要得到如图3-29所示的五角星形，应该怎么画？ 图3-29

利用量角器画一个正五边形，再作出它的对角线。

【分析】
要得到五角星形，首先分析其结构特征：五角星形可由正五边形连接互不相邻的顶点得到，因此解题的第一步是先画出正五边形。结合正多边形与圆的相关知识，正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，我们可以通过量角器将圆周五等分，顺次连接等分点得到正五边形，再作正五边形的对角线即可得到目标图形。
【解析】
具体画法步骤如下：
1. 画一个任意大小的圆，计算得正五边形的中心角为$360°÷5=72°$，用量角器在圆周上依次画出5个等于72°的圆心角，得到圆周上的5个等分点；
2. 顺次连接这5个等分点，得到正五边形；
3. 依次连接正五边形互不相邻的顶点（即作出正五边形的所有对角线），擦去正五边形的边，就得到所求的五角星形。
【答案】
利用量角器画一个正五边形，再作出它的对角线。
【知识点】
正多边形与圆，正五边形的画法
【点评】
本题结合生活中常见的五角星形，考查正多边形的绘制方法，只要掌握正五边形和五角星形的结构关联，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

例1 如图3-30，正五边形ABCDE的对角线AC，BE相交于点M.求证:ME=AB. 图3-30

证明 由正五边形ABCDE,得AE=AB,∠BAE=108°.
∴ ∠AEB=∠ABE=36°.同理∠BAC=36°.
∴ ∠EAM=108°−36°=72°.
∴ ∠EMA=180°−72°−36°=72°,即∠EAM=∠EMA.
∴ AE=ME.
∴ ME=AB

【分析】
要证明ME=AB，首先利用正五边形各边相等的性质可知AB=AE，因此只需证明ME=AE即可。证明两条线段相等可通过“等角对等边”实现，先计算正五边形的内角度数，再逐步求出△AEM中两个内角的度数，证明其为等腰三角形，最后通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ AE=AB，正五边形内角和为$(5-2)×180°$，因此每个内角$∠ BAE=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
在△ABE中，AE=AB，因此$∠ AEB=∠ ABE=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
同理可得$∠ BAC=36°$，
因此$∠ EAM=∠ BAE-∠ BAC=108°-36°=72°$。
在△AEM中，根据三角形内角和为180°，可得$∠ EMA=180°-∠ AEB-∠ EAM=180°-36°-72°=72°$，
即$∠ EAM=∠ EMA$，根据等角对等边可得AE=ME，
又
∵AE=AB，因此ME=AB。
【答案】
证明 由正五边形ABCDE,得AE=AB,∠BAE=108°.
∴ ∠AEB=∠ABE=36°.同理∠BAC=36°.
∴ ∠EAM=108°−36°=72°.
∴ ∠EMA=180°−72°−36°=72°,即∠EAM=∠EMA.
∴ AE=ME.
∴ ME=AB
【知识点】
正多边形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于正多边形相关的基础证明题型，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合等腰三角形的性质完成线段等量关系的推导，是正多边形性质应用的典型考法。
【难度系数】
0.7

例2 尺规作图:如图3-21,已知$\odot O$,作圆的内接正八边形.

图3-31

解 方法一:将圆八等分,即将圆心角360°等分成八份,每一份为45°,依次连接八个等分点所成的八边形就是所要求作的正八边形(图①). 方法二:① 先作两条互相垂直的直径AC,BD,依次连接AB,BC,CD,DA,得到正四边形ABCD；② 过圆心O分别作四条边的垂线交弧$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DA}$于点E,F,G,H,依次连接AE,EB,BF,FC,CG,GD,DH,HA,所得到的八边形AEBFCGDH就是所要求作的正八边形(图②)

【分析】
要作圆的内接正八边形，本质是将圆周平均分成8等份，依次连接各等分点即可得到正八边形。可以通过两种思路实现：一是直接将圆心角360°等分为8个45°的角，角的边与圆的交点就是等分点；二是先构造圆内接正四边形，再平分正四边形各边对应的弧，得到8个等分点，两种方法都符合尺规作图的要求，符合九年级所学的知识范畴。
【解析】
方法一：
正八边形每条边对应的圆心角大小为$360°÷8=45°$。
1. 以圆心$O$为顶点，依次作出8个$45°$的圆心角，使这些角的边分别与$\odot O$交于8个不同的点；
2. 按顺序依次连接这8个交点，所得的八边形就是$\odot O$的内接正八边形，对应图①。
方法二：
1. 作$\odot O$的两条互相垂直的直径$AC$、$BD$，顺次连接$A、B、C、D$四点，得到$\odot O$的内接正四边形$ABCD$；
2. 过圆心$O$分别作$AB、BC、CD、DA$四条边的垂线，四条垂线分别交$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DA}$于点$E、F、G、H$；
3. 顺次连接$AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA$，所得的八边形$AEBFCGDH$就是$\odot O$的内接正八边形，对应图②。
【答案】
方法一:将圆八等分,即将圆心角360°等分成八份,每一份为45°,依次连接八个等分点所成的八边形就是所要求作的正八边形。
方法二:① 先作两条互相垂直的直径AC,BD,依次连接AB,BC,CD,DA,得到正四边形ABCD；② 过圆心O分别作四条边的垂线交弧$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DA}$于点E,F,G,H,依次连接AE,EB,BF,FC,CG,GD,DH,HA,所得到的八边形AEBFCGDH就是所要求作的正八边形。

【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，圆心角性质
【点评】
本题是正多边形作图的典型题目，解题核心是理解正多边形的边数与圆周等分点的对应关系，两种作图方法都利用了正多边形各边所对圆心角相等的性质，考查了学生对正多边形性质的掌握和尺规作图的实操能力。
【难度系数】
0.7

1. 填空题：
（1）要画一个正十二边形，用量角器将圆等分，每一份的圆心角是°；
（2）如图，$A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$是$\odot O$的十等分点，十边形$ABCDEFGHIJ$是$\odot O$的，$\odot O$是十边形$ABCDEFGHIJ$的，五边形$ACEGI$是$\odot O$的。

[第1(2)题]

1.（1）12，30 （2）内接正十边形，外接圆，内接正五边形

【分析】
本题考查正多边形和圆的相关基础概念，可分两小问梳理思路：
（1）画正n边形的核心是将圆n等分，正十二边形对应n=12，用周角360°除以等分数即可得到每份圆心角的度数。
（2）顶点都在同一圆上的正多边形是该圆的内接正多边形，对应这个圆是正多边形的外接圆；判断五边形ACEGI的类型时，观察它的顶点都是十等分点，相邻顶点间隔1个分点，相邻顶点对应的弧长相等，因此各边相等、各内角相等，符合正多边形的特征。
【解析】
（1）要得到正十二边形，需要先将圆12等分，依次连接各等分点即可画出正十二边形；周角为360°，因此每一份的圆心角为$360° ÷12=30°$。
（2）十边形$ABCDEFGHIJ$的顶点均为$\odot O$的十等分点，所有顶点都在$\odot O$上，且各边相等、各内角相等，因此它是$\odot O$的内接正十边形，$\odot O$是这个十边形的外接圆；五边形$ACEGI$的顶点A、C、E、G、I均在$\odot O$上，相邻两个顶点之间间隔1个十等分点，每段弧的度数相等，因此五边形的各边相等、各内角相等，是$\odot O$的内接正五边形。
【答案】
（1）12，30 （2）内接正十边形，外接圆，内接正五边形
【知识点】
正多边形与圆的关系，圆心角计算，正多边形判定
【点评】
本题是正多边形相关的基础题型，侧重对基础概念的考察，难度较低，掌握正多边形和圆的对应定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9