例1 某列车从A市到B市行驶的里程为120 km.假设该列车匀速行驶，行驶的时间为t h，速度为v km/h，且速度限定为不超过160 km/h.
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围.
（2）画出所求函数的图象.
（3）从A市开出一列车，有可能在40 min内（包括40 min）到达B市吗？50 min内（包括50 min）呢？如有可能，对列车的行驶速度有什么要求？

（1）从A市到B市的里程为120 km，所以所求的函数表达式为$v=\frac{120}{t}$. 当$v=160$时，$t=\frac{120}{160}=\frac{3}{4}$. $\because v$随$t$的增大而减小，$\therefore$ 由$v≤ 160$，得$t≥ \frac{3}{4}$，所以自变量的取值范围是$t≥ \frac{3}{4}$
(2)

（3）因为自变量的取值范围为$t≥ \frac{3}{4}$，即在题设条件下，列车到达B市的最短时间为45 min，所以列车不可能在40 min内到达B市. 在50 min内到达是有可能的，此时由$\frac{3}{4}≤ t≤ \frac{5}{6}$，可得$144≤ v≤ 160$.也就是说，如果列车要在50 min内到达B市，那么它行驶的速度必须不小于144 km/h. 但根据题设，不能超过160 km/h，因此行驶的速度应在144 km/h到160 km/h之间

【分析】
本题是反比例函数在行程问题中的实际应用，核心是利用路程、速度、时间的关系推导函数表达式，结合速度限制确定自变量范围，再解决时间相关的实际问题。解题思路：（1）根据路程公式$s=vt$，结合已知路程推导$v$与$t$的反比例关系，再由速度上限$v≤160\ \mathrm{km/h}$，解不等式得到自变量$t$的取值范围；（2）通过列表计算对应$t$、$v$的值，用描点法画出反比例函数的部分图象；（3）将分钟换算为小时，与$t$的最小值$\frac{3}{4}\ \mathrm{h}$比较，判断是否能按时到达，再根据时间范围求对应的速度范围。
【解析】
（1）根据路程公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，即$s=vt$，已知$s=120\ \mathrm{km}$，因此$v=\frac{s}{t}=\frac{120}{t}$。
由速度限定$v≤160\ \mathrm{km/h}$，代入得$\frac{120}{t}≤160$，因为$t＞0$，两边同乘$t$不等号方向不变，得$120≤160t$，解得$t≥\frac{120}{160}=\frac{3}{4}$，故自变量$t$的取值范围是$t≥\frac{3}{4}$。
因此，$v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{120}{t}(t≥\frac{3}{4})$。
（2）列表计算对应值：
| $t/\mathrm{h}$ | $\frac{3}{4}$ | $1$ | $\frac{5}{4}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{7}{4}$ | $2$ | $\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $v/(\mathrm{km/h})$ | $160$ | $120$ | $96$ | $80$ | $68\frac{4}{7}$ | $60$ | $53\frac{1}{3}$ | $\dots$ |
用描点法画出函数$v=\frac{120}{t}(t≥\frac{3}{4})$的图象，如图所示：
（3）先将时间单位换算为小时：
$40\ \mathrm{min}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$，$50\ \mathrm{min}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}\ \mathrm{h}$。
因为$t≥\frac{3}{4}$，而$\frac{2}{3}＜\frac{3}{4}$，所以列车不可能在40 min内到达B市；
又$\frac{5}{6}＞\frac{3}{4}$，所以列车有可能在50 min内到达。
此时$t≤\frac{5}{6}$，代入$v=\frac{120}{t}$，得$v≥\frac{120}{\frac{5}{6}}=144$，结合速度限定$v≤160$，故行驶速度需满足$144≤v≤160$，即速度在144 km/h到160 km/h之间。
【答案】
（1）$v=\frac{120}{t}$，自变量$t$的取值范围是$t≥\frac{3}{4}$；
（2）函数图象如所示；
（3）不可能在40 min内到达，有可能在50 min内到达，此时行驶速度应在144 km/h到160 km/h之间。
【知识点】
反比例函数应用，路程速度时间关系，不等式应用
【点评】
本题结合行程问题考察反比例函数的实际应用，关键是根据实际限制确定自变量的取值范围，同时涉及单位换算，需将数学知识与实际问题结合，难度适中。
【难度系数】
0.6

例2 如图2-1，阻力为100 N，阻力臂长为5 cm.设动力为y N，动力臂长为x cm（图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）.
（1）求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数.
（2）求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义.
（3）利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n(n＞1)倍时，所需动力将怎样变化？

（1）根据题意，得$y× x=100× 5$，所以所求函数的表达式为$y=\frac{500}{x}$.这个函数是反比例函数，比例系数是500
（2）当$x=50$时，$y=\frac{500}{x}=\frac{500}{50}=10(\mathrm{N})$.这个函数值的实际意义是，当动力臂长为50 cm时，所需动力为10 N
（3）设原来的动力臂长为$d$ cm，动力为$y_1$ N；扩大后的动力臂长为$nd$ cm($n＞1$)，动力为$y_2$ N. 将$x=d$，$x=nd$分别代入$y=\frac{500}{x}$，得$y_1=\frac{500}{d}$，$y_2=\frac{500}{nd}$. $\therefore y_2=\frac{1}{n}y_1$.所以当动力臂长扩大到原来的$n$倍时，所需动力缩小到原来的$\frac{1}{n}$

【分析】
本题结合物理杠杆平衡条件，利用动力×动力臂=阻力×阻力臂建立函数关系，属于反比例函数的实际应用问题。首先根据已知条件推导y与x的函数表达式，再结合反比例函数的定义判断函数类型，代入数值计算对应函数值并说明实际意义，最后通过变量替换分析动力臂变化时动力的变化规律。
【解析】
（1）根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力为100N，阻力臂为5cm，动力为y N，动力臂为x cm，代入得：
$y · x = 100 × 5$，整理得$y = \frac{500}{x}$。
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，因此该函数是反比例函数，比例系数为500。
（2）当$x=50$时，将$x=50$代入$y=\frac{500}{x}$，得：
$y = \frac{500}{50} = 10$（N）。
该值的实际意义：当动力臂长为50 cm时，撬动石块所需的动力为10 N。
（3）设原来的动力臂长为$d$ cm，对应的动力为$y_1$ N；动力臂扩大到原来的$n$（$n＞1$）倍后，动力臂长为$nd$ cm，对应的动力为$y_2$ N。
将$x=d$代入$y=\frac{500}{x}$，得$y_1 = \frac{500}{d}$；
将$x=nd$代入$y=\frac{500}{x}$，得$y_2 = \frac{500}{nd}$；
因此$y_2 = \frac{1}{n}y_1$，即当动力臂长扩大到原来的$n$倍时，所需动力缩小到原来的$\frac{1}{n}$。
【答案】
（1）$y=\frac{500}{x}$，是反比例函数，比例系数为500；
（2）当$x=50$时，$y=10$ N，实际意义是动力臂为50 cm时，所需动力为10 N；
（3）动力缩小到原来的$\frac{1}{n}$。
【知识点】
反比例函数应用，杠杆平衡条件
【点评】
本题将物理知识与数学中的反比例函数结合，考查学生对反比例函数的定义、性质的掌握，以及实际问题的转化能力，是基础的跨学科应用题目。
【难度系数】
0.5

1. 某汽车的油箱装油40 L，该汽车每小时的耗油量为x L.
（1）该汽车可行驶时间y h关于每小时的耗油量x L的函数表达式为；
（2）若该汽车每小时的耗油量为10 L，则可行驶的时间为；
（3）若要使该汽车至少行驶6 h途中不加油，则每小时耗油量的范围是.

1. (1) $y=\frac{40}{x}$ (2) $4\ \mathrm{h}$ (3) $0＜x≤ \frac{20}{3}$

【分析】
首先根据实际问题中的数量关系“行驶时间=总油量÷每小时耗油量”推导函数表达式；代入具体耗油量数值计算行驶时间；再根据“至少行驶6小时”的条件，结合函数关系和耗油量为正的实际意义，求解耗油量的取值范围。
【解析】
（1）已知油箱总油量为40 L，每小时耗油量为$ x $ L，行驶时间为$ y $ h，根据“行驶时间=总油量÷每小时耗油量”，可得函数表达式为$ y=\frac{40}{x} $（$ x＞0 $，耗油量不能为0或负数）；
（2）当每小时耗油量$ x=10 $ L时，代入函数得$ y=\frac{40}{10}=4 $，即可行驶时间为4 h；
（3）要使行驶时间至少为6 h，即$ y≥6 $，代入函数得$ \frac{40}{x}≥6 $，因$ x＞0 $，两边同乘$ x $不等号方向不变，得$ 40≥6x $，解得$ x≤\frac{20}{3} $，结合$ x＞0 $，故每小时耗油量的范围是$ 0＜x≤\frac{20}{3} $。
【答案】
(1) $ y=\frac{40}{x} $；(2) $ 4\ \mathrm{h} $；(3) $ 0＜x≤ \frac{20}{3} $
【知识点】
反比例函数的应用、不等式的应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是理清行驶时间、总油量与耗油量的数量关系，需注意实际问题中变量的取值限制，难度适中，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.5