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2. 已知甲、乙两地相距$s$ km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间$t$ h关于行驶速度$v$ km/h的函数图象是(
C
).答案
2. C
解析
【分析】
首先根据行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间，结合甲乙两地距离s为定值，推导时间t与速度v的函数关系式；再结合实际意义确定v和t的取值范围（均为正数），最后根据反比例函数的图象特征逐一筛选选项即可。
【解析】
根据匀速行驶的路程公式可得：$ s = vt $，其中$ s $为定值且$ s＞0 $，
变形得$ t = \frac{s}{v} $，由此可知$ t $是$ v $的反比例函数。
结合实际意义：行驶速度$ v＞0 $，行驶时间$ t＞0 $，因此该函数的图象是位于第一象限的双曲线的一支，且$ t $随$ v $的增大而减小。
逐一分析选项：
A、图象为递增曲线，不符合反比例函数的变化趋势，错误；
B、图象为过原点的直线，是正比例函数图象，不符合$ t $与$ v $的反比例关系，错误；
C、图象为第一象限内递减的双曲线一支，符合要求，正确；
D、图象包含第三象限的部分，不符合$ v＞0 $、$ t＞0 $的实际取值，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的相关知识，解题的关键是正确推导函数关系式，同时要注意结合实际问题限制自变量和因变量的取值范围，避免忽略实际意义错选。
【难度系数】
0.8
首先根据行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间，结合甲乙两地距离s为定值，推导时间t与速度v的函数关系式；再结合实际意义确定v和t的取值范围（均为正数），最后根据反比例函数的图象特征逐一筛选选项即可。
【解析】
根据匀速行驶的路程公式可得：$ s = vt $，其中$ s $为定值且$ s＞0 $，
变形得$ t = \frac{s}{v} $，由此可知$ t $是$ v $的反比例函数。
结合实际意义：行驶速度$ v＞0 $，行驶时间$ t＞0 $，因此该函数的图象是位于第一象限的双曲线的一支，且$ t $随$ v $的增大而减小。
逐一分析选项：
A、图象为递增曲线，不符合反比例函数的变化趋势，错误；
B、图象为过原点的直线，是正比例函数图象，不符合$ t $与$ v $的反比例关系，错误；
C、图象为第一象限内递减的双曲线一支，符合要求，正确；
D、图象包含第三象限的部分，不符合$ v＞0 $、$ t＞0 $的实际取值，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的相关知识，解题的关键是正确推导函数关系式，同时要注意结合实际问题限制自变量和因变量的取值范围，避免忽略实际意义错选。
【难度系数】
0.8
3. 设大米的单价为 $ x $ 元/kg，用50元钱可购买大米 $ y $ kg.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
（2）已知 $ y=12.5 $，求 $ x $ 的值，并说明此时 $ x $ 的值的实际意义.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
（2）已知 $ y=12.5 $，求 $ x $ 的值，并说明此时 $ x $ 的值的实际意义.
答案
3. (1) $y=\frac{50}{x}$ (2) 4，大米的单价为4元/kg
解析
【分析】
解题分为两步思考：①第一问可利用购物场景下的基础等量关系“总价=单价×数量”，本题中总价固定为50元，将单价x、数量y代入等量关系，变形后即可得到y关于x的函数表达式，注意单价x为正数。②第二问属于已知函数值求自变量的问题，直接把y=12.5代入第一问得到的函数表达式，解简单的分式方程就能求出x的值，再结合题目背景说明x的实际意义即可。
【解析】
（1）由“总价=单价×数量”的等量关系可得：
$x· y=50$
因为单价x不能为0或负数，即$x＞0$，将等式两边同时除以x，变形得：
$y=\frac{50}{x}$
（2）把$y=12.5$代入$y=\frac{50}{x}$中，可得：
$12.5=\frac{50}{x}$
解方程得：$x=\frac{50}{12.5}=4$
此时x的实际意义为：大米的单价为4元/kg。
【答案】
(1) $y=\frac{50}{x}$ (2) 4，大米的单价为4元/kg
【知识点】
反比例函数实际应用；代入法求自变量；数量关系建模
【点评】
本题结合日常购物的常见场景出题，是反比例函数应用的基础题型，主要考察学生对基础数量关系的掌握程度，以及列写函数表达式、代入求值的基本能力，贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.9
解题分为两步思考：①第一问可利用购物场景下的基础等量关系“总价=单价×数量”，本题中总价固定为50元，将单价x、数量y代入等量关系，变形后即可得到y关于x的函数表达式，注意单价x为正数。②第二问属于已知函数值求自变量的问题，直接把y=12.5代入第一问得到的函数表达式，解简单的分式方程就能求出x的值，再结合题目背景说明x的实际意义即可。
【解析】
（1）由“总价=单价×数量”的等量关系可得：
$x· y=50$
因为单价x不能为0或负数，即$x＞0$，将等式两边同时除以x，变形得：
$y=\frac{50}{x}$
（2）把$y=12.5$代入$y=\frac{50}{x}$中，可得：
$12.5=\frac{50}{x}$
解方程得：$x=\frac{50}{12.5}=4$
此时x的实际意义为：大米的单价为4元/kg。
【答案】
(1) $y=\frac{50}{x}$ (2) 4，大米的单价为4元/kg
【知识点】
反比例函数实际应用；代入法求自变量；数量关系建模
【点评】
本题结合日常购物的常见场景出题，是反比例函数应用的基础题型，主要考察学生对基础数量关系的掌握程度，以及列写函数表达式、代入求值的基本能力，贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.9
4. 如图所示的曲线表示温度$T°\mathrm{C}$与时间$t\ \mathrm{h}$之间的函数关系，它是一个反比例函数图象的一支，过点$(1,3)$。
（1）求该曲线相应的函数表达式和自变量$t$的取值范围；
（2）若$T≤2.5$，求自变量$t$的取值范围。
（1）求该曲线相应的函数表达式和自变量$t$的取值范围；
（2）若$T≤2.5$，求自变量$t$的取值范围。
答案
4. (1) $C=\frac{3}{t}$，$t＞0$ (2) $t≥ 1.2$
解析
【分析】
（1）已知函数为反比例函数，先设反比例函数的一般形式为$T=\frac{k}{t}(k≠0)$，将已知点$(1,3)$代入即可求出$k$的值，得到函数表达式；结合实际意义，时间$t$为正数，即可确定自变量的取值范围。
（2）先求出$T=2.5$对应的$t$值，再结合该反比例函数在$t＞0$时的增减性，即可得到$T≤2.5$时自变量$t$的取值范围。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$T=\frac{k}{t}\ (k≠0)$。
∵函数图象过点$(1,3)$，
∴把$t=1$，$T=3$代入表达式，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
∴函数表达式为$T=\frac{3}{t}$。
∵时间$t$表示时长，取值为正，
∴自变量$t$的取值范围是$t＞0$。
（2）当$T=2.5$时，代入$T=\frac{3}{t}$得：
$2.5=\frac{3}{t}$，解得$t=\frac{3}{2.5}=1.2$。
∵$k=3＞0$，在$t＞0$的范围内，$T$随$t$的增大而减小，
∴当$T≤2.5$时，$t≥1.2$。
【答案】
(1) $T=\frac{3}{t}$，$t＞0$
(2) $t≥ 1.2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，求解自变量范围时要结合实际意义和函数的增减性分析，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
（1）已知函数为反比例函数，先设反比例函数的一般形式为$T=\frac{k}{t}(k≠0)$，将已知点$(1,3)$代入即可求出$k$的值，得到函数表达式；结合实际意义，时间$t$为正数，即可确定自变量的取值范围。
（2）先求出$T=2.5$对应的$t$值，再结合该反比例函数在$t＞0$时的增减性，即可得到$T≤2.5$时自变量$t$的取值范围。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$T=\frac{k}{t}\ (k≠0)$。
∵函数图象过点$(1,3)$，
∴把$t=1$，$T=3$代入表达式，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
∴函数表达式为$T=\frac{3}{t}$。
∵时间$t$表示时长，取值为正，
∴自变量$t$的取值范围是$t＞0$。
（2）当$T=2.5$时，代入$T=\frac{3}{t}$得：
$2.5=\frac{3}{t}$，解得$t=\frac{3}{2.5}=1.2$。
∵$k=3＞0$，在$t＞0$的范围内，$T$随$t$的增大而减小，
∴当$T≤2.5$时，$t≥1.2$。
【答案】
(1) $T=\frac{3}{t}$，$t＞0$
(2) $t≥ 1.2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，求解自变量范围时要结合实际意义和函数的增减性分析，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$ p $ Pa是气球体积$ V $ $ \mathrm{m}^3 $的反比例函数，其图象如图所示.
（1）根据图象，写出反比例函数表达式.
（2）当气球内的气压大于40 000 Pa时，气球会爆炸. 为确保气球不爆炸，气球的体积应满足什么条件？
（1）根据图象，写出反比例函数表达式.
（2）当气球内的气压大于40 000 Pa时，气球会爆炸. 为确保气球不爆炸，气球的体积应满足什么条件？
答案
5. (1) $p=\frac{24000}{V}$ (2) $V≥ 0.6$
解析
【分析】
（1）求解反比例函数表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$），观察图象可知函数过点$(1.5,16000)$，将该点坐标代入一般式即可求出未知常数$k$，进而得到函数表达式。
（2）要保证气球不爆炸，需满足气压$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，将该不等关系代入已求出的反比例函数解析式，结合体积$V$恒为正的实际意义，解不等式即可得到体积的取值范围。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
由图象可知，函数图象经过点$(1.5,16000)$，将$V=1.5$，$p=16000$代入表达式得：
$16000=\frac{k}{1.5}$
解得$k=16000×1.5=24000$
因此反比例函数表达式为$p=\frac{24000}{V}$（$V＞0$）。
（2）由题意可知，气球不爆炸时需满足$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，代入解析式得：
$\frac{24000}{V}≤40000$
由于气球体积$V＞0$，不等式两边同时乘$V$，不等号方向不变，得：
$24000≤40000V$
两边同时除以$40000$，解得$V≥0.6$
即为确保气球不爆炸，气球体积应不小于$0.6\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p=\dfrac{24000}{V}}$；(2) $\boldsymbol{V≥ 0.6\ \mathrm{m^3}}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是利用待定系数法求出函数解析式，再结合实际限制条件解不等式，注重对基础知识和应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
（1）求解反比例函数表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$），观察图象可知函数过点$(1.5,16000)$，将该点坐标代入一般式即可求出未知常数$k$，进而得到函数表达式。
（2）要保证气球不爆炸，需满足气压$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，将该不等关系代入已求出的反比例函数解析式，结合体积$V$恒为正的实际意义，解不等式即可得到体积的取值范围。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
由图象可知，函数图象经过点$(1.5,16000)$，将$V=1.5$，$p=16000$代入表达式得：
$16000=\frac{k}{1.5}$
解得$k=16000×1.5=24000$
因此反比例函数表达式为$p=\frac{24000}{V}$（$V＞0$）。
（2）由题意可知，气球不爆炸时需满足$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，代入解析式得：
$\frac{24000}{V}≤40000$
由于气球体积$V＞0$，不等式两边同时乘$V$，不等号方向不变，得：
$24000≤40000V$
两边同时除以$40000$，解得$V≥0.6$
即为确保气球不爆炸，气球体积应不小于$0.6\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p=\dfrac{24000}{V}}$；(2) $\boldsymbol{V≥ 0.6\ \mathrm{m^3}}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是利用待定系数法求出函数解析式，再结合实际限制条件解不等式，注重对基础知识和应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
