你知道三等分角仪吗？用材料制成如图3-23的阴影部分的形状，使AB与半圆的半径BC，CD相等，PB⊥AD，这便做成了“三等分角仪”。若要把∠MPN三等分，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，点A落在角的边PM上，角的另一边与半圆相切于点E，然后过B，C两点分别作两条射线PB，PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN.为什么？

图3-23

可证$△ ABP≌△ CBP≌△ CEP$

【分析】
要证明∠MPB=∠BPC=∠CPN，可通过证明对应三角形全等得到角相等。首先利用已知AB=BC、PB⊥AD的条件，先证△ABP和△CBP全等，得到前两个角相等；再连接CE，根据切线性质得到CE⊥PN，结合BC=CE（均为半圆半径）、公共边PC，证Rt△CBP和Rt△CEP全等，得到后两个角相等，即可推出三个角相等。
【解析】
解：连接CE，
∵PN与半圆相切于点E，由切线的性质可得$CE⊥ PN$，即$∠ CEP=90°$，
又$\because PB⊥ AD$，$\therefore ∠ ABP=∠ CBP=90°$，
1. 证明$△ ABP≌△ CBP$：
在$△ ABP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases}AB=BC（已知）\\∠ ABP=∠ CBP=90°\\PB=PB（公共边）\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ APB=∠ CPB$，即$∠ MPB=∠ BPC$；
2. 证明$△ CBP≌△ CEP$：
在$\mathrm{Rt}△ CBP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$中：
$\begin{cases}BC=CE（均为半圆的半径）\\PC=PC（公共边）\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CBP≌\mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ CPB=∠ CPE$，即$∠ BPC=∠ CPN$；
综上可得$∠ MPB=∠ BPC=∠ CPN$，即PB、PC将$∠ MPN$三等分。
【答案】
可证$△ ABP≌△ CBP≌△ CEP$，对应角相等，因此$∠ MPB=∠ BPC=∠ CPN$，可将$∠ MPN$三等分。
【知识点】
切线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合三等分角仪的实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是合理构造辅助线，将角相等的证明转化为三角形全等的证明，体现了转化的数学思想，能够锻炼学生结合实际场景运用几何定理的能力。
【难度系数】
0.6

例1 如图3-24，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A，B，OP交$\odot O$于点D，与AB相交于点C.
（1）写出图中除直角以外所有相等的角；
（2）写出图中所有的全等三角形；
（3）已知$PA=4\ \mathrm{cm}$，$PD=2\ \mathrm{cm}$，求半径OA的长.

（1）$∠ APO=∠ BPO=∠ OAB=∠ OBA,∠ BAP=∠ ABP=∠ AOP=∠ BOP$ （2）$△ OAP≌△ OBP,△ OCA≌△ OCB,△ ACP≌△ BCP$ （3）设$OA=x\ \mathrm{cm}$,根据“圆的切线垂直于经过切点的半径”的性质,可得$OA⊥ PA$. 在$\mathrm{Rt}△ OAP$中,由勾股定理,得$PA^2+OA^2=OP^2$,即$4^2+x^2=(x+2)^2$. 解这个方程,得$x=3$. 所以半径$OA$的长为3 cm

【分析】
（1）找除直角外的相等角：首先根据切线长定理可得PA=PB，OP平分∠APB，结合OA=OB（半径相等），可知△OAB、△PAB均为等腰三角形，对应底角相等；再结合切线垂直半径、OP⊥AB的性质，利用同角的余角相等即可推导其余相等的角。
（2）找全等三角形：先由OA=OB、PA=PB、OP为公共边，可得△OAP≌△OBP；再由切线长定理可知OP垂直平分AB，得到AC=BC，结合公共边OC、PC，即可推出另外两组全等三角形。
（3）求半径OA：根据切线的性质可知OA⊥PA，即△OAP为直角三角形，OP=OA+PD，设OA为未知数，代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴PA=PB，$∠ OAP=∠ OBP=90°$，OP平分$∠ APB$、平分$∠ AOB$，且$OP⊥ AB$。
∵OA=OB，PA=PB，
∴△OAB、△PAB均为等腰三角形，
∴$∠ OAB=∠ OBA$，$∠ BAP=∠ ABP$。
又
∵$∠ APO+∠ AOP=90°$，$∠ OAB+∠ AOP=90°$，
∴$∠ APO=∠ OAB$，同理可得$∠ APO=∠ BPO=∠ OAB=∠ OBA$，$∠ BAP=∠ ABP=∠ AOP=∠ BOP$。
（2）①在$△ OAP$和$△ OBP$中：OA=OB，PA=PB，OP=OP，
∴$△ OAP≌△ OBP$（SSS）；
②在$△ OCA$和$△ OCB$中：OA=OB，OC=OC，AC=BC（OP垂直平分AB），
∴$△ OCA≌△ OCB$（SSS）；
③在$△ ACP$和$△ BCP$中：PA=PB，PC=PC，AC=BC，
∴$△ ACP≌△ BCP$（SSS）。
（3）设$OA=x\ \mathrm{cm}$，根据切线的性质可知$OA⊥ PA$，即$\mathrm{Rt}△ OAP$为直角三角形。
其中$OP=OD+PD=OA+PD=(x+2)\ \mathrm{cm}$，$PA=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$PA^2+OA^2=OP^2$，即$4^2+x^2=(x+2)^2$
展开得：$16+x^2=x^2+4x+4$
化简得：$4x=12$，解得$x=3$。
【答案】
（1）$∠ APO=∠ BPO=∠ OAB=∠ OBA$，$∠ BAP=∠ ABP=∠ AOP=∠ BOP$
（2）$△ OAP≌△ OBP$，$△ OCA≌△ OCB$，$△ ACP≌△ BCP$
（3）半径$OA$的长为$3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础综合题，考察了切线的性质、切线长定理的应用，同时结合了等腰三角形性质、全等三角形判定以及方程思想求线段长度，能够帮助学生夯实圆的切线相关基础知识点。
【难度系数】
0.75

例2 如图3-25，PA，PB与$\odot O$分别相切于点C，B，BD是$\odot O$的直径，$∠ ACD=40°$，求$∠ P$的度数。 图3-25

连接BC. 由BD是$\odot O$的直径,得$∠ BCD=90°$. 而$∠ ACD=40°,\therefore ∠ PCB=90°-40°=50°$. 又$\because$ PA、PB与$\odot O$分别相切于点C、B,$\therefore PC=PB. \therefore ∠ P=180°-2×50°=80°$

【分析】
要求∠P的度数，观察发现∠P在△PBC中，可通过求△PBC的底角度数结合三角形内角和求解：首先BD是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可连接BC构造直角∠BCD；结合已知∠ACD=40°，利用平角的性质求出∠PCB的度数；再根据切线长定理得到PB=PC，可知△PBC为等腰三角形，两底角相等，最后用三角形内角和即可算出∠P的度数。
【解析】
解：连接BC
∵ BD是⊙O的直径
∴ ∠BCD=90°（直径所对的圆周角为直角）
又
∵ ∠ACD=40°，且P、C、A三点共线，∠PCB+∠BCD+∠ACD=180°
∴ ∠PCB=180°-90°-40°=50°
∵ PA、PB与⊙O分别相切于点C、B
∴ 由切线长定理可得：PB=PC
∴ △PBC为等腰三角形，∠PBC=∠PCB=50°
在△PBC中，根据三角形内角和为180°：
∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°-2×50°=80°
【答案】
80°
【知识点】
圆周角定理推论，切线长定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是合理作出辅助线BC，将直径的性质、切线长定理与三角形内角和结合起来，建立已知角和未知角的联系，这类题需要熟练掌握圆的常见辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7