登录
下表是10个面积相等的矩形的长与宽,请补齐表格.
已知∠A为这10个矩形的公共角,画出这10个矩形,然后取∠A的10个对角的顶点,并把这10个点用平滑的曲线顺次连接起来.这条曲线是反比例函数图象的一支吗?为什么?
已知∠A为这10个矩形的公共角,画出这10个矩形,然后取∠A的10个对角的顶点,并把这10个点用平滑的曲线顺次连接起来.这条曲线是反比例函数图象的一支吗?为什么?
答案
解析
【分析】
首先我们需要先求出所有矩形的公共面积，从已知的一组长和宽（长5cm，宽2cm）入手，根据矩形面积公式计算出面积为10cm²，因为所有矩形面积相等，所以长和宽满足“长×宽=10”的反比例关系，利用这个关系就能计算出表格中所有未知的长和宽。判断曲线是否为反比例函数图象的一支时，可将公共角∠A的顶点作为坐标原点，∠A的两边作为x轴、y轴正半轴，那么对角顶点的坐标就是(长,宽)，验证坐标是否满足反比例函数的关系式即可。
【解析】
1. 补全表格：
先计算矩形面积：$S=5×2=10\mathrm{cm}^2$，因此对所有矩形都满足$长×宽=10$。
已知长求宽：
长为1cm时，宽$=10÷1=10\mathrm{cm}$；
长为2cm时，宽$=10÷2=5\mathrm{cm}$；
长为3cm时，宽$=10÷3=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$；
长为4cm时，宽$=10÷4=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
已知宽求长：
宽为$\frac{5}{3}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{5}{3}=6\mathrm{cm}$；
宽为$\frac{10}{7}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{10}{7}=7\mathrm{cm}$；
宽为$\frac{5}{4}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{5}{4}=8\mathrm{cm}$；
宽为$\frac{10}{9}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{10}{9}=9\mathrm{cm}$；
宽为1cm时，长$=10÷1=10\mathrm{cm}$。
2. 判断曲线类型：
这条曲线是反比例函数图象的一支。
理由：将∠A的顶点设为平面直角坐标系的原点，∠A的两条边分别作为x轴正半轴、y轴正半轴，则10个对角顶点的坐标为$(x,y)$（其中x为长，y为宽）。因为$x· y=10$，即$y=\frac{10}{x}(x＞0)$，符合反比例函数的形式，说明这10个点都在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的第一象限图象上，因此顺次连接得到的平滑曲线是该反比例函数图象的一支。
【答案】
补全后的表格：
|长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|宽/cm|10|5|$\frac{10}{3}$|$\frac{5}{2}$|2|$\frac{5}{3}$|$\frac{10}{7}$|$\frac{5}{4}$|$\frac{10}{9}$|1|
这条曲线是反比例函数图象的一支，理由见解析。
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的图象
3. 矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形实际场景，考查反比例函数的核心特征，能帮助学生理解反比例函数中两个变量乘积为定值的性质，锻炼从实际问题中抽象出函数模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先我们需要先求出所有矩形的公共面积，从已知的一组长和宽（长5cm，宽2cm）入手，根据矩形面积公式计算出面积为10cm²，因为所有矩形面积相等，所以长和宽满足“长×宽=10”的反比例关系，利用这个关系就能计算出表格中所有未知的长和宽。判断曲线是否为反比例函数图象的一支时，可将公共角∠A的顶点作为坐标原点，∠A的两边作为x轴、y轴正半轴，那么对角顶点的坐标就是(长,宽)，验证坐标是否满足反比例函数的关系式即可。
【解析】
1. 补全表格：
先计算矩形面积：$S=5×2=10\mathrm{cm}^2$，因此对所有矩形都满足$长×宽=10$。
已知长求宽：
长为1cm时，宽$=10÷1=10\mathrm{cm}$；
长为2cm时，宽$=10÷2=5\mathrm{cm}$；
长为3cm时，宽$=10÷3=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$；
长为4cm时，宽$=10÷4=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
已知宽求长：
宽为$\frac{5}{3}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{5}{3}=6\mathrm{cm}$；
宽为$\frac{10}{7}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{10}{7}=7\mathrm{cm}$；
宽为$\frac{5}{4}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{5}{4}=8\mathrm{cm}$；
宽为$\frac{10}{9}\mathrm{cm}$时，长$=10÷\frac{10}{9}=9\mathrm{cm}$；
宽为1cm时，长$=10÷1=10\mathrm{cm}$。
2. 判断曲线类型：
这条曲线是反比例函数图象的一支。
理由：将∠A的顶点设为平面直角坐标系的原点，∠A的两条边分别作为x轴正半轴、y轴正半轴，则10个对角顶点的坐标为$(x,y)$（其中x为长，y为宽）。因为$x· y=10$，即$y=\frac{10}{x}(x＞0)$，符合反比例函数的形式，说明这10个点都在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的第一象限图象上，因此顺次连接得到的平滑曲线是该反比例函数图象的一支。
【答案】
补全后的表格：
|长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|宽/cm|10|5|$\frac{10}{3}$|$\frac{5}{2}$|2|$\frac{5}{3}$|$\frac{10}{7}$|$\frac{5}{4}$|$\frac{10}{9}$|1|
这条曲线是反比例函数图象的一支，理由见解析。
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的图象
3. 矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形实际场景，考查反比例函数的核心特征，能帮助学生理解反比例函数中两个变量乘积为定值的性质，锻炼从实际问题中抽象出函数模型的能力。
【难度系数】
0.7
例1 在$△ ABC$中，设边$BC$的长为$x$ cm，$BC$上的高线$AD$为$y$ cm，$△ ABC$的面积为常数。已知$y$关于$x$的函数图象过点$(3,4)$。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式和$△ ABC$的面积；
(2) 画出函数的图象，并利用图象，求当$2＜x＜8$时$y$的取值范围。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式和$△ ABC$的面积；
(2) 画出函数的图象，并利用图象，求当$2＜x＜8$时$y$的取值范围。
答案
(1) 设△ABC的面积为S，则$\frac{1}{2}xy=S$,所以$y=\frac{2S}{x}$.因为函数图象过点(3,4),所以$4=\frac{2S}{3}$,解得S=6.所以所求的函数表达式为$y=\frac{12}{x}$，△ABC的面积为6 $cm^2$ (2) 因为x＞0,所以图象在第一象限.用描点法画出函数$y=\frac{12}{x}$的图象
.当x=2时,y=6;当x=8时,$y=\frac{3}{2}$.由图得$\frac{3}{2}＜y＜6$解析
【分析】
(1) 首先根据三角形面积公式建立底边长$x$、高$y$与面积$S$的关系，因为面积$S$为常数，可判断$y$是$x$的反比例函数，再将已知点$(3,4)$代入关系式即可求出面积$S$，进而得到$y$关于$x$的函数表达式；(2) 由于三角形边长为正数，因此$x$的取值范围为$x＞0$，函数图象仅在第一象限，先计算$x=2$和$x=8$对应的$y$值，再结合反比例函数在第一象限$y$随$x$增大而减小的性质，即可得到$2＜x＜8$时$y$的取值范围。
【解析】
(1) 设$△ ABC$的面积为$S$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy = S$，变形得$y=\frac{2S}{x}$，即$y$是$x$的反比例函数。
已知函数图象过点$(3,4)$，将$x=3$、$y=4$代入上式得：
$4=\frac{2S}{3}$，解得$S=6\ \mathrm{cm^2}$。
将$S=6$代入$y=\frac{2S}{x}$，可得函数表达式为$y=\frac{12}{x}\ (x＞0)$。
(2) 由于$x$是三角形的边长，因此$x＞0$，函数$y=\frac{12}{x}$的图象仅在第一象限，用描点法画出图象如下：
当$x=2$时，代入函数得$y=\frac{12}{2}=6$；
当$x=8$时，代入函数得$y=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
因为反比例函数$y=\frac{12}{x}$在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此当$2＜x＜8$时，$y$的取值范围为$\frac{3}{2}＜y＜6$。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{12}{x}\ (x＞0)$，$△ ABC$的面积为$6\ \mathrm{cm^2}$；
(2) 函数图象：，当$2＜x＜8$时$y$的取值范围为$\frac{3}{2}＜y＜6$。
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求解析式，反比例函数图象性质
【点评】
本题结合三角形面积场景考查反比例函数的基础应用，解题时需注意自变量的实际取值范围，结合函数图象与性质求解取值范围，属于基础类应用题，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据三角形面积公式建立底边长$x$、高$y$与面积$S$的关系，因为面积$S$为常数，可判断$y$是$x$的反比例函数，再将已知点$(3,4)$代入关系式即可求出面积$S$，进而得到$y$关于$x$的函数表达式；(2) 由于三角形边长为正数，因此$x$的取值范围为$x＞0$，函数图象仅在第一象限，先计算$x=2$和$x=8$对应的$y$值，再结合反比例函数在第一象限$y$随$x$增大而减小的性质，即可得到$2＜x＜8$时$y$的取值范围。
【解析】
(1) 设$△ ABC$的面积为$S$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy = S$，变形得$y=\frac{2S}{x}$，即$y$是$x$的反比例函数。
已知函数图象过点$(3,4)$，将$x=3$、$y=4$代入上式得：
$4=\frac{2S}{3}$，解得$S=6\ \mathrm{cm^2}$。
将$S=6$代入$y=\frac{2S}{x}$，可得函数表达式为$y=\frac{12}{x}\ (x＞0)$。
(2) 由于$x$是三角形的边长，因此$x＞0$，函数$y=\frac{12}{x}$的图象仅在第一象限，用描点法画出图象如下：
当$x=2$时，代入函数得$y=\frac{12}{2}=6$；
当$x=8$时，代入函数得$y=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
因为反比例函数$y=\frac{12}{x}$在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此当$2＜x＜8$时，$y$的取值范围为$\frac{3}{2}＜y＜6$。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{12}{x}\ (x＞0)$，$△ ABC$的面积为$6\ \mathrm{cm^2}$；
(2) 函数图象：
，当$2＜x＜8$时$y$的取值范围为$\frac{3}{2}＜y＜6$。【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求解析式，反比例函数图象性质
【点评】
本题结合三角形面积场景考查反比例函数的基础应用，解题时需注意自变量的实际取值范围，结合函数图象与性质求解取值范围，属于基础类应用题，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
例2 如图2-2，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。
（1）根据下表中的数据求出压强p kPa关于体积V mL的函数表达式；
（2）当压力表读出的压强为72 kPa时，汽缸内气体的体积压缩到多少毫升？
（1）根据下表中的数据求出压强p kPa关于体积V mL的函数表达式；
（2）当压力表读出的压强为72 kPa时，汽缸内气体的体积压缩到多少毫升？
答案
(1) 根据表中的数据,可画出p关于V的函数图象
.根据图象的形状,选择反比例函数模型进行尝试.设它的函数表达式为$p=\frac{k}{V}(k≠0)$,选点(60,100)的坐标代入,得$100=\frac{k}{60}$.∴ k=6 000,
∴ $p=\frac{6000}{V}$.将点(70,86),(80,75),(90,67),(100,60)的坐标一一代入$p=\frac{6000}{V}$验证:$\frac{6000}{70}≈86$,$\frac{6000}{80}=75$,$\frac{6000}{90}≈67$,$\frac{6000}{100}=60$.可见$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$相当精确地反映了在温度不变时气体体积和所产生的压强之间的关系,也就是所求的函数表达式 (2) 当从压力表中读出气体的压强为72 kPa时,有$72=\frac{6000}{V}$,解得$V=\frac{6000}{72}≈83(mL)$.答:当压力表中读出压强为72 kPa时,汽缸内气体的体积约为83 mL
解析
【分析】
（1）首先观察p-V图像的形状为反比例函数曲线，结合温度不变时气体压强与体积成反比的规律，确定选用反比例函数模型求解。使用待定系数法，选取图像上的已知点代入预设的反比例函数表达式，求出参数k后，再代入其余数据点验证表达式的准确性，即可得到p关于V的函数关系式。
（2）求压强为72kPa时的气体体积，只需将p=72代入第一问得到的函数表达式，通过解方程求出对应的V值，最终结果结合实际意义保留合适的精度即可。
【解析】
(1) 观察函数图象特征，判断p与V符合反比例函数关系，设函数表达式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
选取点$(60,100)$的坐标代入表达式，得$100=\frac{k}{60}$，解得$k=6000$，初步得到表达式$p=\frac{6000}{V}$。
将其余点$(70,86)、(80,75)、(90,67)、(100,60)$分别代入验证：$\frac{6000}{70}≈86$，$\frac{6000}{80}=75$，$\frac{6000}{90}≈67$，$\frac{6000}{100}=60$，均与已知数据吻合，因此压强p关于体积V的函数表达式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 当压强$p=72\ \mathrm{kPa}$时，代入函数表达式得$72=\frac{6000}{V}$，解方程得$V=\frac{6000}{72}≈83(\mathrm{mL})$。
【答案】
(1) 根据表中的数据,可画出p关于V的函数图象.所求函数表达式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$；
(2) 当压力表中读出压强为72 kPa时，汽缸内的气体体积约为83 mL。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用、反比例函数图象识别
【点评】
本题结合气体压强与体积变化的实际情景考查反比例函数的相关应用，解题核心是正确判断函数类型，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及代入已知量求解对应未知量的运算，解题时需注意结合实际问题确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
（1）首先观察p-V图像的形状为反比例函数曲线，结合温度不变时气体压强与体积成反比的规律，确定选用反比例函数模型求解。使用待定系数法，选取图像上的已知点代入预设的反比例函数表达式，求出参数k后，再代入其余数据点验证表达式的准确性，即可得到p关于V的函数关系式。
（2）求压强为72kPa时的气体体积，只需将p=72代入第一问得到的函数表达式，通过解方程求出对应的V值，最终结果结合实际意义保留合适的精度即可。
【解析】
(1) 观察函数图象特征，判断p与V符合反比例函数关系，设函数表达式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
选取点$(60,100)$的坐标代入表达式，得$100=\frac{k}{60}$，解得$k=6000$，初步得到表达式$p=\frac{6000}{V}$。
将其余点$(70,86)、(80,75)、(90,67)、(100,60)$分别代入验证：$\frac{6000}{70}≈86$，$\frac{6000}{80}=75$，$\frac{6000}{90}≈67$，$\frac{6000}{100}=60$，均与已知数据吻合，因此压强p关于体积V的函数表达式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 当压强$p=72\ \mathrm{kPa}$时，代入函数表达式得$72=\frac{6000}{V}$，解方程得$V=\frac{6000}{72}≈83(\mathrm{mL})$。
【答案】
(1) 根据表中的数据,可画出p关于V的函数图象
.所求函数表达式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$；(2) 当压力表中读出压强为72 kPa时，汽缸内的气体体积约为83 mL。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用、反比例函数图象识别
【点评】
本题结合气体压强与体积变化的实际情景考查反比例函数的相关应用，解题核心是正确判断函数类型，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及代入已知量求解对应未知量的运算，解题时需注意结合实际问题确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
1. 当汽车的功率$ P $ kW一定时，汽车的行驶速度$ v $ m/s与汽车所受阻力$ F $ N之间成反比例函数关系，其图象如图所示. 当汽车所受阻力低于600 N时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应(
A.大于30 m/s
B.不大于30 m/s
C.小于30 m/s
D.不小于30 m/s
B
).A.大于30 m/s
B.不大于30 m/s
C.小于30 m/s
D.不小于30 m/s
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题意可知阻力F与速度v成反比例函数关系，先设出反比例函数解析式，再利用图象给出的已知点(20,900)求出反比例函数的常数项，得到完整的函数解析式；接下来结合安全要求“阻力不低于600N”，即F≥600N，将其代入解析式得到关于v的不等式，结合速度为正数的实际意义解不等式，即可得到速度的取值范围。
【解析】
解：设F与v的反比例函数解析式为$ F=\frac{k}{v} $（$ k≠0 $，$ v＞0 $）。
由图象可知，当$ v=20\ \mathrm{m/s} $时，$ F=900\ \mathrm{N} $，代入解析式得：
$ 900=\frac{k}{20} $，解得$ k=900×20=18000 $，
因此函数解析式为$ F=\frac{18000}{v} $。
为保证行驶安全，阻力不能低于600N，即$ F≥600 $，代入得：
$ \frac{18000}{v}≥600 $，
∵v是行驶速度，
∴$ v＞0 $，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
$ 18000≥600v $，
解得$ v≤30 $，即汽车的行驶速度不大于30m/s。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，解一元一次不等式
【点评】
本题结合汽车行驶的实际场景考查反比例函数的应用，解题的关键是先利用图象上的已知点求出反比例函数解析式，再结合安全要求列不等式求解，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围为正数，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题意可知阻力F与速度v成反比例函数关系，先设出反比例函数解析式，再利用图象给出的已知点(20,900)求出反比例函数的常数项，得到完整的函数解析式；接下来结合安全要求“阻力不低于600N”，即F≥600N，将其代入解析式得到关于v的不等式，结合速度为正数的实际意义解不等式，即可得到速度的取值范围。
【解析】
解：设F与v的反比例函数解析式为$ F=\frac{k}{v} $（$ k≠0 $，$ v＞0 $）。
由图象可知，当$ v=20\ \mathrm{m/s} $时，$ F=900\ \mathrm{N} $，代入解析式得：
$ 900=\frac{k}{20} $，解得$ k=900×20=18000 $，
因此函数解析式为$ F=\frac{18000}{v} $。
为保证行驶安全，阻力不能低于600N，即$ F≥600 $，代入得：
$ \frac{18000}{v}≥600 $，
∵v是行驶速度，
∴$ v＞0 $，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
$ 18000≥600v $，
解得$ v≤30 $，即汽车的行驶速度不大于30m/s。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，解一元一次不等式
【点评】
本题结合汽车行驶的实际场景考查反比例函数的应用，解题的关键是先利用图象上的已知点求出反比例函数解析式，再结合安全要求列不等式求解，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围为正数，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
