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6. 王大爷需要建一个面积是2 500 m²的长方形养鸡场.
（1）养鸡场的长 y m 与宽 x m 有怎样的函数关系？
（2）王大爷决定把养鸡场的长确定为 250 m，宽应是多少？
（3）由于受场地限制，养鸡场的宽最多是 20 m，养鸡场的长至少应是多少？
（1）养鸡场的长 y m 与宽 x m 有怎样的函数关系？
（2）王大爷决定把养鸡场的长确定为 250 m，宽应是多少？
（3）由于受场地限制，养鸡场的宽最多是 20 m，养鸡场的长至少应是多少？
答案
6. (1) $y=\frac{2500}{x}$ (2) 10 m (3) 125 m
解析
【分析】
首先，利用长方形面积公式建立长与宽的关系，解决三个问题：
（1）根据长方形面积=长×宽，将已知面积代入，变形得到长与宽的函数关系；
（2）把确定的长代入（1）中的函数式，求解宽；
（3）根据宽的限制条件，结合反比例函数的增减性（x＞0时，y随x增大而减小），找到宽最大时对应的长最小值，代入计算即可。
【解析】
（1）根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得 $ x · y = 2500 $，变形得 $ y = \frac{2500}{x} $（$ x＞0 $），即长$ y $与宽$ x $的函数关系为反比例函数关系；
（2）将$ y=250 $代入$ y = \frac{2500}{x} $，得$ 250 = \frac{2500}{x} $，解得$ x = \frac{2500}{250} = 10 $，即宽应是10 m；
（3）已知宽最多为20 m，即$ x ≤ 20 $，由$ y = \frac{2500}{x} $（$ x＞0 $）可知，y随x的增大而减小，因此当x最大为20 m时，y最小，代入得$ y = \frac{2500}{20} = 125 $，即长至少应是125 m。
【答案】
(1) $ y=\frac{2500}{x} $；(2) 10 m；(3) 125 m
【知识点】
反比例函数的应用、长方形面积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用面积公式建立函数关系，再通过反比例函数的增减性解决实际中的最值问题，属于基础应用题型，需学生掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.5
首先，利用长方形面积公式建立长与宽的关系，解决三个问题：
（1）根据长方形面积=长×宽，将已知面积代入，变形得到长与宽的函数关系；
（2）把确定的长代入（1）中的函数式，求解宽；
（3）根据宽的限制条件，结合反比例函数的增减性（x＞0时，y随x增大而减小），找到宽最大时对应的长最小值，代入计算即可。
【解析】
（1）根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得 $ x · y = 2500 $，变形得 $ y = \frac{2500}{x} $（$ x＞0 $），即长$ y $与宽$ x $的函数关系为反比例函数关系；
（2）将$ y=250 $代入$ y = \frac{2500}{x} $，得$ 250 = \frac{2500}{x} $，解得$ x = \frac{2500}{250} = 10 $，即宽应是10 m；
（3）已知宽最多为20 m，即$ x ≤ 20 $，由$ y = \frac{2500}{x} $（$ x＞0 $）可知，y随x的增大而减小，因此当x最大为20 m时，y最小，代入得$ y = \frac{2500}{20} = 125 $，即长至少应是125 m。
【答案】
(1) $ y=\frac{2500}{x} $；(2) 10 m；(3) 125 m
【知识点】
反比例函数的应用、长方形面积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用面积公式建立函数关系，再通过反比例函数的增减性解决实际中的最值问题，属于基础应用题型，需学生掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.5
7. 当某游泳池以 $300\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$ 的速度放水时，$3\ \mathrm{h}$ 能将池内的水放完. 设放水的速度为$v\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$，将池内的水放完需$t\ \mathrm{h}$.
(1) 求$v$关于$t$的函数表达式，并画出函数图象；
(2) 若要求在$2.5\ \mathrm{h}$内(包括$2.5\ \mathrm{h}$)把游泳池内的水放完，则游泳池的放水速度至少为多少(要求用反比例函数的性质和图象两种方法求解)？
(1) 求$v$关于$t$的函数表达式，并画出函数图象；
(2) 若要求在$2.5\ \mathrm{h}$内(包括$2.5\ \mathrm{h}$)把游泳池内的水放完，则游泳池的放水速度至少为多少(要求用反比例函数的性质和图象两种方法求解)？
答案
7. (1) $v=\frac{900}{t}$，图象略 (2) $360\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$
解析
【分析】
先根据已知放水速度和时间求出游泳池总水量（不变量），再利用“总水量=放水速度×时间”推导v与t的函数关系；解决第二问时，需结合反比例函数的性质（k＞0时，第一象限内函数随自变量增大而减小），以及反比例函数图象的特点，两种方法求解放水速度的最小值。
【解析】
(1) 计算游泳池总水量：已知放水速度为300 m³/h时，3h放完，总水量=300×3=900(m³)。因总水量固定，故v·t=900，整理得v=900/t（t＞0），函数图象为反比例函数v=900/t在第一象限的分支（图象略）。
(2) 方法一（反比例函数性质）：由v=900/t，k=900＞0，可知t＞0时，v随t的增大而减小。要求t≤2.5h，即t最大取2.5h时v最小，代入得v=900÷2.5=360(m³/h)，故放水速度至少为360 m³/h。
方法二（图象法）：画出v=900/t的第一象限反比例图象，在横轴t上找到t=2.5的点，过该点作垂直于t轴的直线，与图象交点对应的纵轴值即为v的最小值，计算得该值为360 m³/h，故放水速度至少为360 m³/h。
【答案】(1) $v=\frac{900}{t}$，图象略；(2) $360\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$
【知识点】反比例函数的应用，反比例函数的性质，反比例函数图象
【点评】本题结合实际放水问题考查反比例函数的应用，核心是确定总水量这一不变量，建立反比例函数关系，再利用反比例函数的性质和图象解决最值问题，属于基础应用题，需掌握反比例函数的基本性质及实际应用方法。
【难度系数】0.6
先根据已知放水速度和时间求出游泳池总水量（不变量），再利用“总水量=放水速度×时间”推导v与t的函数关系；解决第二问时，需结合反比例函数的性质（k＞0时，第一象限内函数随自变量增大而减小），以及反比例函数图象的特点，两种方法求解放水速度的最小值。
【解析】
(1) 计算游泳池总水量：已知放水速度为300 m³/h时，3h放完，总水量=300×3=900(m³)。因总水量固定，故v·t=900，整理得v=900/t（t＞0），函数图象为反比例函数v=900/t在第一象限的分支（图象略）。
(2) 方法一（反比例函数性质）：由v=900/t，k=900＞0，可知t＞0时，v随t的增大而减小。要求t≤2.5h，即t最大取2.5h时v最小，代入得v=900÷2.5=360(m³/h)，故放水速度至少为360 m³/h。
方法二（图象法）：画出v=900/t的第一象限反比例图象，在横轴t上找到t=2.5的点，过该点作垂直于t轴的直线，与图象交点对应的纵轴值即为v的最小值，计算得该值为360 m³/h，故放水速度至少为360 m³/h。
【答案】(1) $v=\frac{900}{t}$，图象略；(2) $360\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$
【知识点】反比例函数的应用，反比例函数的性质，反比例函数图象
【点评】本题结合实际放水问题考查反比例函数的应用，核心是确定总水量这一不变量，建立反比例函数关系，再利用反比例函数的性质和图象解决最值问题，属于基础应用题，需掌握反比例函数的基本性质及实际应用方法。
【难度系数】0.6
8. 一杠杆装置如图所示，杠杆的一端吊起一桶水，所受的重力为250 N，木桶对杠杆的拉力的作用点到支点的杆长为1.2 m. 杠杆与水平线的倾斜角为45°. 设在杠杆的另一端施加的拉力为F N，拉力作用点到支点的距离为d m(杠杆自身所受的重力略去不计).
(1) 求F关于d的函数表达式；
(2) 若d=2.4 m，则杠杆的另一端所加拉力为多少牛？
(1) 求F关于d的函数表达式；
(2) 若d=2.4 m，则杠杆的另一端所加拉力为多少牛？
答案
8. (1) $F=\frac{300}{d}$ (2) 125 N
解析
【分析】
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路是利用杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），先明确力臂的定义（支点到力的作用线的垂直距离），结合本题中力的方向（竖直向下）和杠杆倾斜角，推导动力臂与阻力臂的表达式，代入平衡条件化简得到F与d的函数关系，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂。
已知阻力G=250N，阻力作用点到支点的杆长为1.2m，杠杆与水平线倾斜角为45°，阻力为竖直向下，因此阻力臂（支点到阻力作用线的垂直距离）为：$L_{阻}=1.2×\cos45°$；
动力F竖直向下，动力作用点到支点的距离为$d$ m，同理动力臂为：$L_{动}=d×\cos45°$。
将上述量代入杠杆平衡条件得：
$F× d×\cos45° = 250×1.2×\cos45°$
由于$\cos45°≠0$，两边约去$\cos45°$，化简得：$F× d=300$，即$F=\frac{300}{d}$。
(2) 当$d=2.4$ m时，将其代入$F=\frac{300}{d}$，得：
$F=\frac{300}{2.4}=125$（N）。
【答案】
(1) $F=\frac{300}{d}$；(2) $125$ N
【知识点】
杠杆平衡条件、力臂的计算
【点评】
本题结合实际杠杆装置考查杠杆平衡条件的应用，核心是正确理解力臂的定义，本题中力臂的倾斜分量可约去，简化了计算过程，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路是利用杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），先明确力臂的定义（支点到力的作用线的垂直距离），结合本题中力的方向（竖直向下）和杠杆倾斜角，推导动力臂与阻力臂的表达式，代入平衡条件化简得到F与d的函数关系，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂。
已知阻力G=250N，阻力作用点到支点的杆长为1.2m，杠杆与水平线倾斜角为45°，阻力为竖直向下，因此阻力臂（支点到阻力作用线的垂直距离）为：$L_{阻}=1.2×\cos45°$；
动力F竖直向下，动力作用点到支点的距离为$d$ m，同理动力臂为：$L_{动}=d×\cos45°$。
将上述量代入杠杆平衡条件得：
$F× d×\cos45° = 250×1.2×\cos45°$
由于$\cos45°≠0$，两边约去$\cos45°$，化简得：$F× d=300$，即$F=\frac{300}{d}$。
(2) 当$d=2.4$ m时，将其代入$F=\frac{300}{d}$，得：
$F=\frac{300}{2.4}=125$（N）。
【答案】
(1) $F=\frac{300}{d}$；(2) $125$ N
【知识点】
杠杆平衡条件、力臂的计算
【点评】
本题结合实际杠杆装置考查杠杆平衡条件的应用，核心是正确理解力臂的定义，本题中力臂的倾斜分量可约去，简化了计算过程，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
