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回顾反比例函数的研究过程，梳理本章知识结构，反思研究反比例函数的基本方法，画出反比例函数的图象，写出反比例函数的性质。如果把变量$ y $看作是常量$ k $和变量$ x $的某种运算的结果，你还能构造出新的函数吗？
答案
略
解析
【分析】
本题属于反比例函数章节的总结类题目，可按“梳理知识→回顾方法→归纳图象性质→创新拓展”的思路逐步解题：①先按照初中函数学习的常规逻辑梳理本章知识脉络，回忆从定义到应用的全流程内容；②回顾研究反比例函数时用到的“数形结合”“从特殊到一般”等基本方法；③按照列表、描点、连线的规范步骤画出反比例函数图象，结合图象分$k＞0$、$k＜0$两种情况总结性质；④最后结合运算的多样性，通过改变x的次数、增加常数项等方式构造合理的新函数即可。
【解析】
1. 知识结构梳理：本章知识按照“函数定义→图象特征→性质归纳→实际应用”的逻辑展开，核心内容包括：①反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数；②图象：为双曲线，有两个独立的分支；③性质：与$k$的符号相关，包含图象所在象限、增减性、$k$的几何意义等；④应用：解决实际场景中的反比例关系问题。
2. 研究反比例函数的基本方法：采用数形结合的思想，遵循从特殊到一般的研究路径：先明确函数定义，再通过描点法画具体反比例函数的图象，结合图象归纳共性得到一般性质，最后用性质解决相关问题。
3. 反比例函数图象画法：①列表：$x$取不为0的互为相反数的若干数值，计算对应的$y$值；②描点：在平面直角坐标系中描出对应的点；③连线：用平滑的曲线顺次连接同一象限的点，得到双曲线的两个分支，注意图象延伸时无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交。
4. 反比例函数性质：①当$k＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；②当$k＜0$时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
5. 新函数构造示例：将$y$看作$k$与$x$的运算结果，可构造的新函数如$y=\frac{k}{x^2}$（$k≠0$）、$y=\frac{k}{|x|}$（$k≠0$）、$y=\frac{k}{x}+b$（$k≠0$，$b$为常数）等，合理即可。
【答案】
略
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数研究方法；函数的定义
【点评】
本题侧重对章节知识的整体掌握，既要求落实基础的图象、性质等核心知识，也引导掌握函数研究的通用思路，同时锻炼知识迁移的创新思维。
【难度系数】
0.7
本题属于反比例函数章节的总结类题目，可按“梳理知识→回顾方法→归纳图象性质→创新拓展”的思路逐步解题：①先按照初中函数学习的常规逻辑梳理本章知识脉络，回忆从定义到应用的全流程内容；②回顾研究反比例函数时用到的“数形结合”“从特殊到一般”等基本方法；③按照列表、描点、连线的规范步骤画出反比例函数图象，结合图象分$k＞0$、$k＜0$两种情况总结性质；④最后结合运算的多样性，通过改变x的次数、增加常数项等方式构造合理的新函数即可。
【解析】
1. 知识结构梳理：本章知识按照“函数定义→图象特征→性质归纳→实际应用”的逻辑展开，核心内容包括：①反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数；②图象：为双曲线，有两个独立的分支；③性质：与$k$的符号相关，包含图象所在象限、增减性、$k$的几何意义等；④应用：解决实际场景中的反比例关系问题。
2. 研究反比例函数的基本方法：采用数形结合的思想，遵循从特殊到一般的研究路径：先明确函数定义，再通过描点法画具体反比例函数的图象，结合图象归纳共性得到一般性质，最后用性质解决相关问题。
3. 反比例函数图象画法：①列表：$x$取不为0的互为相反数的若干数值，计算对应的$y$值；②描点：在平面直角坐标系中描出对应的点；③连线：用平滑的曲线顺次连接同一象限的点，得到双曲线的两个分支，注意图象延伸时无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交。
4. 反比例函数性质：①当$k＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；②当$k＜0$时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
5. 新函数构造示例：将$y$看作$k$与$x$的运算结果，可构造的新函数如$y=\frac{k}{x^2}$（$k≠0$）、$y=\frac{k}{|x|}$（$k≠0$）、$y=\frac{k}{x}+b$（$k≠0$，$b$为常数）等，合理即可。
【答案】
略
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数研究方法；函数的定义
【点评】
本题侧重对章节知识的整体掌握，既要求落实基础的图象、性质等核心知识，也引导掌握函数研究的通用思路，同时锻炼知识迁移的创新思维。
【难度系数】
0.7
例1 把下列函数的表达式与其图象(图2-3)对应起来：
(1) $y=\frac{2}{x}$；
(2) $y=\frac{2}{|x|}$；
(3) $y=-\frac{2}{x}$；
(4) $y=-\frac{2}{|x|}$。
图2-3
(1) $y=\frac{2}{x}$；
(2) $y=\frac{2}{|x|}$；
(3) $y=-\frac{2}{x}$；
(4) $y=-\frac{2}{|x|}$。
图2-3
答案
(1) $y=\frac{2}{x}$的图象是B (2) $y=\frac{2}{|x|}$的图象是A (3) $y=-\frac{2}{x}$的图象是C (4) $y=-\frac{2}{|x|}$的图象是D
解析
【分析】
解题时可以先将函数分为带绝对值和不带绝对值两类分别判断：①不带绝对值的是普通反比例函数，根据k的正负判断图象所在象限即可；②带绝对值的函数，由于|x|恒为正，可直接根据分子的正负判断函数值的符号，进而确定图象所在的象限，最后对应选项中的图象即可。
【解析】
1. 分析$y=\frac{2}{x}$：这是反比例函数，$k=2＞0$，根据反比例函数性质，图象位于第一、三象限，对应图B；
2. 分析$y=\frac{2}{|x|}$：由于$\vert x\vert＞0$恒成立，因此$y=\frac{2}{|x|}＞0$恒成立，即x取任意非0值时y均为正，图象位于第一、二象限，对应图A；
3. 分析$y=-\frac{2}{x}$：这是反比例函数，$k=-2＜0$，根据反比例函数性质，图象位于第二、四象限，对应图C；
4. 分析$y=-\frac{2}{|x|}$：由于$\vert x\vert＞0$恒成立，因此$y=-\frac{2}{|x|}＜0$恒成立，即x取任意非0值时y均为负，图象位于第三、四象限，对应图D。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{x}$的图象是B (2) $y=\frac{2}{|x|}$的图象是A (3) $y=-\frac{2}{x}$的图象是C (4) $y=-\frac{2}{|x|}$的图象是D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，绝对值的非负性，函数图象识别
【点评】
本题是反比例函数图象的基础判断题，解题核心是结合绝对值的性质判断函数值的正负或图象所在象限，掌握该方法可以快速解决这类函数图象对应问题。
【难度系数】
0.8
解题时可以先将函数分为带绝对值和不带绝对值两类分别判断：①不带绝对值的是普通反比例函数，根据k的正负判断图象所在象限即可；②带绝对值的函数，由于|x|恒为正，可直接根据分子的正负判断函数值的符号，进而确定图象所在的象限，最后对应选项中的图象即可。
【解析】
1. 分析$y=\frac{2}{x}$：这是反比例函数，$k=2＞0$，根据反比例函数性质，图象位于第一、三象限，对应图B；
2. 分析$y=\frac{2}{|x|}$：由于$\vert x\vert＞0$恒成立，因此$y=\frac{2}{|x|}＞0$恒成立，即x取任意非0值时y均为正，图象位于第一、二象限，对应图A；
3. 分析$y=-\frac{2}{x}$：这是反比例函数，$k=-2＜0$，根据反比例函数性质，图象位于第二、四象限，对应图C；
4. 分析$y=-\frac{2}{|x|}$：由于$\vert x\vert＞0$恒成立，因此$y=-\frac{2}{|x|}＜0$恒成立，即x取任意非0值时y均为负，图象位于第三、四象限，对应图D。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{x}$的图象是B (2) $y=\frac{2}{|x|}$的图象是A (3) $y=-\frac{2}{x}$的图象是C (4) $y=-\frac{2}{|x|}$的图象是D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，绝对值的非负性，函数图象识别
【点评】
本题是反比例函数图象的基础判断题，解题核心是结合绝对值的性质判断函数值的正负或图象所在象限，掌握该方法可以快速解决这类函数图象对应问题。
【难度系数】
0.8
例2 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A(2,3)。
（1）求k的值；
（2）当$x＜-3$时，y的取值范围是
（3）如果点B(a,b)在这个函数的图象上，且$a＜2$，比较b与3的大小。
（1）求k的值；
（2）当$x＜-3$时，y的取值范围是
-2＜y＜0
；（3）如果点B(a,b)在这个函数的图象上，且$a＜2$，比较b与3的大小。
答案
(1) 6 (2) $-2＜y＜0$ (3) 当$0＜a＜2$时，$b＞3$；当$a＜0$时，$b＜3$
解析
【分析】
（1）第一问根据函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，将点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式，即可直接求解k值；
（2）第二问先根据k的正负判断反比例函数的增减性，先求出x=-3时对应的y值，再结合x＜-3时函数图象所在的象限，利用增减性推导y的取值范围；
（3）第三问中a＜2包含a为负数和0＜a＜2两种情况，反比例函数的增减性在不同象限独立成立，因此需要分类讨论，结合增减性比较b和3的大小。
【解析】
（1）将点$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$。
（2）由（1）得反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，
$\because k=6＞0$，
$\therefore$该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$，
当$x＜-3$时，对应图象在第三象限，$y＜0$，且$x$越小$y$越大，因此$y＞-2$，
综上，$y$的取值范围是$-2＜y＜0$。
（3）$\because$点$B(a,b)$在$y=\frac{6}{x}$的图象上，$\therefore b=\frac{6}{a}$，分两种情况讨论：
①当$a＜0$时，$b=\frac{6}{a}＜0$，因此$b＜3$；
②当$0＜a＜2$时，该区间对应函数在第一象限的分支，$y$随$x$的增大而减小，且$x=2$时$y=3$，因此$b＞3$。
【答案】
(1) $6$；(2) $-2＜y＜0$；(3) 当$0＜a＜2$时，$b＞3$；当$a＜0$时，$b＜3$
【知识点】
待定系数法求k值，反比例函数的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，重点考查对反比例函数增减性的理解，需注意使用增减性时要明确自变量所在的象限，避免忽略正负范围导致错误，有助于培养分类讨论的解题习惯。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，将点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式，即可直接求解k值；
（2）第二问先根据k的正负判断反比例函数的增减性，先求出x=-3时对应的y值，再结合x＜-3时函数图象所在的象限，利用增减性推导y的取值范围；
（3）第三问中a＜2包含a为负数和0＜a＜2两种情况，反比例函数的增减性在不同象限独立成立，因此需要分类讨论，结合增减性比较b和3的大小。
【解析】
（1）将点$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$。
（2）由（1）得反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，
$\because k=6＞0$，
$\therefore$该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$，
当$x＜-3$时，对应图象在第三象限，$y＜0$，且$x$越小$y$越大，因此$y＞-2$，
综上，$y$的取值范围是$-2＜y＜0$。
（3）$\because$点$B(a,b)$在$y=\frac{6}{x}$的图象上，$\therefore b=\frac{6}{a}$，分两种情况讨论：
①当$a＜0$时，$b=\frac{6}{a}＜0$，因此$b＜3$；
②当$0＜a＜2$时，该区间对应函数在第一象限的分支，$y$随$x$的增大而减小，且$x=2$时$y=3$，因此$b＞3$。
【答案】
(1) $6$；(2) $-2＜y＜0$；(3) 当$0＜a＜2$时，$b＞3$；当$a＜0$时，$b＜3$
【知识点】
待定系数法求k值，反比例函数的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，重点考查对反比例函数增减性的理解，需注意使用增减性时要明确自变量所在的象限，避免忽略正负范围导致错误，有助于培养分类讨论的解题习惯。
【难度系数】
0.7
