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例1 在同一平面直角坐标系中画出$y=\frac{1}{2}x^2,y=-\frac{1}{2}x^2$的图象.
【思路导析】利用列表、描点、连线的方法画图象.
【请你解答】
【思路导析】利用列表、描点、连线的方法画图象.
【请你解答】
答案
解：
① 列表：
选取若干个x的值，计算对应的函数值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
② 描点：在平面直角坐标系内，以上表中各组对应值为点的坐标，描出所有对应点。
③ 连线：分别用平滑的曲线，按自变量x从小到大的顺序依次连接两组点，即可得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$，和开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
① 列表：
选取若干个x的值，计算对应的函数值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
② 描点：在平面直角坐标系内，以上表中各组对应值为点的坐标，描出所有对应点。
③ 连线：分别用平滑的曲线，按自变量x从小到大的顺序依次连接两组点，即可得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$，和开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
解析
【分析】
绘制函数图象通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。本题要画的两个函数均为$y=ax^2$形式的二次函数，图象关于y轴对称，因此列表时可选取对称的x值（包含负数值、0、正数值），能更方便地得到对称的对应点；两个函数的二次项系数互为相反数，计算函数值时注意区分符号即可；描点后用平滑曲线按x从小到大的顺序连接各点，就能得到对应的抛物线图象。
【解析】
① 列表：
选取若干个x的值，计算对应的函数值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
② 描点：在平面直角坐标系内，以上表中各组对应值为点的坐标，描出所有对应点。
③ 连线：分别用平滑的曲线，按自变量x从小到大的顺序依次连接两组点，即可得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$，和开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
【答案】
① 列表：
选取若干个x的值，计算对应的函数值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
② 描点：在平面直角坐标系内，以上表中各组对应值为点的坐标，描出所有对应点。
③ 连线：分别用平滑的曲线，按自变量x从小到大的顺序依次连接两组点，即可得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$，和开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，核心考查描点法的操作步骤，同时可直观体会二次项系数a的符号对抛物线开口方向的影响，是后续学习二次函数图象与性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
绘制函数图象通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。本题要画的两个函数均为$y=ax^2$形式的二次函数，图象关于y轴对称，因此列表时可选取对称的x值（包含负数值、0、正数值），能更方便地得到对称的对应点；两个函数的二次项系数互为相反数，计算函数值时注意区分符号即可；描点后用平滑曲线按x从小到大的顺序连接各点，就能得到对应的抛物线图象。
【解析】
① 列表：
选取若干个x的值，计算对应的函数值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
② 描点：在平面直角坐标系内，以上表中各组对应值为点的坐标，描出所有对应点。
③ 连线：分别用平滑的曲线，按自变量x从小到大的顺序依次连接两组点，即可得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$，和开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
【答案】
① 列表：
选取若干个x的值，计算对应的函数值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
② 描点：在平面直角坐标系内，以上表中各组对应值为点的坐标，描出所有对应点。
③ 连线：分别用平滑的曲线，按自变量x从小到大的顺序依次连接两组点，即可得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$，和开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，核心考查描点法的操作步骤，同时可直观体会二次项系数a的符号对抛物线开口方向的影响，是后续学习二次函数图象与性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
知识点二 二次函数 $y=ax^2(a≠0)$的性质
例2 关于二次函数 $y=3x^2$ 的图象，
下列说法中不正确的是()
A.因为 $a=3＞0$，所以图象开口向上
B.对称轴是 $y$ 轴(或直线 $x=0$)
C.抛物线的顶点为$(0,0)$
D.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
【思路导析】运用二次函数 $y=ax^2$ 的性质判断.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数 $y=ax^2$ 的性质
应用
例2 关于二次函数 $y=3x^2$ 的图象，
下列说法中不正确的是()
A.因为 $a=3＞0$，所以图象开口向上
B.对称轴是 $y$ 轴(或直线 $x=0$)
C.抛物线的顶点为$(0,0)$
D.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
【思路导析】运用二次函数 $y=ax^2$ 的性质判断.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数 $y=ax^2$ 的性质
应用
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质，解题时可逐一对应性质判断每个选项的正误：首先根据$a$的正负判断开口方向，再明确$y=ax^2$固定的对称轴和顶点坐标，最后结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，找出说法错误的选项即可。
【解析】
结合二次函数$y=3x^2$的参数和性质逐一分析选项：
选项A：二次函数中$a=3＞0$，根据性质，$a＞0$时抛物线开口向上，该说法正确，不符合题意；
选项B：所有形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴均为直线$x=0$（即$y$轴），该说法正确，不符合题意；
选项C：形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标均为原点$(0,0)$，该说法正确，不符合题意；
选项D：因为抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，所以当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，该选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数增减性判断
3. 二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是牢记$y=ax^2$中$a$的取值对开口方向、增减性的影响，以及固定的对称轴和顶点特征，熟练掌握这些基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质，解题时可逐一对应性质判断每个选项的正误：首先根据$a$的正负判断开口方向，再明确$y=ax^2$固定的对称轴和顶点坐标，最后结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，找出说法错误的选项即可。
【解析】
结合二次函数$y=3x^2$的参数和性质逐一分析选项：
选项A：二次函数中$a=3＞0$，根据性质，$a＞0$时抛物线开口向上，该说法正确，不符合题意；
选项B：所有形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴均为直线$x=0$（即$y$轴），该说法正确，不符合题意；
选项C：形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标均为原点$(0,0)$，该说法正确，不符合题意；
选项D：因为抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，所以当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，该选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数增减性判断
3. 二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是牢记$y=ax^2$中$a$的取值对开口方向、增减性的影响，以及固定的对称轴和顶点特征，熟练掌握这些基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.85
例3 若抛物线$y=(1+m)x^{m^2 -1}$的开口向下.
(1)求$m$的值；
(2)若点$A(-1,y_1),B(-2,y_2)$在抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小.
【探究点拨】(1)$1+m＜0$，且$m^2 -1=2$即可；
(2)可用求函数值、画图象及二次函数图象的性质等方法求解.
【规范解答】
(1)$\begin{cases} m^2 -1=2, \\1+m＜0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=\pm\sqrt{3}, \\m＜-1. \end{cases}$
$\therefore m=-\sqrt{3}.$
(2)当$x=-1$时，
$y_1=(1-\sqrt{3})×(-1)^2=1-\sqrt{3};$
当$x=-2$时，
$y_2=(1-\sqrt{3})×(-2)^2=4-4\sqrt{3}.$
$\because 1-\sqrt{3}＞4-4\sqrt{3},$
$\therefore y_1＞y_2.$
(1)求$m$的值；
(2)若点$A(-1,y_1),B(-2,y_2)$在抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小.
【探究点拨】(1)$1+m＜0$，且$m^2 -1=2$即可；
(2)可用求函数值、画图象及二次函数图象的性质等方法求解.
【规范解答】
(1)$\begin{cases} m^2 -1=2, \\1+m＜0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=\pm\sqrt{3}, \\m＜-1. \end{cases}$
$\therefore m=-\sqrt{3}.$
(2)当$x=-1$时，
$y_1=(1-\sqrt{3})×(-1)^2=1-\sqrt{3};$
当$x=-2$时，
$y_2=(1-\sqrt{3})×(-2)^2=4-4\sqrt{3}.$
$\because 1-\sqrt{3}＞4-4\sqrt{3},$
$\therefore y_1＞y_2.$
答案
解：
(1) 根据二次函数的定义及抛物线开口向下的条件，可得：
$\begin{cases} m^2 -1=2 \\ 1+m＜0 \end{cases}$
解方程$m^2-1=2$，得$m=\pm\sqrt{3}$；
解不等式$1+m＜0$，得$m＜-1$。
$\therefore m=-\sqrt{3}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=(1-\sqrt{3})x^2$。
当$x=-1$时，
$y_1=(1-\sqrt{3})×(-1)^2=1-\sqrt{3}$；
当$x=-2$时，
$y_2=(1-\sqrt{3})×(-2)^2=4-4\sqrt{3}$。
$\because 1-\sqrt{3} - (4-4\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}-3＞0$，即$1-\sqrt{3}＞4-4\sqrt{3}$，
$\therefore y_1＞y_2$。
(1) 根据二次函数的定义及抛物线开口向下的条件，可得：
$\begin{cases} m^2 -1=2 \\ 1+m＜0 \end{cases}$
解方程$m^2-1=2$，得$m=\pm\sqrt{3}$；
解不等式$1+m＜0$，得$m＜-1$。
$\therefore m=-\sqrt{3}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=(1-\sqrt{3})x^2$。
当$x=-1$时，
$y_1=(1-\sqrt{3})×(-1)^2=1-\sqrt{3}$；
当$x=-2$时，
$y_2=(1-\sqrt{3})×(-2)^2=4-4\sqrt{3}$。
$\because 1-\sqrt{3} - (4-4\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}-3＞0$，即$1-\sqrt{3}＞4-4\sqrt{3}$，
$\therefore y_1＞y_2$。
解析
【分析】
(1) 求解m的值需结合两个条件：一是二次函数的定义，即x的最高次为2，且二次项系数不为0；二是抛物线开口向下，说明二次项系数小于0。联立对应的方程和不等式，取公共解即可得到m的取值。
(2) 比较y₁与y₂的大小有两种思路：① 先代入m得到抛物线的具体解析式，分别将x=-1、x=-2代入计算出y₁、y₂的具体值，再通过作差法比较大小；② 利用二次函数的增减性：该抛物线对称轴为y轴，开口向下，在x＜0的区间内y随x的增大而增大，直接根据x的大小关系判断y值的大小。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义及抛物线开口向下的条件，可得方程组：
$\begin{cases} m^2 -1=2 \\ 1+m＜0 \end{cases}$
解方程$m^2-1=2$，得$m^2=3$，即$m=\pm\sqrt{3}$；
解不等式$1+m＜0$，得$m＜-1$。
综上，同时满足两个条件的m值为$-\sqrt{3}$。
(2) 由(1)可得抛物线的解析式为$y=(1-\sqrt{3})x^2$。
当$x=-1$时，代入得：$y_1=(1-\sqrt{3})×(-1)^2=1-\sqrt{3}$；
当$x=-2$时，代入得：$y_2=(1-\sqrt{3})×(-2)^2=4-4\sqrt{3}$。
用作差法比较大小：$y_1-y_2=(1-\sqrt{3})-(4-4\sqrt{3})=3\sqrt{3}-3$，因为$\sqrt{3}＞1$，所以$3\sqrt{3}-3＞0$，即$y_1＞y_2$。
也可利用性质判断：抛物线$y=(1-\sqrt{3})x^2$开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大，因为$-1＞-2$，所以$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $m=-\sqrt{3}$
(2) $y_1 ＞ y_2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；实数的大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题的关键是牢记二次函数的定义限制条件，结合开口方向确定参数取值，比较函数值时可灵活选择代入计算或利用增减性判断，有助于夯实二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.75
(1) 求解m的值需结合两个条件：一是二次函数的定义，即x的最高次为2，且二次项系数不为0；二是抛物线开口向下，说明二次项系数小于0。联立对应的方程和不等式，取公共解即可得到m的取值。
(2) 比较y₁与y₂的大小有两种思路：① 先代入m得到抛物线的具体解析式，分别将x=-1、x=-2代入计算出y₁、y₂的具体值，再通过作差法比较大小；② 利用二次函数的增减性：该抛物线对称轴为y轴，开口向下，在x＜0的区间内y随x的增大而增大，直接根据x的大小关系判断y值的大小。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义及抛物线开口向下的条件，可得方程组：
$\begin{cases} m^2 -1=2 \\ 1+m＜0 \end{cases}$
解方程$m^2-1=2$，得$m^2=3$，即$m=\pm\sqrt{3}$；
解不等式$1+m＜0$，得$m＜-1$。
综上，同时满足两个条件的m值为$-\sqrt{3}$。
(2) 由(1)可得抛物线的解析式为$y=(1-\sqrt{3})x^2$。
当$x=-1$时，代入得：$y_1=(1-\sqrt{3})×(-1)^2=1-\sqrt{3}$；
当$x=-2$时，代入得：$y_2=(1-\sqrt{3})×(-2)^2=4-4\sqrt{3}$。
用作差法比较大小：$y_1-y_2=(1-\sqrt{3})-(4-4\sqrt{3})=3\sqrt{3}-3$，因为$\sqrt{3}＞1$，所以$3\sqrt{3}-3＞0$，即$y_1＞y_2$。
也可利用性质判断：抛物线$y=(1-\sqrt{3})x^2$开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大，因为$-1＞-2$，所以$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $m=-\sqrt{3}$
(2) $y_1 ＞ y_2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；实数的大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题的关键是牢记二次函数的定义限制条件，结合开口方向确定参数取值，比较函数值时可灵活选择代入计算或利用增减性判断，有助于夯实二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.75
1. 二次函数$y=4x^2$的图象是抛物线，它的开口向，对称轴是轴，顶点的坐标为，该抛物线有最点（填“高”或“低”）。当$x=2$时，$y=$；当$y=4$时，$x=$。
2. 分别求出符合下列条件的抛物线$y=ax^2(a≠0)$的解析式：
(1)经过点$(3,-9)$；
(2)与抛物线$y=-\frac{3}{2}x^2$的开口大小相同。
2. 分别求出符合下列条件的抛物线$y=ax^2(a≠0)$的解析式：
(1)经过点$(3,-9)$；
(2)与抛物线$y=-\frac{3}{2}x^2$的开口大小相同。
答案
解：
1. 二次函数$y=4x^2$中$a=4＞0$，因此它的开口向上，对称轴是$y$轴，顶点的坐标为$(0,0)$，该抛物线有最低点。
当$x=2$时，$y=4×2^2=16$；
当$y=4$时，$4x^2=4$，解得$x=\pm1$。
答案依次为：上；y；$(0,0)$；低；$16$；$\pm1$。
2. (1) 将点$(3,-9)$代入$y=ax^2$，得：
$-9=a· 3^2$
$9a=-9$
解得$a=-1$
因此抛物线解析式为$y=-x^2$。
(2) 抛物线$y=ax^2$的开口大小由$|a|$决定，由题意得：
$|a|=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$
解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^2$或$y=-\frac{3}{2}x^2$。
1. 二次函数$y=4x^2$中$a=4＞0$，因此它的开口向上，对称轴是$y$轴，顶点的坐标为$(0,0)$，该抛物线有最低点。
当$x=2$时，$y=4×2^2=16$；
当$y=4$时，$4x^2=4$，解得$x=\pm1$。
答案依次为：上；y；$(0,0)$；低；$16$；$\pm1$。
2. (1) 将点$(3,-9)$代入$y=ax^2$，得：
$-9=a· 3^2$
$9a=-9$
解得$a=-1$
因此抛物线解析式为$y=-x^2$。
(2) 抛物线$y=ax^2$的开口大小由$|a|$决定，由题意得：
$|a|=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$
解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^2$或$y=-\frac{3}{2}x^2$。
解析
【分析】
第1题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先根据a的正负判断开口方向：a＞0开口向上，有最低点；a＜0开口向下，有最高点；$y=ax^2$的对称轴固定为y轴，顶点为原点$(0,0)$，再将x、y的值分别代入解析式计算对应值即可。第2题（1）用待定系数法，将已知点坐标代入解析式求解a的值即可得到解析式；（2）要明确抛物线的开口大小由$|a|$决定，两个抛物线开口大小相同则$|a|$相等，由此求解a的取值即可。
【解析】
1. 二次函数$y=4x^2$中$a=4＞0$，因此它的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,0)$，该抛物线有最低点。
当$x=2$时，代入解析式得$y=4×2^2=16$；
当$y=4$时，代入得$4x^2=4$，解得$x=\pm1$。
2. (1) 将点$(3,-9)$代入$y=ax^2$，得：
$-9=a·3^2$
即$9a=-9$，解得$a=-1$
因此抛物线解析式为$y=-x^2$。
(2) 抛物线$y=ax^2$的开口大小由$|a|$决定，已知所求抛物线与$y=-\frac{3}{2}x^2$开口大小相同，因此：
$|a|=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$
解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^2$或$y=-\frac{3}{2}x^2$。
【答案】
1. 上；y；$(0,0)$；低；$16$；$\pm1$
2. (1) $y=-x^2$；(2) $y=\frac{3}{2}x^2$或$y=-\frac{3}{2}x^2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；待定系数法求解析式；二次函数开口与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查$y=ax^2$的相关性质，难度不大，只要熟练掌握系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响，以及待定系数法的应用就能顺利解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
第1题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先根据a的正负判断开口方向：a＞0开口向上，有最低点；a＜0开口向下，有最高点；$y=ax^2$的对称轴固定为y轴，顶点为原点$(0,0)$，再将x、y的值分别代入解析式计算对应值即可。第2题（1）用待定系数法，将已知点坐标代入解析式求解a的值即可得到解析式；（2）要明确抛物线的开口大小由$|a|$决定，两个抛物线开口大小相同则$|a|$相等，由此求解a的取值即可。
【解析】
1. 二次函数$y=4x^2$中$a=4＞0$，因此它的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,0)$，该抛物线有最低点。
当$x=2$时，代入解析式得$y=4×2^2=16$；
当$y=4$时，代入得$4x^2=4$，解得$x=\pm1$。
2. (1) 将点$(3,-9)$代入$y=ax^2$，得：
$-9=a·3^2$
即$9a=-9$，解得$a=-1$
因此抛物线解析式为$y=-x^2$。
(2) 抛物线$y=ax^2$的开口大小由$|a|$决定，已知所求抛物线与$y=-\frac{3}{2}x^2$开口大小相同，因此：
$|a|=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$
解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^2$或$y=-\frac{3}{2}x^2$。
【答案】
1. 上；y；$(0,0)$；低；$16$；$\pm1$
2. (1) $y=-x^2$；(2) $y=\frac{3}{2}x^2$或$y=-\frac{3}{2}x^2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；待定系数法求解析式；二次函数开口与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查$y=ax^2$的相关性质，难度不大，只要熟练掌握系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响，以及待定系数法的应用就能顺利解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
