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6. 已知反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}$ 和一次函数 $y_2=-x$.
（1）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
（2）若一次函数和反比例函数的图象相交于点$(-3, m)$.
① 求m和k的值.
② 根据函数图象回答：当 $y_1＞y_2$ 时，x的取值范围是什么？
（1）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
（2）若一次函数和反比例函数的图象相交于点$(-3, m)$.
① 求m和k的值.
② 根据函数图象回答：当 $y_1＞y_2$ 时，x的取值范围是什么？
答案
6. (1) $k＜0$
(2) ① $m=3,k=-9$ ② $-3＜x＜0$ 或 $x＞3$
(2) ① $m=3,k=-9$ ② $-3＜x＜0$ 或 $x＞3$
解析
【分析】
（1）判断两个函数图象的交点个数，可联立两个函数解析式转化为一元二次方程的根的个数问题：若有两个不同交点，说明转化后的方程有两个不相等的非零实数根，结合反比例函数的隐含条件即可求出k的取值范围。
（2）①交点坐标同时满足两个函数的解析式，先将点$(-3,m)$代入一次函数求出m的值，再将完整的交点坐标代入反比例函数即可求出k值。
②求$y_1＞y_2$的x取值范围，先利用反比例函数与正比例函数交点关于原点对称的性质求出另一个交点坐标，再结合两个函数的图象位置，分区间判断反比例函数图象在一次函数图象上方时对应的x范围即可，注意反比例函数自变量x不能为0。
【解析】
（1）联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{k}{x} \\ y=-x \end{cases}$
消去y得$\frac{k}{x}=-x$，两边同乘非零的x，整理得$x^2=-k$
∵两个函数图象有两个不同的交点，
∴方程$x^2=-k$有两个不相等的非零实数根
∴$-k＞0$，即$k＜0$
（2）①
∵点$(-3,m)$在一次函数$y_2=-x$的图象上
∴将$x=-3$代入$y_2=-x$，得$m=-(-3)=3$，即交点坐标为$(-3,3)$
将$(-3,3)$代入反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-3}$，解得$k=-9$
②由①得反比例函数解析式为$y_1=-\frac{9}{x}$，因为反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称，已知一个交点为$(-3,3)$，则另一个交点为$(3,-3)$
结合图象观察：$y_1=-\frac{9}{x}$的图象在第二、四象限，$y_2=-x$的图象是过第二、四象限的直线
当$-3＜x＜0$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；当$x＞3$时，反比例函数图象也在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$
【答案】
(1) $k＜0$
(2) ① $m=3,k=-9$ ② $-3＜x＜0$ 或 $x＞3$
【知识点】
反比例函数与一次函数综合；函数与不等式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数类基础综合题，联立方程求交点、数形结合解函数不等式是这类题的常用解题思路，解题时要注意反比例函数自变量不为0的隐含条件，避免出现错解漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断两个函数图象的交点个数，可联立两个函数解析式转化为一元二次方程的根的个数问题：若有两个不同交点，说明转化后的方程有两个不相等的非零实数根，结合反比例函数的隐含条件即可求出k的取值范围。
（2）①交点坐标同时满足两个函数的解析式，先将点$(-3,m)$代入一次函数求出m的值，再将完整的交点坐标代入反比例函数即可求出k值。
②求$y_1＞y_2$的x取值范围，先利用反比例函数与正比例函数交点关于原点对称的性质求出另一个交点坐标，再结合两个函数的图象位置，分区间判断反比例函数图象在一次函数图象上方时对应的x范围即可，注意反比例函数自变量x不能为0。
【解析】
（1）联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{k}{x} \\ y=-x \end{cases}$
消去y得$\frac{k}{x}=-x$，两边同乘非零的x，整理得$x^2=-k$
∵两个函数图象有两个不同的交点，
∴方程$x^2=-k$有两个不相等的非零实数根
∴$-k＞0$，即$k＜0$
（2）①
∵点$(-3,m)$在一次函数$y_2=-x$的图象上
∴将$x=-3$代入$y_2=-x$，得$m=-(-3)=3$，即交点坐标为$(-3,3)$
将$(-3,3)$代入反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-3}$，解得$k=-9$
②由①得反比例函数解析式为$y_1=-\frac{9}{x}$，因为反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称，已知一个交点为$(-3,3)$，则另一个交点为$(3,-3)$
结合图象观察：$y_1=-\frac{9}{x}$的图象在第二、四象限，$y_2=-x$的图象是过第二、四象限的直线
当$-3＜x＜0$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；当$x＞3$时，反比例函数图象也在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$
【答案】
(1) $k＜0$
(2) ① $m=3,k=-9$ ② $-3＜x＜0$ 或 $x＞3$
【知识点】
反比例函数与一次函数综合；函数与不等式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数类基础综合题，联立方程求交点、数形结合解函数不等式是这类题的常用解题思路，解题时要注意反比例函数自变量不为0的隐含条件，避免出现错解漏解。
【难度系数】
0.7
7. 已知反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象经过点$(m,y_1),(m+1,y_2),(m+2,y_3)$，下列关于$y_1+y_3$与$y_2$的大小关系中，正确的是(
A.$y_1+y_3＞2y_2$
B.$y_1+y_3＜2y_2$
C.$y_1+y_3=2y_2$
D.不能确定
A
).A.$y_1+y_3＞2y_2$
B.$y_1+y_3＜2y_2$
C.$y_1+y_3=2y_2$
D.不能确定
答案
7. A
解析
【分析】
要比较$y_1+y_3$和$2y_2$的大小，可先根据反比例函数解析式，用含$m$的代数式分别表示出$y_1、y_2、y_3$，再通过作差法计算$(y_1+y_3)-2y_2$的值，结合$x＞0$即$m＞0$的条件判断差的正负性，即可得出两者的大小关系。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象经过点$(m,y_1),(m+1,y_2),(m+2,y_3)$
∴$y_1=\frac{3}{m}$，$y_2=\frac{3}{m+1}$，$y_3=\frac{3}{m+2}$，且$m＞0$
先计算$y_1+y_3$：
$y_1+y_3=\frac{3}{m}+\frac{3}{m+2}=\frac{3(m+2)+3m}{m(m+2)}=\frac{6m+6}{m(m+2)}=\frac{6(m+1)}{m(m+2)}$
再计算$2y_2$：
$2y_2=2×\frac{3}{m+1}=\frac{6}{m+1}$
作差比较大小：
$y_1+y_3-2y_2=\frac{6(m+1)}{m(m+2)}-\frac{6}{m+1}$
通分（公分母为$m(m+1)(m+2)$）得：
$=\frac{6(m+1)^2 - 6m(m+2)}{m(m+1)(m+2)}$
展开并化简分子：
$6(m^2+2m+1)-6(m^2+2m)=6m^2+12m+6-6m^2-12m=6$
∴$y_1+y_3-2y_2=\frac{6}{m(m+1)(m+2)}$
∵$m＞0$，
∴$m(m+1)(m+2)＞0$，即差为正数
∴$y_1+y_3＞2y_2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，分式的加减运算，作差法比较大小
【点评】
本题是反比例函数性质与代数式大小比较的综合题，解题核心是将函数值转化为含参数的代数式，通过作差通分判断结果的符号，需要熟练掌握分式运算的基本法则。
【难度系数】
0.7
要比较$y_1+y_3$和$2y_2$的大小，可先根据反比例函数解析式，用含$m$的代数式分别表示出$y_1、y_2、y_3$，再通过作差法计算$(y_1+y_3)-2y_2$的值，结合$x＞0$即$m＞0$的条件判断差的正负性，即可得出两者的大小关系。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象经过点$(m,y_1),(m+1,y_2),(m+2,y_3)$
∴$y_1=\frac{3}{m}$，$y_2=\frac{3}{m+1}$，$y_3=\frac{3}{m+2}$，且$m＞0$
先计算$y_1+y_3$：
$y_1+y_3=\frac{3}{m}+\frac{3}{m+2}=\frac{3(m+2)+3m}{m(m+2)}=\frac{6m+6}{m(m+2)}=\frac{6(m+1)}{m(m+2)}$
再计算$2y_2$：
$2y_2=2×\frac{3}{m+1}=\frac{6}{m+1}$
作差比较大小：
$y_1+y_3-2y_2=\frac{6(m+1)}{m(m+2)}-\frac{6}{m+1}$
通分（公分母为$m(m+1)(m+2)$）得：
$=\frac{6(m+1)^2 - 6m(m+2)}{m(m+1)(m+2)}$
展开并化简分子：
$6(m^2+2m+1)-6(m^2+2m)=6m^2+12m+6-6m^2-12m=6$
∴$y_1+y_3-2y_2=\frac{6}{m(m+1)(m+2)}$
∵$m＞0$，
∴$m(m+1)(m+2)＞0$，即差为正数
∴$y_1+y_3＞2y_2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，分式的加减运算，作差法比较大小
【点评】
本题是反比例函数性质与代数式大小比较的综合题，解题核心是将函数值转化为含参数的代数式，通过作差通分判断结果的符号，需要熟练掌握分式运算的基本法则。
【难度系数】
0.7
8. 如图，一次函数 $ y_1 = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象交于点 $ A(4,m), B(-6,-2) $。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）写出关于 $ x $ 的不等式 $ ax + b ＞ \frac{k}{x} $ 的解集；
（3）若点 $ P $ 为直线 $ AB $ 上的动点，过点 $ P $ 作 $ PQ // y $ 轴，与反比例函数的图象交于点 $ Q $，当 $ △ OPQ $ 的面积为 6 时，求点 $ Q $ 的坐标。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）写出关于 $ x $ 的不等式 $ ax + b ＞ \frac{k}{x} $ 的解集；
（3）若点 $ P $ 为直线 $ AB $ 上的动点，过点 $ P $ 作 $ PQ // y $ 轴，与反比例函数的图象交于点 $ Q $，当 $ △ OPQ $ 的面积为 6 时，求点 $ Q $ 的坐标。
答案
8. (1) 将$B(-6,-2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$k=(-6)×(-2)=12$
(2) $-6＜x＜0$ 或 $x＞4$
(3) $(-2,-6),(6,2),(-8,-1.5)$
(2) $-6＜x＜0$ 或 $x＞4$
(3) $(-2,-6),(6,2),(-8,-1.5)$
解析
【分析】
1. 第（1）问求反比例函数的k值，反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式，直接将已知点B的坐标代入$y_2=\frac{k}{x}$即可计算出k。
2. 第（2）问求不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集，本质是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点A、B的坐标，分区间观察图象即可，注意反比例函数$x≠0$的限制。
3. 第（3）问先利用待定系数法求出一次函数解析式，设出点P的横坐标，根据$PQ//y$轴可得P、Q横坐标相同，表示出两点的纵坐标，PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值，$△ OPQ$以PQ为底，横坐标的绝对值为高，根据面积公式列方程求解，最后代入反比例函数解析式得到Q点坐标，注意舍去不符合题意的解。
【解析】
（1）
∵ 点$B(-6,-2)$在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=-6,y=-2$代入解析式得：$k = (-6)×(-2) = 12$
（2）先求点A的坐标：将$A(4,m)$代入$y_2=\frac{12}{x}$，得$m=\frac{12}{4}=3$，即$A(4,3)$
不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，结合两交点坐标$A(4,3)$、$B(-6,-2)$，观察图象可得：
当$-6＜x＜0$或$x＞4$时，一次函数图象在反比例函数图象上方
∴ 不等式的解集为$-6＜x＜0$或$x＞4$
（3）先求一次函数解析式：将$A(4,3)$、$B(-6,-2)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}4a + b = 3 \\ -6a + b = -2 \end{cases}$
两式相减消去b得：$10a=5$，解得$a=\frac{1}{2}$
将$a=\frac{1}{2}$代入$4a + b = 3$得：$2 + b = 3$，解得$b=1$
∴ 一次函数解析式为$y_1=\frac{1}{2}x + 1$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{12}{x}$
设点P的横坐标为$t$，
∵ $PQ//y$轴，
∴ 点Q的横坐标也为$t$
则$P(t,\frac{1}{2}t + 1)$，$Q(t,\frac{12}{t})$，$PQ=|\frac{1}{2}t + 1 - \frac{12}{t}|$
$△ OPQ$的高为点P（Q）到y轴的距离，即$|t|$，根据面积公式：
$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}×|t|×|\frac{1}{2}t + 1 - \frac{12}{t}| = 6$
化简得：$|\frac{1}{2}t^2 + t - 12| = 12$
分两种情况讨论：
① 当$\frac{1}{2}t^2 + t - 12 = 12$时，整理得$t^2 + 2t - 48 = 0$
因式分解得$(t + 8)(t - 6)=0$，解得$t_1=6,t_2=-8$
② 当$\frac{1}{2}t^2 + t - 12 = -12$时，整理得$t^2 + 2t = 0$
解得$t_3=-2,t_4=0$（$t=0$时分母为0，不符合反比例函数定义域，舍去）
将符合题意的t值代入$Q(t,\frac{12}{t})$：
当$t=-2$时，$Q(-2,-6)$；当$t=6$时，$Q(6,2)$；当$t=-8$时，$Q(-8,-1.5)$
【答案】
(1) $k=12$
(2) $-6＜x＜0$ 或 $x＞4$
(3) $(-2,-6),(6,2),(-8,-1.5)$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数综合，函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，考查了待定系数法求函数解析式、利用函数图象解不等式、动点背景下的三角形面积计算，解题时要注意结合图象分析，处理绝对值方程时要分类讨论，同时注意反比例函数自变量不能为0的隐含限制。
【难度系数】
0.6
1. 第（1）问求反比例函数的k值，反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式，直接将已知点B的坐标代入$y_2=\frac{k}{x}$即可计算出k。
2. 第（2）问求不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集，本质是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点A、B的坐标，分区间观察图象即可，注意反比例函数$x≠0$的限制。
3. 第（3）问先利用待定系数法求出一次函数解析式，设出点P的横坐标，根据$PQ//y$轴可得P、Q横坐标相同，表示出两点的纵坐标，PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值，$△ OPQ$以PQ为底，横坐标的绝对值为高，根据面积公式列方程求解，最后代入反比例函数解析式得到Q点坐标，注意舍去不符合题意的解。
【解析】
（1）
∵ 点$B(-6,-2)$在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=-6,y=-2$代入解析式得：$k = (-6)×(-2) = 12$
（2）先求点A的坐标：将$A(4,m)$代入$y_2=\frac{12}{x}$，得$m=\frac{12}{4}=3$，即$A(4,3)$
不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，结合两交点坐标$A(4,3)$、$B(-6,-2)$，观察图象可得：
当$-6＜x＜0$或$x＞4$时，一次函数图象在反比例函数图象上方
∴ 不等式的解集为$-6＜x＜0$或$x＞4$
（3）先求一次函数解析式：将$A(4,3)$、$B(-6,-2)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}4a + b = 3 \\ -6a + b = -2 \end{cases}$
两式相减消去b得：$10a=5$，解得$a=\frac{1}{2}$
将$a=\frac{1}{2}$代入$4a + b = 3$得：$2 + b = 3$，解得$b=1$
∴ 一次函数解析式为$y_1=\frac{1}{2}x + 1$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{12}{x}$
设点P的横坐标为$t$，
∵ $PQ//y$轴，
∴ 点Q的横坐标也为$t$
则$P(t,\frac{1}{2}t + 1)$，$Q(t,\frac{12}{t})$，$PQ=|\frac{1}{2}t + 1 - \frac{12}{t}|$
$△ OPQ$的高为点P（Q）到y轴的距离，即$|t|$，根据面积公式：
$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}×|t|×|\frac{1}{2}t + 1 - \frac{12}{t}| = 6$
化简得：$|\frac{1}{2}t^2 + t - 12| = 12$
分两种情况讨论：
① 当$\frac{1}{2}t^2 + t - 12 = 12$时，整理得$t^2 + 2t - 48 = 0$
因式分解得$(t + 8)(t - 6)=0$，解得$t_1=6,t_2=-8$
② 当$\frac{1}{2}t^2 + t - 12 = -12$时，整理得$t^2 + 2t = 0$
解得$t_3=-2,t_4=0$（$t=0$时分母为0，不符合反比例函数定义域，舍去）
将符合题意的t值代入$Q(t,\frac{12}{t})$：
当$t=-2$时，$Q(-2,-6)$；当$t=6$时，$Q(6,2)$；当$t=-8$时，$Q(-8,-1.5)$
【答案】
(1) $k=12$
(2) $-6＜x＜0$ 或 $x＞4$
(3) $(-2,-6),(6,2),(-8,-1.5)$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数综合，函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，考查了待定系数法求函数解析式、利用函数图象解不等式、动点背景下的三角形面积计算，解题时要注意结合图象分析，处理绝对值方程时要分类讨论，同时注意反比例函数自变量不能为0的隐含限制。
【难度系数】
0.6
