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10.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100−x)件,设总利润为y元.
(1)写出y与x的函数关系式(结果为一般形式);
(2)若总利润为1000元时,求x的值.
(1)写出y与x的函数关系式(结果为一般形式);
(2)若总利润为1000元时,求x的值.
答案
解：
(1) 由总利润=单件利润×销售量，可得
$y=(x-30)(100-x)$
展开整理为一般形式：
$y=-x^2+130x-3000$
(2) 令$y=1000$，代入函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
整理得：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得：
$x_1=50$，$x_2=80$
答：总利润为1000元时，$x$的值为50或80。
(1) 由总利润=单件利润×销售量，可得
$y=(x-30)(100-x)$
展开整理为一般形式：
$y=-x^2+130x-3000$
(2) 令$y=1000$，代入函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
整理得：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得：
$x_1=50$，$x_2=80$
答：总利润为1000元时，$x$的值为50或80。
解析
【分析】
解决本题首先要明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售量。第(1)问先求单件利润：售价x元减去进价30元，即单件利润为(x-30)元，再结合已知的销售量(100-x)件，两者相乘得到利润y与x的关系式，最后展开整理为二次函数的一般形式即可。第(2)问已知总利润为1000元，即y=1000，将其代入第(1)问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，解方程后验证解是否符合实际意义（售价大于进价、销售量为正）即可得到结果。
【解析】
(1) 根据总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-30)$元，销售量为$(100-x)$件，因此：
$y=(x-30)(100-x)$
展开并整理为一般形式：
$y=-x^2+130x-3000$
(2) 当总利润为1000元时，令$y=1000$，代入上述函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
移项整理得：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得：
$x_1=50$，$x_2=80$
经检验，$x=50$和$x=80$均满足售价大于进价、销售量为正的实际要求，均为有效解。
【答案】
(1) $y=-x^2+130x-3000$；(2) $x$的值为50或80
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，销售利润计算
【点评】
本题属于销售类基础应用题，核心考察对利润等量关系的理解、二次函数解析式的列写以及一元二次方程的解法，解题时需注意结合实际意义检验方程根的有效性，是后续学习二次函数最值应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售量。第(1)问先求单件利润：售价x元减去进价30元，即单件利润为(x-30)元，再结合已知的销售量(100-x)件，两者相乘得到利润y与x的关系式，最后展开整理为二次函数的一般形式即可。第(2)问已知总利润为1000元，即y=1000，将其代入第(1)问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，解方程后验证解是否符合实际意义（售价大于进价、销售量为正）即可得到结果。
【解析】
(1) 根据总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-30)$元，销售量为$(100-x)$件，因此：
$y=(x-30)(100-x)$
展开并整理为一般形式：
$y=-x^2+130x-3000$
(2) 当总利润为1000元时，令$y=1000$，代入上述函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
移项整理得：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得：
$x_1=50$，$x_2=80$
经检验，$x=50$和$x=80$均满足售价大于进价、销售量为正的实际要求，均为有效解。
【答案】
(1) $y=-x^2+130x-3000$；(2) $x$的值为50或80
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，销售利润计算
【点评】
本题属于销售类基础应用题，核心考察对利润等量关系的理解、二次函数解析式的列写以及一元二次方程的解法，解题时需注意结合实际意义检验方程根的有效性，是后续学习二次函数最值应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
11.(1)如图①,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF,四边形AEGF是矩形,写出矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)如图②,已知一长方形打印纸长20 cm、宽15 cm,现要在打印纸上打印文稿,上、下、左、右各留出一定空白.设留出的距离均为x cm,打印文稿的面积为y cm²,
试写出y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围.
(2)如图②,已知一长方形打印纸长20 cm、宽15 cm,现要在打印纸上打印文稿,上、下、左、右各留出一定空白.设留出的距离均为x cm,打印文稿的面积为y cm²,
试写出y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围.
答案
解：(1) 已知BE=x，正方形ABCD的边长为5，则AE=AB-BE=5-x，
由BE=DF得DF=x，因此AF=AD+DF=5+x。
矩形AEGF的面积$y=AE· AF=(5-x)(5+x)$，
整理得函数关系式为：$y=-x^2+25$。
∵点E在AB上，点F在AD的延长线上，
∴x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 由题意可知，打印文稿部分的长为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(15-2x)\ \mathrm{cm}$，
因此打印文稿的面积$y=(20-2x)(15-2x)$，
整理得函数关系式为：$y=4x^2-70x+300$。
结合实际意义列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-2x＞0 \\15-2x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜7.5$，即x的取值范围是$0＜x＜7.5$。
由BE=DF得DF=x，因此AF=AD+DF=5+x。
矩形AEGF的面积$y=AE· AF=(5-x)(5+x)$，
整理得函数关系式为：$y=-x^2+25$。
∵点E在AB上，点F在AD的延长线上，
∴x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 由题意可知，打印文稿部分的长为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(15-2x)\ \mathrm{cm}$，
因此打印文稿的面积$y=(20-2x)(15-2x)$，
整理得函数关系式为：$y=4x^2-70x+300$。
结合实际意义列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-2x＞0 \\15-2x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜7.5$，即x的取值范围是$0＜x＜7.5$。
解析
【分析】
(1) 求解矩形AEGF的面积需用到矩形面积=长×宽的公式，先根据已知条件表示出矩形邻边AE、AF的长度：已知BE长为x，正方形边长为5，可得AE=5-x；由BE=DF可知DF=x，可得AF=5+x，将两条邻边相乘即可得到面积y与x的函数关系式，再结合点E、F的位置限制确定x的取值范围。
(2) 打印文稿区域为长方形，上下、左右各留出x cm空白，因此文稿的长为原长减去左右两个空白宽度，即20-2x，宽为原宽减去上下两个空白宽度，即15-2x，根据长方形面积公式列出函数关系式，再结合空白宽度为正、文稿长宽均为正的实际意义，列不等式求解得到x的取值范围。
【解析】
(1) 设BE的长为x，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴AE=AB-BE=5-x，
又
∵BE=DF，
∴DF=x，
∴AF=AD+DF=5+x，
矩形AEGF的面积$y=AE· AF=(5-x)(5+x)$，
整理得函数关系式：$y=-x^2+25$。
∵点E在AB上，点F在AD的延长线上，
∴$x＞0$且$5-x＞0$，即x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 由题意可知，打印文稿部分的长为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(15-2x)\ \mathrm{cm}$，
因此打印文稿的面积$y=(20-2x)(15-2x)$，
整理得函数关系式：$y=4x^2-70x+300$。
结合实际意义列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-2x＞0 \\15-2x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜7.5$，即x的取值范围是$0＜x＜7.5$。
【答案】
(1) $y=-x^2+25$，$0＜x＜5$；
(2) $y=4x^2-70x+300$，$0＜x＜7.5$。
【知识点】
二次函数实际应用，列函数关系式，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合几何图形的面积计算考查函数关系式的建立，解题核心是结合图形性质用含x的代数式表示出相关线段的长度，求解自变量取值范围时要注意符合实际意义，保证涉及的线段长度为正数，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求解矩形AEGF的面积需用到矩形面积=长×宽的公式，先根据已知条件表示出矩形邻边AE、AF的长度：已知BE长为x，正方形边长为5，可得AE=5-x；由BE=DF可知DF=x，可得AF=5+x，将两条邻边相乘即可得到面积y与x的函数关系式，再结合点E、F的位置限制确定x的取值范围。
(2) 打印文稿区域为长方形，上下、左右各留出x cm空白，因此文稿的长为原长减去左右两个空白宽度，即20-2x，宽为原宽减去上下两个空白宽度，即15-2x，根据长方形面积公式列出函数关系式，再结合空白宽度为正、文稿长宽均为正的实际意义，列不等式求解得到x的取值范围。
【解析】
(1) 设BE的长为x，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴AE=AB-BE=5-x，
又
∵BE=DF，
∴DF=x，
∴AF=AD+DF=5+x，
矩形AEGF的面积$y=AE· AF=(5-x)(5+x)$，
整理得函数关系式：$y=-x^2+25$。
∵点E在AB上，点F在AD的延长线上，
∴$x＞0$且$5-x＞0$，即x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 由题意可知，打印文稿部分的长为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(15-2x)\ \mathrm{cm}$，
因此打印文稿的面积$y=(20-2x)(15-2x)$，
整理得函数关系式：$y=4x^2-70x+300$。
结合实际意义列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-2x＞0 \\15-2x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜7.5$，即x的取值范围是$0＜x＜7.5$。
【答案】
(1) $y=-x^2+25$，$0＜x＜5$；
(2) $y=4x^2-70x+300$，$0＜x＜7.5$。
【知识点】
二次函数实际应用，列函数关系式，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合几何图形的面积计算考查函数关系式的建立，解题核心是结合图形性质用含x的代数式表示出相关线段的长度，求解自变量取值范围时要注意符合实际意义，保证涉及的线段长度为正数，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
12.如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，设△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合。
(1)求运动2s时，重叠部分的面积；
(2)求重叠部分的面积y(单位:cm²)与时间t(单位:s)之间的函数关系式。
(1)求运动2s时，重叠部分的面积；
(2)求重叠部分的面积y(单位:cm²)与时间t(单位:s)之间的函数关系式。
答案
解：
(1) 运动2s时，点A向左移动的距离为$2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 4 = 16\ \mathrm{cm}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°$，$∠ QMA=90°$，
∴重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为16 cm，
∴重叠部分的面积为$\frac{1}{2} × 16^2 = 128\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 运动$t\ \mathrm{s}$时，点A向左移动的距离为$2t\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 2t$，
∴重叠部分的面积$y = \frac{1}{2}(20-2t)^2$，
整理得$y = 2t^2 - 40t + 200$，
其中自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 10$。
答：(1) 运动2s时，重叠部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$；(2) 函数关系式为$y=2t^2-40t+200\ (0 ≤ t ≤ 10)$。
(1) 运动2s时，点A向左移动的距离为$2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 4 = 16\ \mathrm{cm}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°$，$∠ QMA=90°$，
∴重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为16 cm，
∴重叠部分的面积为$\frac{1}{2} × 16^2 = 128\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 运动$t\ \mathrm{s}$时，点A向左移动的距离为$2t\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 2t$，
∴重叠部分的面积$y = \frac{1}{2}(20-2t)^2$，
整理得$y = 2t^2 - 40t + 200$，
其中自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 10$。
答：(1) 运动2s时，重叠部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$；(2) 函数关系式为$y=2t^2-40t+200\ (0 ≤ t ≤ 10)$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确运动过程中重叠部分的形状：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此重叠部分始终是等腰直角三角形，其直角边长为线段AM的长度。
(1)第一问先根据运动速度和时间算出点A向左移动的距离，再用正方形边长减去移动距离得到AM的长，最后代入等腰直角三角形面积公式计算即可。
(2)第二问用含t的代数式表示出点A移动的距离，进而得到AM的长度，再根据面积公式列出函数关系式，最后根据运动的起止状态确定自变量t的取值范围。
【解析】
(1) 运动2s时，点A向左移动的距离为$2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 4 = 16\ \mathrm{cm}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°$，$∠ QMA=90°$，
∴重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为16 cm，
∴重叠部分的面积为$\frac{1}{2} × 16^2 = 128\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 运动$t\ \mathrm{s}$时，点A向左移动的距离为$2t\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 2t$，
∴重叠部分的面积$y = \frac{1}{2}(20-2t)^2$，
整理得$y = 2t^2 - 40t + 200$，
其中自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 10$。
【答案】
(1) $128\ \mathrm{cm}^2$；
(2) $y=2t^2-40t+200\ (0 ≤ t ≤ 10)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；动点问题分析；二次函数解析式确定
【点评】
本题属于几何动点类基础题，解题关键是先判断出重叠部分的图形形状，再结合运动的路程公式表示出对应线段的长度，进而求解面积和函数关系式，考察了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确运动过程中重叠部分的形状：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此重叠部分始终是等腰直角三角形，其直角边长为线段AM的长度。
(1)第一问先根据运动速度和时间算出点A向左移动的距离，再用正方形边长减去移动距离得到AM的长，最后代入等腰直角三角形面积公式计算即可。
(2)第二问用含t的代数式表示出点A移动的距离，进而得到AM的长度，再根据面积公式列出函数关系式，最后根据运动的起止状态确定自变量t的取值范围。
【解析】
(1) 运动2s时，点A向左移动的距离为$2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 4 = 16\ \mathrm{cm}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°$，$∠ QMA=90°$，
∴重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为16 cm，
∴重叠部分的面积为$\frac{1}{2} × 16^2 = 128\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 运动$t\ \mathrm{s}$时，点A向左移动的距离为$2t\ \mathrm{cm}$，
则$AM = 20 - 2t$，
∴重叠部分的面积$y = \frac{1}{2}(20-2t)^2$，
整理得$y = 2t^2 - 40t + 200$，
其中自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 10$。
【答案】
(1) $128\ \mathrm{cm}^2$；
(2) $y=2t^2-40t+200\ (0 ≤ t ≤ 10)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；动点问题分析；二次函数解析式确定
【点评】
本题属于几何动点类基础题，解题关键是先判断出重叠部分的图形形状，再结合运动的路程公式表示出对应线段的长度，进而求解面积和函数关系式，考察了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
