例3 某科技小组在一次野外考察途中遇到一片烂泥湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利通过了这片湿地.
(1) 根据压力F N、压强p Pa与受力面积S m²之间的表达式$p=\frac{F}{S}$,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?
(2) 若人对地面的压力F=450 N,完成下表:

(3) 当F=450 N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S增大时,地面所受压强p是如何变化的.据此,请说出他们铺垫木板(木板重力忽略不计)通过湿地的道理.

(1) 对于 $p=\frac{F}{S}$,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数 (2) 因为F=450 N,所以当S=0.005 m²时,由 $p=\frac{F}{S}$,得 $p=\frac{450}{0.005}=$90 000(Pa). 类似地,当S=0.01 m²时,p=45 000 Pa; 当S=0.02 m²时,p=22 500 Pa; 当S=0.04 m²时,p=11 250 Pa (3) 当F=450 N时,该反比例函数的表达式为 $p=\frac{450}{S}$,它的图象如图所示. 由图象及性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小. 因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积,以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地

【分析】
解题思路如下：(1) 第一问判断函数类型，首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，只需验证当F固定时，$p=\frac{F}{S}$是否符合该形式即可。(2) 第二问是代数式求值问题，已知F=450N，将表格中给出的各个受力面积S的数值依次代入压强公式$p=\frac{F}{S}$，计算出对应的压强值填入表格即可。(3) 第三问首先写出F=450N时的函数解析式，注意实际问题中受力面积S必须大于0，所以函数图象仅为第一象限的双曲线分支；再结合反比例函数的增减性分析p随S的变化规律，就能解释铺垫木板通过湿地的原理。
【解析】
(1) 根据反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为不为0的常数）的函数为反比例函数。在$p=\frac{F}{S}$中，当F一定且$F\ne0$时，该式完全符合反比例函数的形式，因此p是S的反比例函数。
(2) 已知$F=450\mathrm{N}$，将各S值代入$p=\frac{F}{S}$计算：
当$S=0.005\mathrm{m}^2$时，$p=\frac{450}{0.005}=90000\mathrm{Pa}$；
当$S=0.01\mathrm{m}^2$时，$p=\frac{450}{0.01}=45000\mathrm{Pa}$；
当$S=0.02\mathrm{m}^2$时，$p=\frac{450}{0.02}=22500\mathrm{Pa}$；
当$S=0.04\mathrm{m}^2$时，$p=\frac{450}{0.04}=11250\mathrm{Pa}$。
将上述结果依次填入表格压强栏对应位置。
(3) 当$F=450\mathrm{N}$时，函数表达式为$p=\frac{450}{S}$（$S＞0$），图象为第一象限内的双曲线分支，如图所示。根据反比例函数性质，$k=450＞0$，在$S＞0$范围内，p随S的增大而减小，即受力面积越大，压强越小。因此铺垫木板可以增大受力面积，减小对湿地的压强，避免陷入烂泥，顺利通过湿地。
【答案】
(1) 对于 $p=\frac{F}{S}$,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数
(2) 因为F=450 N,所以当S=0.005 m²时,由 $p=\frac{F}{S}$,得 $p=\frac{450}{0.005}=$90 000(Pa). 类似地,当S=0.01 m²时,p=45 000 Pa; 当S=0.02 m²时,p=22 500 Pa; 当S=0.04 m²时,p=11 250 Pa
(3) 当F=450 N时,该反比例函数的表达式为 $p=\frac{450}{S}$,它的图象如图所示. 由图象及性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小. 因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积,以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地
【知识点】
反比例函数定义、反比例函数求值、反比例函数实际应用
【点评】
这是一道结合物理知识的跨学科实际应用题，难度较低，核心考查反比例函数的定义、性质，要求学生能将数学知识和实际场景结合，利用反比例函数的增减性解释生活中的现象。
【难度系数】
0.8

(1) 反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的图象如图所示，则k的值可能是().

A.-1
B.$ \frac{1}{2} $
C.1
D.2

B

【分析】
解题时首先根据反比例函数图象所在的象限判断k的符号，先排除不符合符号的选项；再找到图象上x=1的特殊位置，观察该位置对应的函数值大小，代入解析式得到k的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
1. 由反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分布在第一、三象限，可得$k＞0$，因此选项A（$k=-1＜0$）不符合要求，排除A；
2. 观察图象可知，当$x=1$时，对应的函数值$y＜1$，将$x=1$代入函数解析式得$y=\frac{k}{1}=k$，因此$k＜1$；
3. 结合上述结论可得$0＜k＜1$，四个选项中只有$\frac{1}{2}$满足该范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，函数图象信息提取
【点评】
本题属于基础题，核心考查对反比例函数图象特征的掌握，解题的关键是能从图象中获取象限信息、特殊点的函数值范围，熟练掌握反比例函数系数和图象的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

（2）根据物理学家波意耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强$p$ Pa与它的体积$V$ m³的乘积是一个常数$k$，即$pV=k$（$k$为常数，$k＞0$）.下列图象中，能正确反映$p$与$V$之间函数关系的是().

C

【分析】
解题时首先根据题干给出的$pV=k$（$k＞0$）推导出$p$关于$V$的函数解析式，判断函数类型；再结合实际意义，确定气体体积$V$和压强$p$的取值范围均为正数，因此图象仅在第一象限；最后结合各函数的图象特征，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
由题意得$pV=k$（$k$为常数，$k＞0$），变形可得$\boldsymbol{p=\dfrac{k}{V}}$。
结合实际意义可知，气体的体积$V＞0$，对应的压强$p＞0$，因此$p$是$V$的反比例函数，其图象为第一象限内的双曲线的一支，且$p$随$V$的增大而减小。
对各选项逐一分析：
选项A：图象中$p$随$V$的增大而增大，不符合反比例函数的性质，错误；
选项B：图象是过原点的直线，属于正比例函数图象，不符合$p$与$V$的反比例关系，错误；
选项C：图象是第一象限内的反比例函数曲线，$p$随$V$增大而减小，符合要求，正确；
选项D：图象是下降的直线，属于一次函数图象，不符合$p$与$V$的反比例关系，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；反比例函数的图象；实际问题的函数取值范围
【点评】
本题结合物理定律考查反比例函数的图象应用，解题的关键是正确推导函数类型，同时结合实际意义判断函数的取值范围，还要能准确区分不同类型函数的图象特征，避免混淆函数类型出错。
【难度系数】
0.8

（3）一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象如图所示，则关于$x$的方程$kx+b=\dfrac{2}{x}$的解为（）.

A.$x_1=1$，$x_2=2$
B.$x_1=-2$，$x_2=-1$
C.$x_1=1$，$x_2=-2$
D.$x_1=2$，$x_2=-1$

[第1(3)题]

C

【分析】
方程$kx+b=\dfrac{2}{x}$的解，本质是一次函数$y=kx+b$和反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$函数值相等时对应的$x$值，也就是两个函数图象交点的横坐标。解题时先观察图象确定两个函数的交点位置，再结合反比例函数解析式验证交点横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据函数与方程的关系：两个函数图象交点的横坐标就是对应两个函数表达式相等所得方程的解。
观察图象可知，一次函数与反比例函数有两个交点：
1. 第一象限内的交点：横坐标为1，代入$y=\dfrac{2}{x}$得$y=2$，即交点坐标为$(1,2)$；
2. 第三象限内的交点：纵坐标为$-1$，代入$y=\dfrac{2}{x}$得$x=\dfrac{2}{-1}=-2$，即交点坐标为$(-2,-1)$。
因此两个交点的横坐标为1和$-2$，即方程$kx+b=\dfrac{2}{x}$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
C
【知识点】
函数与方程的关系，一次函数的图象，反比例函数的图象
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，无需计算函数解析式，只要掌握函数交点和对应方程解的关联就能快速求解，是函数模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8