DCE,
∴CD平分∠ACE.

【分析】
（1）要证$CD⊥CB$，只需证明$∠DCB=90°$即可。已知$∠ABC=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得$∠CAB+∠1=90°$，再结合已知条件$∠DCA=∠CAB$，通过等量代换就能得到$∠DCA+∠1=90°$，即$∠DCB=90°$，完成第一问的证明。
（2）要证$CD$平分$∠ACE$，只需证明$∠DCA=∠DCE$即可。由平角的定义可知$∠BCE=180°$，结合（1）的结论$∠DCA+∠1=90°$，可推出$∠DCE+∠2=90°$，再结合已知$∠1=∠2$，根据等角的余角相等即可得到$∠DCA=∠DCE$，完成第二问的证明。
【解析】
(1)证明:
∵$∠ABC=90°$,
∴$∠CAB + ∠1 = 90°$.
又
∵ $∠CAB = ∠DCA$,
∴$∠DCA + ∠1 = 90°$,即$∠DCB=90°$,
∴$CD⊥CB$.
(2)证明:
由(1)知,$∠DCA + ∠1 = 90°$,
∴$∠DCE+∠2 = 180°-(∠DCA + ∠1)=180°-90°=90°$.
又
∵$∠1=∠2$,
∴$∠DCA=∠DCE$,
∴$CD$平分$∠ACE$.
【答案】
(1)证明:
∵$∠ABC=90°$,
∴$∠CAB + ∠1 = 90°$. 又
∵ $∠CAB = ∠DCA$,
∴$∠DCA + ∠1 = 90°$,即$∠DCB=90°$,
∴$CD⊥CB$.
(2)由(1)知,$∠DCA + ∠1 = 90°$,
∴$∠DCE+∠2 = 180°-(∠DCA + ∠1)=180°-90°=90°$.又
∵$∠1=∠2$,
∴$∠DCA=∠DCE$,
∴$CD$平分$∠ACE$.
【知识点】
直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，角平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是梳理清楚图中角的等量关系，需要熟练运用直角三角形性质、余角的性质以及角平分线定义进行推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

16.(12分)如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点.
(1)观察图形,试猜想∠ACB和∠DOE,∠ACB和∠AOE之间具有怎样的数量关系?请说明理由;(5分)
(2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为;(3分)
(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的3倍少60°,求这两个角的度数.(4分)

16. (1)解:猜想:∠ACB+∠DOE=180°,∠ACB=∠AOE. 理由:连接OC.
∵ AD ⊥ BC, BE ⊥ AC,
∴∠ACO+∠COE=90°,∠BCO+∠COD=90°,
∴∠ACO+∠COE + ∠BCO + ∠COD = 180°, 即∠ACB+∠DOE=180°.
∵∠DOE + ∠AOE = 180°,
∴ ∠ACB = ∠AOE. (2)相等或互补 (3)设一个角为α,则另一个角为3α-60°,
∴α+3α-60°=180°或α=3α-60°,解得α=60°或α=30°,
∴这两个角的度数分别为60°,120°或30°,30°.

【分析】
（1）首先观察图形可知AD、BE是△ABC的高，可得∠CEO=∠CDO=90°，要推导∠ACB与∠DOE的关系，可通过连接OC利用直角三角形两锐角互余推导；再结合∠DOE与∠AOE是邻补角，利用同角的补角相等即可得到∠ACB与∠AOE的相等关系。（2）结合第（1）问的结论，总结规律：两边分别垂直的两个角要么相等，要么互补。（3）根据总结的规律分两种情况列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 猜想：$∠ ACB + ∠ DOE = 180°$，$∠ ACB = ∠ AOE$。理由如下：
连接$OC$，
$\because AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ ACO + ∠ COE = 90°$，$∠ BCO + ∠ COD = 90°$，
两式相加得：$∠ ACO + ∠ COE + ∠ BCO + ∠ COD = 180°$，
即$∠ ACB + ∠ DOE = 180°$。
$\because ∠ DOE + ∠ AOE = 180°$（邻补角和为$180°$），
$\therefore ∠ ACB = ∠ AOE$（同角的补角相等）。
(2) 由(1)的结论可归纳规律：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
(3) 设其中一个角为$α$，则另一个角为$3α - 60°$，分两种情况讨论：
① 若两角互补：$α + 3α - 60° = 180°$，
解得$α = 60°$，此时另一个角为$3×60° - 60° = 120°$；
② 若两角相等：$α = 3α - 60°$，
解得$α = 30°$，此时另一个角为$3×30° - 60° = 30°$。
【答案】
(1) $∠ ACB + ∠ DOE = 180°$，$∠ ACB = ∠ AOE$，理由见解析；
(2) 相等或互补；
(3) 两个角的度数为$60°$和$120°$或$30°$和$30°$。
【知识点】
垂直的性质；邻补角性质；分类讨论思想
【点评】
本题侧重考察几何基础性质的应用和分类讨论思想，解题时容易遗漏两角相等的情况导致漏解，熟练掌握两边分别垂直的两角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7