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3. 如图，$\odot O$与$△ ABC$的三边分别切于点$D,E,F$，且$∠ C=60°$，$∠ EOF=100°$. 求$∠ B$的度数.
答案
3. $40°$
解析
【分析】
本题是三角形内切圆相关的角度计算题，解题思路如下：首先根据圆的切线性质，可得切线与过切点的半径垂直，从而得到四边形AEOF中的两个直角；再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠EOF的度数，即可求出∠A的度数；最后利用三角形内角和为180°，结合已知的∠C的度数，就能算出∠B的度数。
【解析】
∵ $\odot O$与AB切于点F，与AC切于点E，
∴ $OF⊥ AB$，$OE⊥ AC$（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ $∠ AFO=∠ AEO=90°$。
∵ 四边形的内角和为$360°$，
∴ $∠ A + ∠ AFO + ∠ AEO + ∠ EOF = 360°$，
将$∠ EOF=100°$代入得：
$∠ A + 90° + 90° + 100° = 360°$，
解得$∠ A=80°$。
在$△ ABC$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
将$∠ A=80°$，$∠ C=60°$代入得：
$∠ B = 180° - 80° - 60° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质；多边形内角和；三角形内角和
【点评】
本题属于内切圆相关的基础题型，解题关键是熟练掌握切线的性质，结合多边形内角和定理逐步推导角度，只要理清各角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内切圆相关的角度计算题，解题思路如下：首先根据圆的切线性质，可得切线与过切点的半径垂直，从而得到四边形AEOF中的两个直角；再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠EOF的度数，即可求出∠A的度数；最后利用三角形内角和为180°，结合已知的∠C的度数，就能算出∠B的度数。
【解析】
∵ $\odot O$与AB切于点F，与AC切于点E，
∴ $OF⊥ AB$，$OE⊥ AC$（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ $∠ AFO=∠ AEO=90°$。
∵ 四边形的内角和为$360°$，
∴ $∠ A + ∠ AFO + ∠ AEO + ∠ EOF = 360°$，
将$∠ EOF=100°$代入得：
$∠ A + 90° + 90° + 100° = 360°$，
解得$∠ A=80°$。
在$△ ABC$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
将$∠ A=80°$，$∠ C=60°$代入得：
$∠ B = 180° - 80° - 60° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质；多边形内角和；三角形内角和
【点评】
本题属于内切圆相关的基础题型，解题关键是熟练掌握切线的性质，结合多边形内角和定理逐步推导角度，只要理清各角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.（1）如图，已知等边三角形ABC，请画出它的外接圆和内切圆.
（2）这个外接圆的半径R与内切圆的半径r之间有怎样的数量关系？请说明理由.
（2）这个外接圆的半径R与内切圆的半径r之间有怎样的数量关系？请说明理由.
答案
4. (1) 图略 (2) $R=2r$,理由略
解析
【分析】
（1）要画等边三角形的外接圆和内切圆，可利用等边三角形外心、内心重合的特点：先作任意两个内角的角平分线（或任意两边的垂直平分线），交点就是两圆的公共圆心；再以圆心到顶点的距离为半径画外接圆，以圆心到边的距离为半径画内切圆即可。
（2）探究R和r的数量关系时，结合等边三角形的对称性，圆心在三角形的高上，可得到含30°角的直角三角形，其中内切圆半径r是30°角对的直角边，外接圆半径R是该直角三角形的斜边，利用直角三角形的性质即可推导二者关系。
【解析】
（1）画图步骤：
① 分别作∠BAC和∠ABC的角平分线，两条线交于点O；
② 以点O为圆心，OA的长度为半径画圆，所得圆即为△ABC的外接圆；
③ 以点O为圆心，点O到BC边的垂线段长度为半径画圆，所得圆即为△ABC的内切圆。
（2）数量关系推导：
设等边△ABC的边BC上的高为AD，点D为垂足，由等边三角形的性质可知，内心、外心都在AD上，因此外接圆半径$OA=R$，内切圆半径$OD=r$，且$OB=OA=R$。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，
∵ BO是∠ABC的角平分线，
∴ ∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$OD=\frac{1}{2}OB$，即$r=\frac{1}{2}R$，因此$R=2r$。
【答案】
(1) 图略；(2) $R=2r$，理由略
【知识点】
等边三角形的性质，三角形的外接圆与内切圆，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查特殊三角形与圆的结合应用，利用等边三角形四心重合的特点可简化作图和推导过程，是三角形与圆相关知识点的基础应用题型，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）要画等边三角形的外接圆和内切圆，可利用等边三角形外心、内心重合的特点：先作任意两个内角的角平分线（或任意两边的垂直平分线），交点就是两圆的公共圆心；再以圆心到顶点的距离为半径画外接圆，以圆心到边的距离为半径画内切圆即可。
（2）探究R和r的数量关系时，结合等边三角形的对称性，圆心在三角形的高上，可得到含30°角的直角三角形，其中内切圆半径r是30°角对的直角边，外接圆半径R是该直角三角形的斜边，利用直角三角形的性质即可推导二者关系。
【解析】
（1）画图步骤：
① 分别作∠BAC和∠ABC的角平分线，两条线交于点O；
② 以点O为圆心，OA的长度为半径画圆，所得圆即为△ABC的外接圆；
③ 以点O为圆心，点O到BC边的垂线段长度为半径画圆，所得圆即为△ABC的内切圆。
（2）数量关系推导：
设等边△ABC的边BC上的高为AD，点D为垂足，由等边三角形的性质可知，内心、外心都在AD上，因此外接圆半径$OA=R$，内切圆半径$OD=r$，且$OB=OA=R$。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，
∵ BO是∠ABC的角平分线，
∴ ∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$OD=\frac{1}{2}OB$，即$r=\frac{1}{2}R$，因此$R=2r$。
【答案】
(1) 图略；(2) $R=2r$，理由略
【知识点】
等边三角形的性质，三角形的外接圆与内切圆，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查特殊三角形与圆的结合应用，利用等边三角形四心重合的特点可简化作图和推导过程，是三角形与圆相关知识点的基础应用题型，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB，CD是两条互相垂直的公路，$∠ ACP=45°$，设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A，C两点处分别与道路相切）.你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？
答案
5. 略
解析
【分析】
要画出符合要求的圆弧形弯道，首先明确圆弧需满足两个条件：①过A、C两点；②在A处与AB相切，在C处与CD相切。根据圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知圆弧的圆心必在过A且垂直于AB的直线上，同时也在过C且垂直于CD的直线上，两条直线的交点即为圆心，再以圆心到A的距离为半径画弧即可得到所求弯道。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点A作直线AB的垂线$l_1$；
2. 过点C作直线CD的垂线$l_2$；
3. 记$l_1$与$l_2$的交点为O，点O即为圆弧的圆心；
4. 以O为圆心，OA的长度为半径，在$∠ APC$的内部作弧AC，弧AC就是所求的圆弧形弯道。
【答案】
略
【知识点】
切线的性质，确定圆的条件，尺规作图
【点评】
本题结合实际场景考查几何作图能力，解题关键是利用切线的性质准确确定圆心位置，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
要画出符合要求的圆弧形弯道，首先明确圆弧需满足两个条件：①过A、C两点；②在A处与AB相切，在C处与CD相切。根据圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知圆弧的圆心必在过A且垂直于AB的直线上，同时也在过C且垂直于CD的直线上，两条直线的交点即为圆心，再以圆心到A的距离为半径画弧即可得到所求弯道。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点A作直线AB的垂线$l_1$；
2. 过点C作直线CD的垂线$l_2$；
3. 记$l_1$与$l_2$的交点为O，点O即为圆弧的圆心；
4. 以O为圆心，OA的长度为半径，在$∠ APC$的内部作弧AC，弧AC就是所求的圆弧形弯道。
【答案】
略
【知识点】
切线的性质，确定圆的条件，尺规作图
【点评】
本题结合实际场景考查几何作图能力，解题关键是利用切线的性质准确确定圆心位置，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
6. 任何三角形都有一个内切圆，如果四边形有一个内切圆，该四边形有什么性质？
答案
6. 该四边形的两对对边之和相等
解析
【分析】
要推导有内切圆的四边形的性质，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先设出四边形内切圆与四条边的切点，将四边形的每条边拆成两段从顶点到切点的切线长，再分别计算两组对边的和，通过等量代换即可得到对边之间的关系。
【解析】
设四边形ABCD有内切圆⊙O，⊙O与边AB、BC、CD、DA分别相切于点E、F、G、H。
根据切线长定理可得：
从点A引的两条切线长相等，即$AE = AH$；
从点B引的两条切线长相等，即$BE = BF$；
从点C引的两条切线长相等，即$CF = CG$；
从点D引的两条切线长相等，即$DG = DH$。
分别计算两组对边的和：
$AB + CD = (AE + BE) + (CG + DG)$
$BC + AD = (BF + CF) + (AH + DH)$
将上述切线长相等的关系代入可得：
$AB + CD = AH + BF + CF + DH = (BF + CF) + (AH + DH) = BC + AD$
因此有内切圆的四边形的两对对边之和相等。
【答案】
该四边形的两对对边之和相等
【知识点】
切线长定理；圆外切四边形性质；直线与圆相切
【点评】
本题是三角形内切圆相关知识的延伸，核心考查切线长定理的应用，通过拆分边长、等量代换即可推导出圆外切四边形的核心性质，掌握切线长定理是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
要推导有内切圆的四边形的性质，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先设出四边形内切圆与四条边的切点，将四边形的每条边拆成两段从顶点到切点的切线长，再分别计算两组对边的和，通过等量代换即可得到对边之间的关系。
【解析】
设四边形ABCD有内切圆⊙O，⊙O与边AB、BC、CD、DA分别相切于点E、F、G、H。
根据切线长定理可得：
从点A引的两条切线长相等，即$AE = AH$；
从点B引的两条切线长相等，即$BE = BF$；
从点C引的两条切线长相等，即$CF = CG$；
从点D引的两条切线长相等，即$DG = DH$。
分别计算两组对边的和：
$AB + CD = (AE + BE) + (CG + DG)$
$BC + AD = (BF + CF) + (AH + DH)$
将上述切线长相等的关系代入可得：
$AB + CD = AH + BF + CF + DH = (BF + CF) + (AH + DH) = BC + AD$
因此有内切圆的四边形的两对对边之和相等。
【答案】
该四边形的两对对边之和相等
【知识点】
切线长定理；圆外切四边形性质；直线与圆相切
【点评】
本题是三角形内切圆相关知识的延伸，核心考查切线长定理的应用，通过拆分边长、等量代换即可推导出圆外切四边形的核心性质，掌握切线长定理是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
