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1. 如图，$\odot O$与$\mathrm{Rt}△ ABC$三边分别切于点$D$，$E$，$F$，$∠ ACB=90°$.已知$∠ AOC=120°$，$∠ OCF=45°$，则$∠ BAC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
1. 30
解析
【分析】
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，圆心O是三角形的内心，即三角形三个内角平分线的交点，因此OA平分∠BAC，OC平分∠ACB。已知∠ACB=90°，可先求出∠OCA的度数，再结合△AOC内角和为180°、∠AOC=120°的条件，求出∠OAC的度数，最后根据角平分线的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D、E、F，
∴点O是△ABC的内心，OA平分∠BAC，OC平分∠ACB。
∵∠ACB=90°，
∴$∠ OCA=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$，
在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OAC=180°-∠ AOC-∠ OCA=180°-120°-45°=15°$，
∵OA平分∠BAC，
∴$∠ BAC=2∠ OAC=2×15°=30°$。
【答案】
30
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是明确三角形内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，圆心O是三角形的内心，即三角形三个内角平分线的交点，因此OA平分∠BAC，OC平分∠ACB。已知∠ACB=90°，可先求出∠OCA的度数，再结合△AOC内角和为180°、∠AOC=120°的条件，求出∠OAC的度数，最后根据角平分线的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D、E、F，
∴点O是△ABC的内心，OA平分∠BAC，OC平分∠ACB。
∵∠ACB=90°，
∴$∠ OCA=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$，
在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OAC=180°-∠ AOC-∠ OCA=180°-120°-45°=15°$，
∵OA平分∠BAC，
∴$∠ BAC=2∠ OAC=2×15°=30°$。
【答案】
30
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是明确三角形内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A，B，AC是$\odot O$的直径，连接AB，BC，OP，则与$∠ AOP$相等的角有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
[第2(1)题]
B
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
[第2(1)题]
答案
(1) B
解析
【分析】
要找出与∠AOP相等的角，我们可以按以下思路推导：首先利用切线的性质、切线长定理得到等腰三角形、垂直关系，再结合直角三角形两锐角互余、平行线的判定与性质、直径所对圆周角是直角的性质，逐步推导相等的角。第一步：根据切线长定理，可得PA=PB，OP平分∠APB和∠AOB，先得到第一个相等的角；第二步：利用切线垂直半径、OP⊥AB的关系，结合同角的余角相等得到第二个相等的角；第三步：利用直径所对圆周角是直角，推出OP与BC平行，由平行线同位角相等得到第三个相等的角。
【解析】
设OP与AB交于点D。
1. 因为PA、PB是$\odot O$的切线，根据切线长定理，PA=PB，OP平分$∠AOB$，所以$\boldsymbol{∠AOP=∠BOP}$，这是第1个相等的角。
2. 由切线性质得$OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$，因此$∠AOP + ∠APO=90°$。
又因为PA=PB，OP平分$∠APB$，由等腰三角形三线合一得$OP⊥AB$，即$∠ADP=90°$，因此$∠BAP + ∠APO=90°$。
根据同角的余角相等，得$\boldsymbol{∠AOP=∠BAP}$，这是第2个相等的角。
3. 因为AC是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角是直角，得$∠ABC=90°$，即$BC⊥AB$。
已知$OP⊥AB$，因此$OP// BC$（垂直于同一条直线的两条直线平行），根据两直线平行同位角相等，得$\boldsymbol{∠AOP=∠ACB}$，这是第3个相等的角。
综上，与$∠AOP$相等的角共有3个。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质，需要结合等腰三角形、平行线的性质推导角的等量关系，解题时要注意梳理已知条件中的垂直、等角关系，避免漏找相等的角。
【难度系数】
0.7
要找出与∠AOP相等的角，我们可以按以下思路推导：首先利用切线的性质、切线长定理得到等腰三角形、垂直关系，再结合直角三角形两锐角互余、平行线的判定与性质、直径所对圆周角是直角的性质，逐步推导相等的角。第一步：根据切线长定理，可得PA=PB，OP平分∠APB和∠AOB，先得到第一个相等的角；第二步：利用切线垂直半径、OP⊥AB的关系，结合同角的余角相等得到第二个相等的角；第三步：利用直径所对圆周角是直角，推出OP与BC平行，由平行线同位角相等得到第三个相等的角。
【解析】
设OP与AB交于点D。
1. 因为PA、PB是$\odot O$的切线，根据切线长定理，PA=PB，OP平分$∠AOB$，所以$\boldsymbol{∠AOP=∠BOP}$，这是第1个相等的角。
2. 由切线性质得$OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$，因此$∠AOP + ∠APO=90°$。
又因为PA=PB，OP平分$∠APB$，由等腰三角形三线合一得$OP⊥AB$，即$∠ADP=90°$，因此$∠BAP + ∠APO=90°$。
根据同角的余角相等，得$\boldsymbol{∠AOP=∠BAP}$，这是第2个相等的角。
3. 因为AC是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角是直角，得$∠ABC=90°$，即$BC⊥AB$。
已知$OP⊥AB$，因此$OP// BC$（垂直于同一条直线的两条直线平行），根据两直线平行同位角相等，得$\boldsymbol{∠AOP=∠ACB}$，这是第3个相等的角。
综上，与$∠AOP$相等的角共有3个。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质，需要结合等腰三角形、平行线的性质推导角的等量关系，解题时要注意梳理已知条件中的垂直、等角关系，避免漏找相等的角。
【难度系数】
0.7
（2）从半径为9 cm的$\odot O$外一点向$\odot O$所作的切线长为18 cm，这点到$\odot O$的最短距离是（
A.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$(9\sqrt{3}-9)\mathrm{cm}$
C.$(9\sqrt{5}-9)\mathrm{cm}$
D.9 cm
C
）.A.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$(9\sqrt{3}-9)\mathrm{cm}$
C.$(9\sqrt{5}-9)\mathrm{cm}$
D.9 cm
答案
(2) C
解析
【分析】
解决这道题首先要利用切线的性质构造直角三角形：圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接圆心与切点、圆外点与圆心可得到直角三角形，通过勾股定理计算出圆外点到圆心的距离；再明确圆外一点到圆的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，即可求出结果。
【解析】
设圆外一点为P，切线PA切$\odot O$于点A，连接OA、OP。
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即△OAP是直角三角形
已知OA=r=9cm，切线长PA=18cm，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2 + PA^2}=\sqrt{9^2 + 18^2}=\sqrt{81+324}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
圆外一点到圆的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此点P到$\odot O$的最短距离为：
$OP - OA = 9\sqrt{5} - 9 = (9\sqrt{5}-9)\mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是切线性质的基础应用题，解题的核心是通过构造直角三角形求出圆外点到圆心的距离，再结合点到圆的最短距离的规律求解，熟练掌握切线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要利用切线的性质构造直角三角形：圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接圆心与切点、圆外点与圆心可得到直角三角形，通过勾股定理计算出圆外点到圆心的距离；再明确圆外一点到圆的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，即可求出结果。
【解析】
设圆外一点为P，切线PA切$\odot O$于点A，连接OA、OP。
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即△OAP是直角三角形
已知OA=r=9cm，切线长PA=18cm，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2 + PA^2}=\sqrt{9^2 + 18^2}=\sqrt{81+324}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
圆外一点到圆的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此点P到$\odot O$的最短距离为：
$OP - OA = 9\sqrt{5} - 9 = (9\sqrt{5}-9)\mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是切线性质的基础应用题，解题的核心是通过构造直角三角形求出圆外点到圆心的距离，再结合点到圆的最短距离的规律求解，熟练掌握切线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（3）已知PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，$\overset{\frown}{AB}$的度数为$120°$，$\odot O$的半径为4，线段AB的长为（
A.8
B.$4\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
B
）。A.8
B.$4\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
(3) B
解析
【分析】
解题时可先结合弧的度数与圆心角的关系转化已知条件：首先连接OA、OB，弧AB的度数为120°，可得圆心角∠AOB=120°；已知OA=OB=⊙O半径=4，△AOB是顶角为120°的等腰三角形，要求底边AB的长，可通过作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，结合三角函数即可求出AB的长度。也可结合切线性质、切线长定理，先判断△PAB为等边三角形，通过计算切线长得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数为120°，
∴圆心角∠AOB=120°。
∵OA、OB是$\odot O$的半径，
∴OA=OB=4，△AOB为等腰三角形。
过点O作OC⊥AB于点C，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在Rt△AOC中，$∠ ACO=90°$，OA=4，$∠ AOC=60°$，
∴$AC=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴$AB=2AC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是合理添加辅助线，将等腰三角形的边长计算转化为直角三角形的边角计算，熟练掌握圆的基本性质和特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时可先结合弧的度数与圆心角的关系转化已知条件：首先连接OA、OB，弧AB的度数为120°，可得圆心角∠AOB=120°；已知OA=OB=⊙O半径=4，△AOB是顶角为120°的等腰三角形，要求底边AB的长，可通过作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，结合三角函数即可求出AB的长度。也可结合切线性质、切线长定理，先判断△PAB为等边三角形，通过计算切线长得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数为120°，
∴圆心角∠AOB=120°。
∵OA、OB是$\odot O$的半径，
∴OA=OB=4，△AOB为等腰三角形。
过点O作OC⊥AB于点C，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在Rt△AOC中，$∠ ACO=90°$，OA=4，$∠ AOC=60°$，
∴$AC=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴$AB=2AC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是合理添加辅助线，将等腰三角形的边长计算转化为直角三角形的边角计算，熟练掌握圆的基本性质和特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$与$△ ABC$三边分别切于点$D$，$E$，$F$，$AB=12$，$BC=14$，$CA=18$，分别求$AE$，$BF$，$CD$的长。
答案
3. $AE=8\ \mathrm{cm},BF=4\ \mathrm{cm},CD=10\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题可利用切线长定理解题，首先明确从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可将△ABC三边上的切线段用未知数表示，再结合三边的已知长度建立方程组，求解方程组即可得到各线段的长度。
【解析】
设$AE=AD=x$，$BE=BF=y$，$CF=CD=z$，
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得：
$\begin{cases}x+y=AB=12\\y+z=BC=14\\x+z=AC=18\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得$2(x+y+z)=12+14+18=44$，即$x+y+z=22$。
用$x+y+z=22$分别减去三个方程：
$z=22-12=10$，
$x=22-14=8$，
$y=22-18=4$。
因此$AE=8$，$BF=4$，$CD=10$。
【答案】
$AE=8\ \mathrm{cm}$，$BF=4\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，三元一次方程组的应用
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，通过设未知数建立方程组的方法能直观清晰地梳理线段间的等量关系，解题的核心是熟练掌握切线长定理的内容。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理解题，首先明确从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可将△ABC三边上的切线段用未知数表示，再结合三边的已知长度建立方程组，求解方程组即可得到各线段的长度。
【解析】
设$AE=AD=x$，$BE=BF=y$，$CF=CD=z$，
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得：
$\begin{cases}x+y=AB=12\\y+z=BC=14\\x+z=AC=18\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得$2(x+y+z)=12+14+18=44$，即$x+y+z=22$。
用$x+y+z=22$分别减去三个方程：
$z=22-12=10$，
$x=22-14=8$，
$y=22-18=4$。
因此$AE=8$，$BF=4$，$CD=10$。
【答案】
$AE=8\ \mathrm{cm}$，$BF=4\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，三元一次方程组的应用
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，通过设未知数建立方程组的方法能直观清晰地梳理线段间的等量关系，解题的核心是熟练掌握切线长定理的内容。
【难度系数】
0.7
