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6. 经过实验获得两个变量$x(x＞0),y(y＞0)$的一组对应值如下表.
（1）画出相应函数的图象；
（2）求这个函数的表达式；
（3）求当$y=\frac{3}{10}$时，$x$的值.
（1）画出相应函数的图象；
（2）求这个函数的表达式；
（3）求当$y=\frac{3}{10}$时，$x$的值.
答案
6. (1) 图象略 (2) $y=\frac{6}{x}$ (3) 20
解析
【分析】
（1）画函数图象遵循描点法的步骤：先建立平面直角坐标系，再根据表格中的对应值描出各点，最后用平滑的曲线依次连接各点即可，注意$x＞0$，图象仅在第一象限。
（2）观察表格中$x$和$y$的乘积，发现每组对应值的乘积近似为定值6，可判断该函数为反比例函数，因此设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，代入一组已知点求出$k$值，再验证其余点符合即可确定表达式。
（3）将$y=\frac{3}{10}$代入已求出的函数表达式，解关于$x$的方程即可得到对应的$x$值。
【解析】
（1）建立平面直角坐标系，依次描出点$(1,6),(2,2.9),(3,2.1),(4,1.5),(5,1.2),(6,1)$，再用平滑的曲线从左到右连接这些点，所得图象即为所求（图象在第一象限）。
（2）观察数据可得$x$与$y$的乘积近似为定值，猜测该函数为反比例函数，设函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=1,y=6$代入表达式，得$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$。
验证：将其余$x$值代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=2$时$y=3\approx2.9$，$x=3$时$y=2\approx2.1$，$x=4$时$y=1.5$，$x=5$时$y=1.2$，$x=6$时$y=1$，均与表中数据接近，因此函数表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
（3）将$y=\frac{3}{10}$代入$y=\frac{6}{x}$，得$\frac{3}{10}=\frac{6}{x}$，
方程两边同乘$10x$得：$3x=60$，
解得$x=20$，经检验$x=20$是原方程的解，即此时$x$的值为20。
【答案】
(1) 图象略 (2) $y=\frac{6}{x}$ (3) 20
【知识点】
描点法画函数图象，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数求值
【点评】
本题围绕反比例函数的基础应用展开，解题的核心是通过数据特征判断函数类型，结合待定系数法确定解析式，再代入求值，整体考查的是对反比例函数基础知识点的掌握，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
（1）画函数图象遵循描点法的步骤：先建立平面直角坐标系，再根据表格中的对应值描出各点，最后用平滑的曲线依次连接各点即可，注意$x＞0$，图象仅在第一象限。
（2）观察表格中$x$和$y$的乘积，发现每组对应值的乘积近似为定值6，可判断该函数为反比例函数，因此设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，代入一组已知点求出$k$值，再验证其余点符合即可确定表达式。
（3）将$y=\frac{3}{10}$代入已求出的函数表达式，解关于$x$的方程即可得到对应的$x$值。
【解析】
（1）建立平面直角坐标系，依次描出点$(1,6),(2,2.9),(3,2.1),(4,1.5),(5,1.2),(6,1)$，再用平滑的曲线从左到右连接这些点，所得图象即为所求（图象在第一象限）。
（2）观察数据可得$x$与$y$的乘积近似为定值，猜测该函数为反比例函数，设函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=1,y=6$代入表达式，得$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$。
验证：将其余$x$值代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=2$时$y=3\approx2.9$，$x=3$时$y=2\approx2.1$，$x=4$时$y=1.5$，$x=5$时$y=1.2$，$x=6$时$y=1$，均与表中数据接近，因此函数表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
（3）将$y=\frac{3}{10}$代入$y=\frac{6}{x}$，得$\frac{3}{10}=\frac{6}{x}$，
方程两边同乘$10x$得：$3x=60$，
解得$x=20$，经检验$x=20$是原方程的解，即此时$x$的值为20。
【答案】
(1) 图象略 (2) $y=\frac{6}{x}$ (3) 20
【知识点】
描点法画函数图象，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数求值
【点评】
本题围绕反比例函数的基础应用展开，解题的核心是通过数据特征判断函数类型，结合待定系数法确定解析式，再代入求值，整体考查的是对反比例函数基础知识点的掌握，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
7. 某居民计划利用一堵长为7.9 m的墙，用篱笆围成一个面积为12 m²的矩形院子. 现有可用的篱笆总长为11 m.
（1）你能给出一种围法吗？
（2）若取院子的边长都为整数（单位：m），一共有几种围法？
（3）若要使11 m长的篱笆恰好用完，应怎样围？
（1）你能给出一种围法吗？
（2）若取院子的边长都为整数（单位：m），一共有几种围法？
（3）若要使11 m长的篱笆恰好用完，应怎样围？
答案
7. (1) 宽为2 m,长为6 m (2) 3种 (3) 宽为3 m,长为4 m
解析
【分析】
解题时先明确矩形一边靠墙的特点：篱笆仅需围3条边，设垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m，可得约束条件：①矩形面积：$xy=12$；②平行墙的边长不超过墙长：$y≤7.9$；③篱笆总长不超过11m：$2x+y≤11$，x、y均为正数。
（1）只需找到一组满足上述约束的x、y即可；
（2）在x、y均为正整数的前提下，枚举所有满足$xy=12$的解，再验证是否符合另外两个约束，统计符合条件的解的个数；
（3）增加条件$2x+y=11$，联立$xy=12$组成方程组，求解后验证$y≤7.9$，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设垂直于墙的一边长为x m，平行于墙的一边长为y m，根据题意得：
$\begin{cases} xy=12 \\ y≤7.9 \\ 2x+y≤11 \\ x＞0,y＞0 \end{cases}$
（1）取$x=2$，则$y=\frac{12}{2}=6$，验证：$6＜7.9$，$2×2+6=10＜11$，符合所有约束条件，对应围法为宽2m，长6m。（答案不唯一）
（2）x、y均为正整数，且$xy=12$，所有正整数解验证如下：
①$x=1,y=12$：$12＞7.9$，不符合，舍去；
②$x=2,y=6$：符合所有约束，有效；
③$x=3,y=4$：符合所有约束，有效；
④$x=4,y=3$：符合所有约束，有效；
⑤$x=6,y=2$：$2×6+2=14＞11$，不符合，舍去；
⑥$x=12,y=1$：$2×12+1=25＞11$，不符合，舍去；
综上共有3种有效围法。
（3）若篱笆恰好用完，则$2x+y=11$，即$y=11-2x$，代入$xy=12$得：
$x(11-2x)=12$
整理得$2x^2-11x+12=0$，解得$x_1=4,x_2=1.5$：
当$x=4$时，$y=11-2×4=3$，$3＜7.9$，符合条件，此时矩形较短边为3m，较长边为4m，即宽3m，长4m；
当$x=1.5$时，$y=11-2×1.5=8$，$8＞7.9$，超过墙长，不符合实际，舍去。
【答案】
（1）宽为2 m,长为6 m（答案不唯一）
（2）3种
（3）宽为3 m,长为4 m
【知识点】
反比例函数应用，一元二次方程解法，不等式实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查代数知识的综合应用，解题时要特别注意墙长的隐含约束，求解后要验证结果是否符合实际情况，避免产生增解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确矩形一边靠墙的特点：篱笆仅需围3条边，设垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m，可得约束条件：①矩形面积：$xy=12$；②平行墙的边长不超过墙长：$y≤7.9$；③篱笆总长不超过11m：$2x+y≤11$，x、y均为正数。
（1）只需找到一组满足上述约束的x、y即可；
（2）在x、y均为正整数的前提下，枚举所有满足$xy=12$的解，再验证是否符合另外两个约束，统计符合条件的解的个数；
（3）增加条件$2x+y=11$，联立$xy=12$组成方程组，求解后验证$y≤7.9$，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设垂直于墙的一边长为x m，平行于墙的一边长为y m，根据题意得：
$\begin{cases} xy=12 \\ y≤7.9 \\ 2x+y≤11 \\ x＞0,y＞0 \end{cases}$
（1）取$x=2$，则$y=\frac{12}{2}=6$，验证：$6＜7.9$，$2×2+6=10＜11$，符合所有约束条件，对应围法为宽2m，长6m。（答案不唯一）
（2）x、y均为正整数，且$xy=12$，所有正整数解验证如下：
①$x=1,y=12$：$12＞7.9$，不符合，舍去；
②$x=2,y=6$：符合所有约束，有效；
③$x=3,y=4$：符合所有约束，有效；
④$x=4,y=3$：符合所有约束，有效；
⑤$x=6,y=2$：$2×6+2=14＞11$，不符合，舍去；
⑥$x=12,y=1$：$2×12+1=25＞11$，不符合，舍去；
综上共有3种有效围法。
（3）若篱笆恰好用完，则$2x+y=11$，即$y=11-2x$，代入$xy=12$得：
$x(11-2x)=12$
整理得$2x^2-11x+12=0$，解得$x_1=4,x_2=1.5$：
当$x=4$时，$y=11-2×4=3$，$3＜7.9$，符合条件，此时矩形较短边为3m，较长边为4m，即宽3m，长4m；
当$x=1.5$时，$y=11-2×1.5=8$，$8＞7.9$，超过墙长，不符合实际，舍去。
【答案】
（1）宽为2 m,长为6 m（答案不唯一）
（2）3种
（3）宽为3 m,长为4 m
【知识点】
反比例函数应用，一元二次方程解法，不等式实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查代数知识的综合应用，解题时要特别注意墙长的隐含约束，求解后要验证结果是否符合实际情况，避免产生增解。
【难度系数】
0.7
8. 为预防传染病，某校定期对教室进行药熏消毒.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量$y$ mg与燃烧时间$x$ min成正比例；燃烧后，$y$与$x$成反比例，如图.现测得药物10 min燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.根据信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时$y$关于$x$的函数表达式.
（2）求药物燃烧后$y$关于$x$的函数表达式.
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用.那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
（1）求药物燃烧时$y$关于$x$的函数表达式.
（2）求药物燃烧后$y$关于$x$的函数表达式.
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用.那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
答案
8. (1) $y=\frac{4}{5}x$ (2) $y=\frac{80}{x}$ (3) 2~50 min
解析
【分析】
本题分三个小问逐步求解：1. 药物燃烧阶段y与x成正比例，可设正比例函数解析式y=kx（k≠0），代入已知点(10,8)即可求出系数k，得到燃烧时的函数表达式，注意x取值范围为0≤x≤10；2. 燃烧结束后y与x成反比例，设反比例函数解析式y=k/x（k≠0），同样代入点(10,8)求出系数k，得到燃烧后的函数表达式，x取值范围为x≥10；3. 要找到学生不能停留的时段，即求含药量y≥1.6mg对应的x的范围，分别将y=1.6代入两个函数解析式，求出对应的x值，两个x值之间的区间就是所求时段。
【解析】
（1）设药物燃烧时y关于x的函数表达式为$y=k_1x$（$k_1≠0$，$0≤ x≤10$），
将$x=10$，$y=8$代入得：$8=10k_1$，
解得$k_1=\frac{4}{5}$，
所以药物燃烧时的函数表达式为$y=\frac{4}{5}x$（$0≤ x≤10$）。
（2）设药物燃烧后y关于x的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x≥10$），
将$x=10$，$y=8$代入得：$8=\frac{k_2}{10}$，
解得$k_2=80$，
所以药物燃烧后的函数表达式为$y=\frac{80}{x}$（$x≥10$）。
（3）首先求燃烧阶段y=1.6时对应的x值：
把$y=1.6$代入$y=\frac{4}{5}x$，得$1.6=\frac{4}{5}x$，解得$x=2$；
再求燃烧后y=1.6时对应的x值：
把$y=1.6$代入$y=\frac{80}{x}$，得$1.6=\frac{80}{x}$，解得$x=50$。
即当$2≤ x≤50$时，空气中含药量不低于1.6mg，对人体有害，该时段学生不能留在教室。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{5}x(0≤ x≤10)$
(2) $y=\frac{80}{x}(x≥10)$
(3) 消毒开始后的2~50 min学生不能停留在教室里
【知识点】
正比例函数解析式求解，反比例函数解析式求解，函数实际应用
【点评】
本题结合消毒的生活场景考查函数的实际应用，解题核心是根据题意区分不同阶段的函数类型，用待定系数法求函数解析式，再结合函数值求解自变量的取值范围，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题分三个小问逐步求解：1. 药物燃烧阶段y与x成正比例，可设正比例函数解析式y=kx（k≠0），代入已知点(10,8)即可求出系数k，得到燃烧时的函数表达式，注意x取值范围为0≤x≤10；2. 燃烧结束后y与x成反比例，设反比例函数解析式y=k/x（k≠0），同样代入点(10,8)求出系数k，得到燃烧后的函数表达式，x取值范围为x≥10；3. 要找到学生不能停留的时段，即求含药量y≥1.6mg对应的x的范围，分别将y=1.6代入两个函数解析式，求出对应的x值，两个x值之间的区间就是所求时段。
【解析】
（1）设药物燃烧时y关于x的函数表达式为$y=k_1x$（$k_1≠0$，$0≤ x≤10$），
将$x=10$，$y=8$代入得：$8=10k_1$，
解得$k_1=\frac{4}{5}$，
所以药物燃烧时的函数表达式为$y=\frac{4}{5}x$（$0≤ x≤10$）。
（2）设药物燃烧后y关于x的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x≥10$），
将$x=10$，$y=8$代入得：$8=\frac{k_2}{10}$，
解得$k_2=80$，
所以药物燃烧后的函数表达式为$y=\frac{80}{x}$（$x≥10$）。
（3）首先求燃烧阶段y=1.6时对应的x值：
把$y=1.6$代入$y=\frac{4}{5}x$，得$1.6=\frac{4}{5}x$，解得$x=2$；
再求燃烧后y=1.6时对应的x值：
把$y=1.6$代入$y=\frac{80}{x}$，得$1.6=\frac{80}{x}$，解得$x=50$。
即当$2≤ x≤50$时，空气中含药量不低于1.6mg，对人体有害，该时段学生不能留在教室。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{5}x(0≤ x≤10)$
(2) $y=\frac{80}{x}(x≥10)$
(3) 消毒开始后的2~50 min学生不能停留在教室里
【知识点】
正比例函数解析式求解，反比例函数解析式求解，函数实际应用
【点评】
本题结合消毒的生活场景考查函数的实际应用，解题核心是根据题意区分不同阶段的函数类型，用待定系数法求函数解析式，再结合函数值求解自变量的取值范围，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
