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(1) 等腰直角三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形中，是正多边形的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
(1) B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确正多边形的判定标准：正多边形需要同时满足两个核心条件，一是所有边的长度相等，二是所有内角的度数相等，两个条件缺一不可。接下来我们逐个判断给出的图形是否符合这两个条件即可。
【解析】
我们根据正多边形的定义逐个分析：
1. 等腰直角三角形：边不全部相等（直角边和斜边长度不同），内角分别为90°、45°、45°也不全部相等，不属于正多边形；
2. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60°，两个条件都满足，属于正多边形（正三边形）；
3. 矩形：四个内角都是90°，但邻边长度不一定相等，不满足各边相等的条件，不属于正多边形；
4. 菱形：四条边长度相等，但内角不一定全部相等（如内角为60°、120°的菱形），不满足各角相等的条件，不属于正多边形；
5. 正方形：四条边长度相等，四个内角都是90°，两个条件都满足，属于正多边形（正四边形）。
综上，是正多边形的有等边三角形、正方形共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记正多边形需同时满足各边相等、各角相等两个条件，不能仅满足其中一个就判定为正多边形，避免误判矩形、菱形为正多边形。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要明确正多边形的判定标准：正多边形需要同时满足两个核心条件，一是所有边的长度相等，二是所有内角的度数相等，两个条件缺一不可。接下来我们逐个判断给出的图形是否符合这两个条件即可。
【解析】
我们根据正多边形的定义逐个分析：
1. 等腰直角三角形：边不全部相等（直角边和斜边长度不同），内角分别为90°、45°、45°也不全部相等，不属于正多边形；
2. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60°，两个条件都满足，属于正多边形（正三边形）；
3. 矩形：四个内角都是90°，但邻边长度不一定相等，不满足各边相等的条件，不属于正多边形；
4. 菱形：四条边长度相等，但内角不一定全部相等（如内角为60°、120°的菱形），不满足各角相等的条件，不属于正多边形；
5. 正方形：四条边长度相等，四个内角都是90°，两个条件都满足，属于正多边形（正四边形）。
综上，是正多边形的有等边三角形、正方形共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记正多边形需同时满足各边相等、各角相等两个条件，不能仅满足其中一个就判定为正多边形，避免误判矩形、菱形为正多边形。
【难度系数】
0.75
（2）用量角器将圆五等分，得到如图所示的正五边形ABCDE，AC，BD相交于点P，$∠ APB$等于（
A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$
[第2(2)题]
C
）。A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$
[第2(2)题]
答案
(2) C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据正五边形的性质，先计算出正五边形的内角度数，再利用等腰三角形的性质求出底角∠BCA和∠CBD的度数，最后根据三角形外角的性质，∠APB是△BPC的外角，等于不相邻的两个内角之和，即可求出∠APB的度数。也可以先计算正五边形每段弧的度数，结合圆周角定理求出两个圆周角的度数后相加得到结果。
【解析】
解：
∵圆被五等分得到正五边形ABCDE，
∴正五边形的每个内角大小为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
同理，在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，
∴$∠ CBD=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∵$∠ APB$是$△ BPC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠ APB=∠ BCA+∠ CBD=36°+36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题是正多边形与三角形性质的综合应用题，解题的核心是先求出等腰三角形的底角度数，再利用外角性质计算目标角，难度不大，是正多边形相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据正五边形的性质，先计算出正五边形的内角度数，再利用等腰三角形的性质求出底角∠BCA和∠CBD的度数，最后根据三角形外角的性质，∠APB是△BPC的外角，等于不相邻的两个内角之和，即可求出∠APB的度数。也可以先计算正五边形每段弧的度数，结合圆周角定理求出两个圆周角的度数后相加得到结果。
【解析】
解：
∵圆被五等分得到正五边形ABCDE，
∴正五边形的每个内角大小为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
同理，在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，
∴$∠ CBD=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∵$∠ APB$是$△ BPC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠ APB=∠ BCA+∠ CBD=36°+36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题是正多边形与三角形性质的综合应用题，解题的核心是先求出等腰三角形的底角度数，再利用外角性质计算目标角，难度不大，是正多边形相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
3. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形； （
（2）各角相等的圆内接多边形是正多边形； （
（3）每个角都是$108°$，且各边都相等的多边形是正五边形。 （
（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形； （
√
）（2）各角相等的圆内接多边形是正多边形； （
×
）（3）每个角都是$108°$，且各边都相等的多边形是正五边形。 （
√
）答案
3.（1）√ （2）× （3）√
解析
【分析】
我们逐个分析3个判断题的解题思路：
1. 第（1）题：结合圆的性质思考，同圆中相等的弦对应相等的弧，若圆内接多边形各边相等，可推出各边对应的弧相等，进一步可推导得多边形各内角相等，结合正多边形的定义判断即可。
2. 第（2）题：尝试找反例验证，圆内接矩形就是典型的各角相等、但边不一定相等的圆内接多边形，不符合正多边形的定义，据此判断即可。
3. 第（3）题：先利用多边形内角和公式计算出内角为108°的多边形的边数，再结合“各边相等”的条件，判断是否符合正五边形的定义即可。
【解析】
（1）圆内接多边形各边相等时，同圆中相等的弦对应相等的劣弧，即多边形各边所对的劣弧全部相等，因此各弧对应的圆周角（即多边形的内角）也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的判定要求，说法正确。
（2）举反例：圆内接矩形的四个内角都是90°，满足各角相等，但矩形的邻边不一定相等，不属于正四边形，因此各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，说法错误。
（3）设该多边形边数为n，根据多边形内角和公式列方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=n×108°\\180n-360&=108n\\72n&=360\\n&=5\end{aligned}$
即该多边形是五边形，又已知各边相等，符合正五边形的定义，说法正确。
【答案】
（1）√ （2）× （3）√
【知识点】
正多边形的判定；正多边形与圆；多边形内角和公式
【点评】
本题围绕正多边形的判定设置考点，解题时需注意，圆内接多边形中“各边相等”可推导出“各角相等”，但反过来“各角相等”无法直接推导出“各边相等”，要牢记常见反例规避易错点，同时需熟练掌握多边形内角和公式的应用。
【难度系数】
0.7
我们逐个分析3个判断题的解题思路：
1. 第（1）题：结合圆的性质思考，同圆中相等的弦对应相等的弧，若圆内接多边形各边相等，可推出各边对应的弧相等，进一步可推导得多边形各内角相等，结合正多边形的定义判断即可。
2. 第（2）题：尝试找反例验证，圆内接矩形就是典型的各角相等、但边不一定相等的圆内接多边形，不符合正多边形的定义，据此判断即可。
3. 第（3）题：先利用多边形内角和公式计算出内角为108°的多边形的边数，再结合“各边相等”的条件，判断是否符合正五边形的定义即可。
【解析】
（1）圆内接多边形各边相等时，同圆中相等的弦对应相等的劣弧，即多边形各边所对的劣弧全部相等，因此各弧对应的圆周角（即多边形的内角）也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的判定要求，说法正确。
（2）举反例：圆内接矩形的四个内角都是90°，满足各角相等，但矩形的邻边不一定相等，不属于正四边形，因此各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，说法错误。
（3）设该多边形边数为n，根据多边形内角和公式列方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=n×108°\\180n-360&=108n\\72n&=360\\n&=5\end{aligned}$
即该多边形是五边形，又已知各边相等，符合正五边形的定义，说法正确。
【答案】
（1）√ （2）× （3）√
【知识点】
正多边形的判定；正多边形与圆；多边形内角和公式
【点评】
本题围绕正多边形的判定设置考点，解题时需注意，圆内接多边形中“各边相等”可推导出“各角相等”，但反过来“各角相等”无法直接推导出“各边相等”，要牢记常见反例规避易错点，同时需熟练掌握多边形内角和公式的应用。
【难度系数】
0.7
4. 求半径为 $ R $ 的圆的内接正三角形的边长和面积.
答案
边长为$\sqrt{3}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$
解析
【分析】
要解决圆内接正三角形的边长和面积问题，可按以下思路推导：1. 圆内接正三角形的圆心就是正三角形的中心，圆心到顶点的距离等于圆的半径R；2. 正三角形的中心角为360°÷3=120°，连接圆心与正三角形的两个相邻顶点，可得到顶角为120°、腰长为R的等腰三角形；3. 过圆心作正三角形一边的垂线，结合垂径定理可将等腰三角形拆分为两个含60°角的直角三角形，通过解直角三角形先求出边长的一半，再得到完整边长，最后利用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
设⊙O的半径为R，△ABC是⊙O的内接正三角形。
步骤1：求正三角形的边长
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
∵△ABC是正三角形，
∴中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$。
∵OB=OC=R，OD⊥BC，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$（垂径定理）。
在Rt△BOD中，$BD=OB·\sin∠ BOD=R·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴$BC=2BD=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
步骤2：求正三角形的面积
正三角形的高与边长的比为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此正三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}× BC=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}R=\frac{3}{2}R$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
【答案】
边长为$\sqrt{3}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$
【知识点】
1. 正多边形与圆的性质
2. 垂径定理
3. 解直角三角形
【点评】
本题是正多边形和圆相关的常规基础题，解题关键是构造“半径、弦心距、半边长”组成的直角三角形，将正多边形的计算转化为解直角三角形的问题，熟练掌握正多边形各相关量的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决圆内接正三角形的边长和面积问题，可按以下思路推导：1. 圆内接正三角形的圆心就是正三角形的中心，圆心到顶点的距离等于圆的半径R；2. 正三角形的中心角为360°÷3=120°，连接圆心与正三角形的两个相邻顶点，可得到顶角为120°、腰长为R的等腰三角形；3. 过圆心作正三角形一边的垂线，结合垂径定理可将等腰三角形拆分为两个含60°角的直角三角形，通过解直角三角形先求出边长的一半，再得到完整边长，最后利用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
设⊙O的半径为R，△ABC是⊙O的内接正三角形。
步骤1：求正三角形的边长
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
∵△ABC是正三角形，
∴中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$。
∵OB=OC=R，OD⊥BC，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$（垂径定理）。
在Rt△BOD中，$BD=OB·\sin∠ BOD=R·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴$BC=2BD=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
步骤2：求正三角形的面积
正三角形的高与边长的比为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此正三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}× BC=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}R=\frac{3}{2}R$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
【答案】
边长为$\sqrt{3}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$
【知识点】
1. 正多边形与圆的性质
2. 垂径定理
3. 解直角三角形
【点评】
本题是正多边形和圆相关的常规基础题，解题关键是构造“半径、弦心距、半边长”组成的直角三角形，将正多边形的计算转化为解直角三角形的问题，熟练掌握正多边形各相关量的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？
答案
至少是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
解析
【分析】
要得到半径最小的圆形铁片，需使截出的正方形恰好内接于该圆（即正方形四个顶点都在圆周上），此时圆是正方形的最小外接圆，圆的直径与正方形的对角线长度相等。解题时先利用勾股定理求出正方形的对角线长度，再除以2即可得到最小半径。
【解析】
解：当所用圆形铁片为正方形的外接圆时，圆形铁片的半径最小。
已知正方形的边长为$a$，根据勾股定理，正方形的对角线长度为：
$\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$
此时圆形铁片的直径等于正方形的对角线长度，即$d = \sqrt{2}a$
因此圆形铁片的最小半径为：
$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
【知识点】
1. 正多边形外接圆性质
2. 勾股定理
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是明确截得正方形的最小外接圆就是所需的最小圆形铁片，建立正方形边长和圆半径的关联即可求解，需要熟练掌握常见正多边形与其外接圆的数量关系。
【难度系数】
0.8
要得到半径最小的圆形铁片，需使截出的正方形恰好内接于该圆（即正方形四个顶点都在圆周上），此时圆是正方形的最小外接圆，圆的直径与正方形的对角线长度相等。解题时先利用勾股定理求出正方形的对角线长度，再除以2即可得到最小半径。
【解析】
解：当所用圆形铁片为正方形的外接圆时，圆形铁片的半径最小。
已知正方形的边长为$a$，根据勾股定理，正方形的对角线长度为：
$\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$
此时圆形铁片的直径等于正方形的对角线长度，即$d = \sqrt{2}a$
因此圆形铁片的最小半径为：
$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
【知识点】
1. 正多边形外接圆性质
2. 勾股定理
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是明确截得正方形的最小外接圆就是所需的最小圆形铁片，建立正方形边长和圆半径的关联即可求解，需要熟练掌握常见正多边形与其外接圆的数量关系。
【难度系数】
0.8
6. 如图，正方形的边长为 4 cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积。
答案
边长为$4(\sqrt{2}-1)\mathrm{cm}$，面积为$32(\sqrt{2}-1)\mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确剪去的四个角是全等的等腰直角三角形，且正八边形各边长度相等。我们可以先设等腰直角三角形的直角边长为未知数，利用“正八边形边长相等”的特点建立等量关系列方程，求出正八边形的边长，再通过正方形面积减去四个等腰直角三角形的面积，得到正八边形的面积。
【解析】
设剪去的四个全等等腰直角三角形的直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，根据等腰直角三角形的性质，其斜边长为$\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$，该斜边即为正八边形的边长。
结合正方形边长为$4\ \mathrm{cm}$，以及正八边形各边相等的性质，可列方程：
$4 - 2x = \sqrt{2}x$
移项得$4=(2+\sqrt{2})x$，分母有理化求解得：
$x=\frac{4}{2+\sqrt{2}}=\frac{4(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=4-2\sqrt{2}$
1. 求正八边形的边长：
正八边形边长等于等腰直角三角形的斜边长，代入$x$得：
$\sqrt{2}x=\sqrt{2}×(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-4=4(\sqrt{2}-1)\ \mathrm{cm}$
2. 求正八边形的面积：
正方形的面积为$4×4=16\ \mathrm{cm}^2$
四个等腰直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$，代入$x=4-2\sqrt{2}$得：
$2x^2=2×(4-2\sqrt{2})^2=2×(24-16\sqrt{2})=48-32\sqrt{2}$
因此正八边形的面积为正方形面积减去四个三角形的面积：
$16-(48-32\sqrt{2})=32\sqrt{2}-32=32(\sqrt{2}-1)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
边长为$4(\sqrt{2}-1)\mathrm{cm}$，面积为$32(\sqrt{2}-1)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
正多边形的性质；等腰直角三角形的性质；二次根式的运算
【点评】
本题的解题关键是抓住正八边形各边相等的特点，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，计算时要注意二次根式的有理化和化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确剪去的四个角是全等的等腰直角三角形，且正八边形各边长度相等。我们可以先设等腰直角三角形的直角边长为未知数，利用“正八边形边长相等”的特点建立等量关系列方程，求出正八边形的边长，再通过正方形面积减去四个等腰直角三角形的面积，得到正八边形的面积。
【解析】
设剪去的四个全等等腰直角三角形的直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，根据等腰直角三角形的性质，其斜边长为$\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$，该斜边即为正八边形的边长。
结合正方形边长为$4\ \mathrm{cm}$，以及正八边形各边相等的性质，可列方程：
$4 - 2x = \sqrt{2}x$
移项得$4=(2+\sqrt{2})x$，分母有理化求解得：
$x=\frac{4}{2+\sqrt{2}}=\frac{4(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=4-2\sqrt{2}$
1. 求正八边形的边长：
正八边形边长等于等腰直角三角形的斜边长，代入$x$得：
$\sqrt{2}x=\sqrt{2}×(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-4=4(\sqrt{2}-1)\ \mathrm{cm}$
2. 求正八边形的面积：
正方形的面积为$4×4=16\ \mathrm{cm}^2$
四个等腰直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$，代入$x=4-2\sqrt{2}$得：
$2x^2=2×(4-2\sqrt{2})^2=2×(24-16\sqrt{2})=48-32\sqrt{2}$
因此正八边形的面积为正方形面积减去四个三角形的面积：
$16-(48-32\sqrt{2})=32\sqrt{2}-32=32(\sqrt{2}-1)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
边长为$4(\sqrt{2}-1)\mathrm{cm}$，面积为$32(\sqrt{2}-1)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
正多边形的性质；等腰直角三角形的性质；二次根式的运算
【点评】
本题的解题关键是抓住正八边形各边相等的特点，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，计算时要注意二次根式的有理化和化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
7. 分别用48 m长的篱笆在空地上围成正三角形、正方形、正六边形、圆形的四种绿地，哪种绿地面积最大（可以利用计算器计算）？
答案
圆的面积最大
解析
【分析】
已知四种图形的周长均为篱笆长度48m，解题思路为：首先根据周长分别求出正三角形的边长、正方形的边长、正六边形的边长、圆的半径，再分别代入对应图形的面积公式计算面积，最后比较四个面积的大小即可得出结论。
【解析】
由题意可知，四种图形的周长均为48m，分别计算面积如下：
1. 正三角形：
边长$a_3 = 48÷3 = 16\ \mathrm{m}$
正三角形面积公式为$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}a_3^2$，代入得：
$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}×16^2=64\sqrt{3}\approx110.85\ \mathrm{m}^2$
2. 正方形：
边长$a_4=48÷4=12\ \mathrm{m}$
面积$S_4=12×12=144\ \mathrm{m}^2$
3. 正六边形：
边长$a_6=48÷6=8\ \mathrm{m}$
正六边形可分割为6个边长为8m的全等等边三角形，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×8^2=16\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
总面积$S_6=6×16\sqrt{3}=96\sqrt{3}\approx166.27\ \mathrm{m}^2$
4. 圆：
设圆的半径为$r$，由周长公式$C=2π r=48$，得$r=\frac{24}{π}\ \mathrm{m}$
面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×(\frac{24}{π})^2=\frac{576}{π}\approx183.35\ \mathrm{m}^2$
比较四个面积大小：$110.85＜144＜166.27＜183.35$，可知圆的面积最大。
【答案】
圆的面积最大
【知识点】
正多边形面积计算，圆的周长与面积计算，周长相等图形面积比较
【点评】
本题主要考察规则图形周长与面积的换算，解题时需熟练掌握正三角形、正方形、正六边形、圆的周长、面积计算公式，通过分步计算对比即可得出结果，记住“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”这一规律可快速解答同类型题目。
【难度系数】
0.75
已知四种图形的周长均为篱笆长度48m，解题思路为：首先根据周长分别求出正三角形的边长、正方形的边长、正六边形的边长、圆的半径，再分别代入对应图形的面积公式计算面积，最后比较四个面积的大小即可得出结论。
【解析】
由题意可知，四种图形的周长均为48m，分别计算面积如下：
1. 正三角形：
边长$a_3 = 48÷3 = 16\ \mathrm{m}$
正三角形面积公式为$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}a_3^2$，代入得：
$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}×16^2=64\sqrt{3}\approx110.85\ \mathrm{m}^2$
2. 正方形：
边长$a_4=48÷4=12\ \mathrm{m}$
面积$S_4=12×12=144\ \mathrm{m}^2$
3. 正六边形：
边长$a_6=48÷6=8\ \mathrm{m}$
正六边形可分割为6个边长为8m的全等等边三角形，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×8^2=16\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
总面积$S_6=6×16\sqrt{3}=96\sqrt{3}\approx166.27\ \mathrm{m}^2$
4. 圆：
设圆的半径为$r$，由周长公式$C=2π r=48$，得$r=\frac{24}{π}\ \mathrm{m}$
面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×(\frac{24}{π})^2=\frac{576}{π}\approx183.35\ \mathrm{m}^2$
比较四个面积大小：$110.85＜144＜166.27＜183.35$，可知圆的面积最大。
【答案】
圆的面积最大
【知识点】
正多边形面积计算，圆的周长与面积计算，周长相等图形面积比较
【点评】
本题主要考察规则图形周长与面积的换算，解题时需熟练掌握正三角形、正方形、正六边形、圆的周长、面积计算公式，通过分步计算对比即可得出结果，记住“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”这一规律可快速解答同类型题目。
【难度系数】
0.75
