4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC=2\sqrt{2}+2$. 在$BC$上取一点$O$,以点$O$为圆心,$OC$为半径作半圆,与$AB$相切于点$E$. 求$\odot O$的半径.

4. 2

【分析】
首先，观察图形可知AC⊥BC，OC为⊙O半径，因此AC是⊙O的切线，又AB与⊙O相切于E，可利用切线长定理得到AC=AE；其次△ABC是等腰直角三角形，可先计算出斜边AB的长度，进而求出BE的长度；最后连接OE，根据切线的性质可知OE⊥AB，结合∠B=45°可得△OEB为等腰直角三角形，结合边的关系即可列方程求出半径。
【解析】
解：连接OE，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r。
∵ ∠C=90°，OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线。
又
∵ AB切⊙O于点E，
∴ 根据切线长定理，AE=AC=2√2+2，且OE⊥AB。
∵ △ABC中，∠C=90°，AC=BC=2√2+2，
∴ ∠B=45°，AB=√(AC²+BC²)=√2×AC=√2×(2√2+2)=4+2√2。
∴ BE=AB - AE=(4+2√2)-(2√2+2)=2。
∵ OE⊥AB，∠B=45°，
∴ △OEB是等腰直角三角形，OB=√2·OE，
又
∵ OB=BC - OC=2√2+2 - r，
∴ 2√2+2 - r = √2 r，
移项整理得：r(√2+1)=2√2+2=2(√2+1)，
解得r=2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理；切线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将切线的相关性质与特殊三角形的计算结合，解题的关键是灵活运用切线长定理得到相等线段，再结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，是切线性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，点$D$在$OC$的延长线上，$∠ B=∠ CAD=30°$.
（1）求证：$AD$是$\odot O$的切线.
（2）已知$OD⊥ AB$，$BC=5$，求$AD$的长.

5. （1）提示:作$\odot O$的直径$AE$,并连接$CE$ （2）$AD=5\sqrt{3}$

【分析】
（1）要证明AD是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明OA⊥AD。首先利用圆周角定理，由∠B的度数求出同弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，再结合OA=OC可判定△OAC为等边三角形，得到∠OAC=60°，结合已知∠CAD=30°，即可推出∠OAD=90°，完成切线证明。
（2）已知OD⊥AB，根据垂径定理可得OD垂直平分AB，因此AC=BC=5；结合（1）中△OAC是等边三角形，可得OA的长度，最后在Rt△OAD中利用三角函数即可求出AD的长度。
【解析】
（1）证明：连接OA
∵ ∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴ ∠AOC = 2∠B = 2×30° = 60°
∵ OA、OC均为⊙O的半径，即OA=OC
∴ △OAC是等边三角形
∴ ∠OAC = 60°
又
∵ ∠CAD = 30°
∴ ∠OAD = ∠OAC + ∠CAD = 60° + 30° = 90°，即OA⊥AD
∵ OA是⊙O的半径
∴ AD是⊙O的切线。
（2）解：
∵ OD⊥AB，且OD过圆心O
由垂径定理可知，OD垂直平分AB
∴ AC = BC = 5
由（1）知△OAC为等边三角形，因此OA = AC = 5
在Rt△OAD中，∠AOD=60°，∠OAD=90°
∴ $\tan∠AOD = \frac{AD}{OA}$
代入数值得：$\sqrt{3} = \frac{AD}{5}$
解得：$AD = 5\sqrt{3}$
【答案】
（1）证明见上述过程；（2）$AD=5\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质和直角三角形的计算，解题时需要熟练掌握切线判定、垂径定理、圆周角定理等核心知识点，通过等边三角形的性质建立已知量和待求量的关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图，AB，AC分别与$\odot O$相切，切点分别为B，C，过点C作$CD// AB$，交$\odot O$于点D，连接BC，BD。求证：$BC=BD$（请用两种不同的方法证明）。

6. 方法一:如图①,连接OB,并反向延长交CD于点E. $\because$ AB与$\odot O$相切,切点为B,$\therefore ∠ EBA=90°$. $\because CD// AB,\therefore ∠ DEB=∠ EBA=90°$,即$BE⊥ CD$. $\therefore CE=ED$. $\therefore BC=BD$. 方法二:如图②,连接OB,OC,$\because$ AB、AC分别与$\odot O$相切,切点分别为B,C,$\therefore ∠ OCA=∠ OBA=90°$,且$AB=AC$. $\therefore ∠ O=180°-∠ A,∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$. $\therefore ∠ D=\frac{1}{2}∠ O=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=∠ ABC$. $\because CD// AB,\therefore ∠ DCB=∠ ABC$. $\therefore ∠ D=∠ DCB$. $\therefore BC=BD$

【分析】
要证明$BC=BD$，可从两种不同思路切入：
思路1：利用垂直平分线的性质，若能证明过圆心的直线垂直平分弦$CD$，即可得到$BC=BD$。结合切线的性质可得$OB⊥ AB$，再由$CD// AB$推导得$OB⊥ CD$，最后用垂径定理推导结论。
思路2：利用等角对等边的判定，只要证明$∠ D=∠ DCB$即可。先通过切线性质、切线长定理得到相关角的数量关系，再结合圆周角定理和平行线的内错角相等，推导两个角相等，进而得到边相等。
【解析】
方法一：
如图①，连接$OB$，并反向延长交$CD$于点$E$。
$\because$ $AB$与$\odot O$相切，切点为$B$，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，$\therefore ∠ EBA=90°$。
$\because CD// AB$，根据平行线同位角相等的性质，$\therefore ∠ DEB=∠ EBA=90°$，即$BE⊥ CD$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，$\therefore CE=ED$，即$BE$是$CD$的垂直平分线。
$\because$ 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，$\therefore BC=BD$。
方法二：
如图②，连接$OB$，$OC$。
$\because$ $AB$、$AC$分别与$\odot O$相切，切点分别为$B$、$C$，根据切线性质得$∠ OCA=∠ OBA=90°$，根据切线长定理得$AB=AC$。
四边形$ABOC$内角和为$360°$，$\therefore ∠ BOC=360°-90°-90°-∠ A=180°-∠ A$。
在等腰$△ ABC$中，$∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$。
根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，$∠ D$是弧$BC$所对的圆周角，$\therefore ∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=∠ ABC$。
$\because CD// AB$，根据平行线内错角相等的性质，$\therefore ∠ DCB=∠ ABC$。
$\therefore ∠ D=∠ DCB$，根据等角对等边，$\therefore BC=BD$。
【答案】
方法一:如图①,连接OB,并反向延长交CD于点E. $\because$ AB与$\odot O$相切,切点为B,$\therefore ∠ EBA=90°$. $\because CD// AB,\therefore ∠ DEB=∠ EBA=90°$,即$BE⊥ CD$. $\therefore CE=ED$. $\therefore BC=BD$.
方法二:如图②,连接OB,OC,$\because$ AB、AC分别与$\odot O$相切,切点分别为B,C,$\therefore ∠ OCA=∠ OBA=90°$,且$AB=AC$. $\therefore ∠ O=180°-∠ A,∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$. $\therefore ∠ D=\frac{1}{2}∠ O=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=∠ ABC$. $\because CD// AB,\therefore ∠ DCB=∠ ABC$. $\therefore ∠ D=∠ DCB$. $\therefore BC=BD$

【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质、平行线性质与等腰三角形的判定，两种证明方法从不同几何性质切入，能够锻炼多角度思考问题的能力，提升几何综合推理水平。
【难度系数】
0.7