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2. 一辆汽车匀速行驶通过某段公路,所需时间$t$ h 与行驶速度$v$ km/h 满足函数关系$t=\frac{k}{v}$($k$是常数),其图象为如图所示的一段双曲线,端点为$A(40,1)$和$B(m,0.5)$,则$k$和$m$的值分别为(
A.40,80
B.40,60
C.80,80
D.80,60
A
).A.40,80
B.40,60
C.80,80
D.80,60
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路分为两步：①已知反比例函数解析式形式和图像上一个已知点A的坐标，将点A坐标代入解析式即可求出常数k的值，确定函数解析式；②点B也在该反比例函数图像上，将点B的纵坐标代入已求出的解析式，即可计算得到横坐标m的值。
【解析】
∵ 点A(40,1)在反比例函数$t=\frac{k}{v}$的图象上
∴ 将$v=40$，$t=1$代入$t=\frac{k}{v}$，得：
$1=\frac{k}{40}$，解得$k=40×1=40$
∴ 该反比例函数的解析式为$t=\frac{40}{v}$
又
∵ 点B(m,0.5)在$t=\frac{40}{v}$的图象上
∴ 将$t=0.5$代入$t=\frac{40}{v}$，得：
$0.5=\frac{40}{m}$，解得$m=\frac{40}{0.5}=80$
综上，$k=40$，$m=80$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数解析式求解
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用型题目，核心是利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式这一性质求解，计算量小，逻辑清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路分为两步：①已知反比例函数解析式形式和图像上一个已知点A的坐标，将点A坐标代入解析式即可求出常数k的值，确定函数解析式；②点B也在该反比例函数图像上，将点B的纵坐标代入已求出的解析式，即可计算得到横坐标m的值。
【解析】
∵ 点A(40,1)在反比例函数$t=\frac{k}{v}$的图象上
∴ 将$v=40$，$t=1$代入$t=\frac{k}{v}$，得：
$1=\frac{k}{40}$，解得$k=40×1=40$
∴ 该反比例函数的解析式为$t=\frac{40}{v}$
又
∵ 点B(m,0.5)在$t=\frac{40}{v}$的图象上
∴ 将$t=0.5$代入$t=\frac{40}{v}$，得：
$0.5=\frac{40}{m}$，解得$m=\frac{40}{0.5}=80$
综上，$k=40$，$m=80$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数解析式求解
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用型题目，核心是利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式这一性质求解，计算量小，逻辑清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点$P_1,P_2,P_3,P_4$在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线。图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则$S_1+S_2+S_3=$
$\frac{3}{2}$
。答案
3. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题可按以下思路展开：首先利用反比例函数解析式，根据四个点的横坐标求出对应纵坐标；其次观察图形可知每个阴影部分都是水平边长为1的矩形，高为相邻两点的纵坐标差，既可以分别计算三个阴影面积后求和，也可以通过平移阴影拼接成一个大矩形简化计算。
【解析】
将$x=1,2,3,4$分别代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，得各点纵坐标：
$P_1$的纵坐标$y_1=\frac{2}{1}=2$，
$P_2$的纵坐标$y_2=\frac{2}{2}=1$，
$P_3$的纵坐标$y_3=\frac{2}{3}$，
$P_4$的纵坐标$y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
三个阴影均为宽为1的矩形：
$S_1=1×(y_1-y_2)=1×(2-1)=1$，
$S_2=1×(y_2-y_3)=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$，
$S_3=1×(y_3-y_4)=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$。
因此$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。
（简便方法：将$S_2、S_3$向左平移与$S_1$拼接，得到长为1，高为$y_1-y_4$的矩形，面积为$1×(2-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$）
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题核心是反比例函数的相关应用，解题关键是结合坐标特征得到阴影矩形的边长参数，既可以分步计算也可以通过平移法简化运算，能锻炼学生的图形观察能力。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路展开：首先利用反比例函数解析式，根据四个点的横坐标求出对应纵坐标；其次观察图形可知每个阴影部分都是水平边长为1的矩形，高为相邻两点的纵坐标差，既可以分别计算三个阴影面积后求和，也可以通过平移阴影拼接成一个大矩形简化计算。
【解析】
将$x=1,2,3,4$分别代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，得各点纵坐标：
$P_1$的纵坐标$y_1=\frac{2}{1}=2$，
$P_2$的纵坐标$y_2=\frac{2}{2}=1$，
$P_3$的纵坐标$y_3=\frac{2}{3}$，
$P_4$的纵坐标$y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
三个阴影均为宽为1的矩形：
$S_1=1×(y_1-y_2)=1×(2-1)=1$，
$S_2=1×(y_2-y_3)=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$，
$S_3=1×(y_3-y_4)=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$。
因此$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。
（简便方法：将$S_2、S_3$向左平移与$S_1$拼接，得到长为1，高为$y_1-y_4$的矩形，面积为$1×(2-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$）
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题核心是反比例函数的相关应用，解题关键是结合坐标特征得到阴影矩形的边长参数，既可以分步计算也可以通过平移法简化运算，能锻炼学生的图形观察能力。
【难度系数】
0.7
4. 面积为$18\ \mathrm{cm}^2$的平行四边形的一条边长是$x\ \mathrm{cm}$，这条边上的高是$y\ \mathrm{cm}$.
（1）求$y$关于$x$的函数表达式以及自变量$x$的取值范围；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出所求函数的图象；
（3）当边长满足$0＜x＜15$时，求这条边上的高$y$的取值范围.
（1）求$y$关于$x$的函数表达式以及自变量$x$的取值范围；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出所求函数的图象；
（3）当边长满足$0＜x＜15$时，求这条边上的高$y$的取值范围.
答案
4. (1) $y=\frac{18}{x},x＞0$ (2) 图象略 (3) $y＞\frac{6}{5}$
解析
【分析】
解题可按3个小问逐步推导：
1. 求解函数表达式：首先回忆平行四边形面积公式，面积=底×对应高，已知面积固定为$18\ \mathrm{cm}^2$，将底$x$、高$y$代入公式，变形即可得到$y$关于$x$的函数式；自变量$x$是平行四边形的边长，长度必须为正，由此确定$x$的取值范围。
2. 画函数图象：因为是实际问题中的反比例函数，$x$、$y$均为正数，因此图象仅在第一象限。先取几个$x$的正数值，计算对应$y$值列表，再在坐标系中描点，最后用平滑曲线连接各点即可，注意图象与坐标轴无交点。
3. 求$y$的取值范围：先判断反比例函数的增减性，$k=18＞0$，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。找到$x$的边界值15对应的$y$值，结合增减性就能推出$0＜x＜15$时$y$的取值范围。
【解析】
（1）根据平行四边形面积公式$\mathrm{S}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，底为$x\ \mathrm{cm}$，对应高为$y\ \mathrm{cm}$，可得：
$xy=18$
变形得$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{18}{x}$。
因为$x$是边长，长度为正数，因此自变量$x$的取值范围是$x＞0$。
（2）用描点法画函数图象步骤：
①列表：选取若干个大于0的$x$值，计算对应$y$值，例如取$x=2,y=9$；$x=3,y=6$；$x=6,y=3$；$x=9,y=2$；$x=18,y=1$等；
②描点：在给出的平面直角坐标系中，描出上述表格对应的点；
③连线：用平滑的曲线依次连接这些点，得到第一象限内的反比例函数图象（图象与$x$轴、$y$轴均无交点）。
（3）对于反比例函数$y=\frac{18}{x}$，$k=18＞0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=15$时，$y=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}$。
已知$0＜x＜15$，结合函数增减性可得：$y＞\frac{6}{5}$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x},x＞0$
(2) 图象略
(3) $y＞\frac{6}{5}$
【知识点】
平行四边形面积计算，反比例函数的表达式，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的基础应用，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，利用反比例函数的增减性求取值范围时，要先明确函数在对应区间的增减规律，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
解题可按3个小问逐步推导：
1. 求解函数表达式：首先回忆平行四边形面积公式，面积=底×对应高，已知面积固定为$18\ \mathrm{cm}^2$，将底$x$、高$y$代入公式，变形即可得到$y$关于$x$的函数式；自变量$x$是平行四边形的边长，长度必须为正，由此确定$x$的取值范围。
2. 画函数图象：因为是实际问题中的反比例函数，$x$、$y$均为正数，因此图象仅在第一象限。先取几个$x$的正数值，计算对应$y$值列表，再在坐标系中描点，最后用平滑曲线连接各点即可，注意图象与坐标轴无交点。
3. 求$y$的取值范围：先判断反比例函数的增减性，$k=18＞0$，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。找到$x$的边界值15对应的$y$值，结合增减性就能推出$0＜x＜15$时$y$的取值范围。
【解析】
（1）根据平行四边形面积公式$\mathrm{S}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，底为$x\ \mathrm{cm}$，对应高为$y\ \mathrm{cm}$，可得：
$xy=18$
变形得$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{18}{x}$。
因为$x$是边长，长度为正数，因此自变量$x$的取值范围是$x＞0$。
（2）用描点法画函数图象步骤：
①列表：选取若干个大于0的$x$值，计算对应$y$值，例如取$x=2,y=9$；$x=3,y=6$；$x=6,y=3$；$x=9,y=2$；$x=18,y=1$等；
②描点：在给出的平面直角坐标系中，描出上述表格对应的点；
③连线：用平滑的曲线依次连接这些点，得到第一象限内的反比例函数图象（图象与$x$轴、$y$轴均无交点）。
（3）对于反比例函数$y=\frac{18}{x}$，$k=18＞0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=15$时，$y=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}$。
已知$0＜x＜15$，结合函数增减性可得：$y＞\frac{6}{5}$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x},x＞0$
(2) 图象略
(3) $y＞\frac{6}{5}$
【知识点】
平行四边形面积计算，反比例函数的表达式，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的基础应用，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，利用反比例函数的增减性求取值范围时，要先明确函数在对应区间的增减规律，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品$ x $个.若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人$ y $名.
（1）求$ y $关于$ x $的函数表达式；
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人人数.
（1）求$ y $关于$ x $的函数表达式；
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人人数.
答案
5. (1) $y=\frac{60}{x}$ (2) 8或9或10
解析
【分析】
（1）解题时首先明确等量关系：每天生产的工艺品总个数 = 每名工人每天做的工艺品个数 × 工人人数，将已知的总个数60代入等量关系，变形即可得到y关于x的函数表达式，注意x的取值为正数。
（2）已知x的取值范围，先结合反比例函数的增减性（x＞0时，y随x的增大而减小），代入x的边界值求出y的取值范围，再结合y代表工人人数，必须为正整数，即可得到符合条件的y的取值。
【解析】
（1）根据题意，得$xy=60$，
整理得$y$关于$x$的函数表达式为：$y=\frac{60}{x}$（$x＞0$）。
（2）已知$6≤ x≤8$，且$y=\frac{60}{x}$在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=6$时，$y=\frac{60}{6}=10$；
当$x=8$时，$y=\frac{60}{8}=7.5$，
因此$y$的取值范围是$7.5≤ y≤10$，
又因为$y$为正整数（工人人数为正整数），
所以$y$可取8、9、10。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}$ (2) 8或9或10
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的性质，实际问题的整数解
【点评】
本题结合生产实际考查反比例函数的基础应用，核心是找准工作总量、工作效率、人数三者的等量关系列函数式，再结合自变量范围和实际意义求解，是反比例函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.75
（1）解题时首先明确等量关系：每天生产的工艺品总个数 = 每名工人每天做的工艺品个数 × 工人人数，将已知的总个数60代入等量关系，变形即可得到y关于x的函数表达式，注意x的取值为正数。
（2）已知x的取值范围，先结合反比例函数的增减性（x＞0时，y随x的增大而减小），代入x的边界值求出y的取值范围，再结合y代表工人人数，必须为正整数，即可得到符合条件的y的取值。
【解析】
（1）根据题意，得$xy=60$，
整理得$y$关于$x$的函数表达式为：$y=\frac{60}{x}$（$x＞0$）。
（2）已知$6≤ x≤8$，且$y=\frac{60}{x}$在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=6$时，$y=\frac{60}{6}=10$；
当$x=8$时，$y=\frac{60}{8}=7.5$，
因此$y$的取值范围是$7.5≤ y≤10$，
又因为$y$为正整数（工人人数为正整数），
所以$y$可取8、9、10。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}$ (2) 8或9或10
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的性质，实际问题的整数解
【点评】
本题结合生产实际考查反比例函数的基础应用，核心是找准工作总量、工作效率、人数三者的等量关系列函数式，再结合自变量范围和实际意义求解，是反比例函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.75
