图3-26是三角形的公园，AB，BC，AC是公园外围的三条小路.现准备在公园内修建一座亭子，使得亭子到三条小路的距离相等，你知道亭子应该修建在什么位置吗？

作∠B、∠C的平分线相交于点D，则点D为亭子应修建的位置

【分析】
要确定亭子的位置，首先明确核心要求：亭子到AB、BC、AC三条边的距离相等。我们可以结合角平分线的相关知识思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。因此，到AB、BC距离相等的点在∠B的平分线上，到BC、AC距离相等的点在∠C的平分线上，两个角平分线的交点就同时满足到三条边的距离相等，也就是所求的亭子位置。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
若点到AB、BC、AC三边的距离相等，则该点需同时在△ABC三个内角的角平分线上。
由于三角形的三个内角平分线相交于同一点，因此只需作出∠B和∠C的角平分线，两条角平分线的交点D即为所求位置，该点也在∠A的角平分线上，到三条小路的距离均相等。
【答案】
作∠B、∠C的平分线相交于点D，则点D为亭子应修建的位置
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内心的性质
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，需要将实际需求转化为数学条件，结合角平分线的性质与判定、三角形内角平分线的交点特征即可解题，注重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8

例1 如图3-27，在$△ ABC$中，点E是内心，AE的延长线与$△ ABC$的外接圆相交于点D。求证：$DE=DB$。

图3-27

连接BE.
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4.
∵ ∠2=∠5,
∴ ∠1=∠5.
∴ ∠1+∠3=∠4+∠5.
∴ ∠BED=∠EBD.
∴ DE=DB

【分析】
要证明DE=DB，根据等腰三角形"等角对等边"的判定定理，只需证明∠BED=∠EBD即可。首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，可得到两组相等的角；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可实现角的等量代换；最后通过角的和差关系推导两个目标角相等，即可完成证明。解题时先作辅助线连接BE，再逐步推导角的等量关系。
【解析】
证明：连接BE，
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，即∠1=∠2，∠3=∠4。
∵ ∠2和∠5都是弧BD所对的圆周角，
∴ ∠2=∠5，
∴ ∠1=∠5。
∵ ∠BED是△ABE的外角，
∴ ∠BED=∠1+∠3，
又
∵ ∠EBD=∠4+∠5，
∴ ∠BED=∠EBD，
∴ DE=DB。
【答案】
连接BE.
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4.
∵ ∠2=∠5,
∴ ∠1=∠5.
∴ ∠1+∠3=∠4+∠5.
∴ ∠BED=∠EBD.
∴ DE=DB

【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是通过连接辅助线BE，将待证的边相等转化为证对应角相等，结合角平分线性质和圆周角定理完成角的等量代换，思路清晰，对几何综合分析能力有基础的训练作用。
【难度系数】
0.7

例2 如图3-28,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB,BC,CA$的长分别为$c,a,b$.求$△ ABC$的内切圆半径$r$.

连接OA,OB,OC,则$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OCA}.\because S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· r,S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r,S_{△ OCA}=\frac{1}{2}AC· r,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(a+b+c)· r.$ 又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab,\therefore \frac{1}{2}(a+b+c)· r=\frac{1}{2}ab.\therefore r=\frac{ab}{a+b+c},$即$△ ABC$的内切圆半径$r$为$\frac{ab}{a+b+c}.$

【分析】
要推导直角三角形内切圆半径r，首先利用内切圆的核心性质：内切圆圆心到三角形三边的距离均等于半径r。我们可以通过面积法建立等量关系：将原三角形拆分为三个以内切圆圆心为顶点、分别以原三角形三边为底的小三角形，三个小三角形的面积和与原直角三角形面积相等，分别表示各部分面积后列等式，即可解出r。
【解析】
连接OA、OB、OC，可得$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OCA}$。
∵ 内切圆半径为r，即点O到△ABC三边的距离均为r，
∴ $S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· r$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}AC· r$，
代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(a+b+c)· r$。
又
∵ Rt△ABC中∠C=90°，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab$，
联立两式可得$\frac{1}{2}(a+b+c)· r=\frac{1}{2}ab$，
消去$\frac{1}{2}$后解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$。
【答案】
$△ ABC$的内切圆半径$r$为$\frac{ab}{a+b+c}.$

【知识点】
三角形内切圆性质、等积变换、直角三角形面积计算
【点评】
本题利用分割图形+等积法的思路推导直角三角形内切圆半径公式，是三角形内切圆相关计算的典型方法，掌握该推导逻辑能快速解决同类内切圆半径求解问题。
【难度系数】
0.7

(1) 点 I 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，则 ∠BIC=°.

1. (1) 120

【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此BI会平分∠ABC、CI会平分∠ACB。要求∠BIC的度数，观察到∠BIC是△IBC的内角，结合三角形内角和为180°，只需要先求出△IBC另外两个内角∠IBC、∠ICB的度数，再用180°减去这两个角的和即可得到结果。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$。
在△IBC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BIC=180°-∠ IBC-∠ ICB=180°-25°-35°=120°$。
【答案】
120
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握三角形内心是内角平分线的交点，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.85

(2) 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=68°$. 若点$O$是$△ ABC$的外心，则$∠ BOC=$$°$；若点$O$是$△ ABC$的内心，则$∠ BOC=$$°$.

[第1(2)题]

(2) 136,124

【分析】
这道题需要分别结合外心、内心的性质求解对应角度，思路如下：①当O是外心时，外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，直接利用该规律计算∠BOC即可；②当O是内心时，内心是三角形角平分线的交点，先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和即可算出∠BOC的度数。
【解析】
1. 若点O是△ABC的外心：
外心是三角形外接圆的圆心，∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ BOC=2∠ A=2×68°=136°$
2. 若点O是△ABC的内心：
内心是三角形三条角平分线的交点，因此OB平分$∠ ABC$，OC平分$∠ ACB$，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-68°=112°$，
因此$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×112°=56°$，
在△BOC中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-56°=124°$
【答案】
136；124
【知识点】
圆周角定理，三角形内心性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外心、内心的性质应用，解题的关键是区分两类特殊点的性质，结合已有定理计算即可，是三角形相关性质的基础常考题。
【难度系数】
0.7

（1）下列说法中，正确的是().
A. 三角形有且只有一个内切圆
B. 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线
C. 过圆的半径外端的直线一定是这个圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
（2）三角形的内心是().
A. 三条边上中线的交点
B. 三条边上高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D. 三个内角平分线的交点
（3）如图，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，点C在$\odot O$上，$∠ P=70°$，则$∠ C$的大小为().
A. $70°$
B. $55°$
C. $110°$
D. $140°$

2. (1) A (2) D (3) B

【分析】
这三道题均为圆与三角形相关的基础概念类题目，解题思路如下：
1. 第（1）题：逐一回忆切线判定定理、三角形内切圆及内心的性质，逐个排除错误选项即可得到正确答案；
2. 第（2）题：直接结合三角形各特殊交点的定义，匹配内心的性质即可选出正确选项；
3. 第（3）题：先连接圆心与两个切点，利用切线的性质得到两个直角，再通过四边形内角和计算出圆心角∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠C的大小。
【解析】
（1）逐个分析选项：
A. 三角形的内切圆圆心为三角形内心（三条角平分线交点），半径为内心到任意一边的距离，唯一确定，故三角形有且只有一个内切圆，该选项正确；
B. 切线的判定要求是“经过半径外端且垂直于半径的直线”，仅垂直于半径不满足条件，该选项错误；
C. 仅过半径外端，不满足垂直于半径的要求，不是圆的切线，该选项错误；
D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三角形的外心，该选项错误。
故选A。
（2）三角形各特殊交点定义：
A. 三条边上中线的交点是三角形的重心；
B. 三条边上高的交点是三角形的垂心；
C. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心；
D. 三个内角平分线的交点是三角形的内心。
故选D。
（3）连接OA、OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∵四边形OAPB内角和为360°，∠P=70°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-70°=110°，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠C=½∠AOB=½×110°=55°。
故选B。
【答案】
（1）A （2）D （3）B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内心的定义
【点评】
本组题目属于基础题，主要考查对圆和三角形相关基础概念、定理的识记与简单应用，掌握相关基础知识点就能快速准确解答。
【难度系数】
0.85