登录
1. 函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的图象是一条开口向的。
答案
解：
对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，图象开口向下。
本题中二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的图象是一条开口向下的抛物线。
答案依次为：下；抛物线。
对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，图象开口向下。
本题中二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的图象是一条开口向下的抛物线。
答案依次为：下；抛物线。
解析
【分析】
解题时首先识别函数类型：本题给出的函数符合二次函数$y=ax^2$的形式，首先回忆二次函数的基本图象特征：二次函数的图象都是抛物线；其次判断开口方向的核心依据是二次项系数$a$的符号：当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下，代入本题的$a$值判断即可得出结论。
【解析】
1. 判断图象形状：函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$是形如$y=ax^2$的二次函数，所有二次函数的图象均为抛物线；
2. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，根据二次函数$y=ax^2$的性质，当$a＜0$时，抛物线开口向下。
因此函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的图象是开口向下的抛物线。
【答案】
下；抛物线
【知识点】
二次函数的图象特征，二次函数开口方向判断
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要牢记二次项系数$a$的符号与开口方向的对应关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别函数类型：本题给出的函数符合二次函数$y=ax^2$的形式，首先回忆二次函数的基本图象特征：二次函数的图象都是抛物线；其次判断开口方向的核心依据是二次项系数$a$的符号：当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下，代入本题的$a$值判断即可得出结论。
【解析】
1. 判断图象形状：函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$是形如$y=ax^2$的二次函数，所有二次函数的图象均为抛物线；
2. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，根据二次函数$y=ax^2$的性质，当$a＜0$时，抛物线开口向下。
因此函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的图象是开口向下的抛物线。
【答案】
下；抛物线
【知识点】
二次函数的图象特征，二次函数开口方向判断
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要牢记二次项系数$a$的符号与开口方向的对应关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$，开口向，对称轴为，顶点坐标为。
答案
解：
在二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{4}＞0$，
因此抛物线开口向上，
对称轴为y轴（直线$x=0$），
顶点坐标为$(0,0)$。
答案依次为：上；y轴（或直线$x=0$）；$(0,0)$。
在二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{4}＞0$，
因此抛物线开口向上，
对称轴为y轴（直线$x=0$），
顶点坐标为$(0,0)$。
答案依次为：上；y轴（或直线$x=0$）；$(0,0)$。
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，思考路径如下：第一步先提取二次项系数$a$，根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二步回忆形如$y=ax^2$的二次函数，不存在一次项和常数项，对应对称轴和顶点坐标有固定结论，直接套用即可。
【解析】
在二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{4}$，
∵$\frac{1}{4}＞0$，
∴抛物线开口向上；
对于形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点为坐标原点，
∴该函数对称轴为y轴（或直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
上；y轴（或直线$x=0$）；$(0,0)$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向判断；对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对$y=ax^2$相关基础性质的记忆与直接应用，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，思考路径如下：第一步先提取二次项系数$a$，根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二步回忆形如$y=ax^2$的二次函数，不存在一次项和常数项，对应对称轴和顶点坐标有固定结论，直接套用即可。
【解析】
在二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{4}$，
∵$\frac{1}{4}＞0$，
∴抛物线开口向上；
对于形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点为坐标原点，
∴该函数对称轴为y轴（或直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
上；y轴（或直线$x=0$）；$(0,0)$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向判断；对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对$y=ax^2$相关基础性质的记忆与直接应用，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.二次函数的图象如图所示，它的解析式为$y=$；函数图象的最低点坐标为。
第3题图
第3题图答案
$\boldsymbol{\frac{3}{4}x^2}$；$\boldsymbol{(0,0)}$
解析
【分析】
首先观察二次函数图象特征：图象顶点在坐标原点，对称轴为y轴，因此该函数属于$y=ax^2$（$a≠0$）型的二次函数，我们可以先设出该形式的解析式。接下来利用图象经过点$(2,3)$的条件，使用待定系数法，将点的横、纵坐标代入解析式，即可求出参数$a$的值，得到函数解析式。再根据二次函数的性质，开口向上的抛物线顶点为最低点，直接得到最低点坐标。
【解析】
∵ 二次函数图象的顶点为原点$(0,0)$，对称轴为y轴，
∴ 设该二次函数的解析式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
将点$(2,3)$代入解析式得：
$3=a×2^2$，即$4a=3$，
解得 $a=\frac{3}{4}$，
∴ 二次函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x^2$。
∵ $a=\frac{3}{4}＞0$，抛物线开口向上，
∴ 抛物线的顶点就是图象的最低点，顶点坐标为$(0,0)$，即函数图象的最低点坐标为$(0,0)$。
【答案】
$\frac{3}{4}x^2$；$(0,0)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题，重点考查顶点在原点的二次函数的形式特点，以及利用图象上的点求解析式的方法，同时结合了二次函数开口方向与最值点的关系，熟练掌握$y=ax^2$的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
首先观察二次函数图象特征：图象顶点在坐标原点，对称轴为y轴，因此该函数属于$y=ax^2$（$a≠0$）型的二次函数，我们可以先设出该形式的解析式。接下来利用图象经过点$(2,3)$的条件，使用待定系数法，将点的横、纵坐标代入解析式，即可求出参数$a$的值，得到函数解析式。再根据二次函数的性质，开口向上的抛物线顶点为最低点，直接得到最低点坐标。
【解析】
∵ 二次函数图象的顶点为原点$(0,0)$，对称轴为y轴，
∴ 设该二次函数的解析式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
将点$(2,3)$代入解析式得：
$3=a×2^2$，即$4a=3$，
解得 $a=\frac{3}{4}$，
∴ 二次函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x^2$。
∵ $a=\frac{3}{4}＞0$，抛物线开口向上，
∴ 抛物线的顶点就是图象的最低点，顶点坐标为$(0,0)$，即函数图象的最低点坐标为$(0,0)$。
【答案】
$\frac{3}{4}x^2$；$(0,0)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题，重点考查顶点在原点的二次函数的形式特点，以及利用图象上的点求解析式的方法，同时结合了二次函数开口方向与最值点的关系，熟练掌握$y=ax^2$的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
4.已知二次函数$y=ax^2(a＜0)$图象的对称轴右侧上有$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，若$y_1＞y_2$，则$x_1 - x_2$0（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
$＜$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2(a＜0)$的图象与性质：其图象开口向下，对称轴为y轴，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。结合题目中两点在对称轴右侧、且$y_1＞y_2$的条件，可先判断$x_1$和$x_2$的大小关系，进而得出$x_1-x_2$与0的大小关系。
【解析】
1. 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 该函数在对称轴右侧（$x＞0$的区域），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$均在对称轴右侧，且$y_1＞y_2$，根据上述增减性可得$x_1＜x_2$；
4. 因此$x_1 - x_2 ＜ 0$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数增减性的应用，解题的关键是准确掌握$a＜0$时二次函数$y=ax^2$在对称轴两侧的增减规律，结合函数值大小关系即可推导横坐标的大小关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2(a＜0)$的图象与性质：其图象开口向下，对称轴为y轴，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。结合题目中两点在对称轴右侧、且$y_1＞y_2$的条件，可先判断$x_1$和$x_2$的大小关系，进而得出$x_1-x_2$与0的大小关系。
【解析】
1. 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 该函数在对称轴右侧（$x＞0$的区域），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$均在对称轴右侧，且$y_1＞y_2$，根据上述增减性可得$x_1＜x_2$；
4. 因此$x_1 - x_2 ＜ 0$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数增减性的应用，解题的关键是准确掌握$a＜0$时二次函数$y=ax^2$在对称轴两侧的增减规律，结合函数值大小关系即可推导横坐标的大小关系。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在 $Rt△ AOB$ 中,$AB ⊥ OB$,且 $AB=OB=3$,设直线 $x=t$ 截此三角形所得阴影部分的面积为 $S$,则 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系的图象为下列选项中的()
A
B
C
D
A
B
C
D
答案
$\boldsymbol{D}$
解析
【分析】
首先我们可以通过建立平面直角坐标系确定Rt△AOB各顶点的坐标，再用待定系数法求出斜边OA所在直线的解析式；接着分析直线x=t与三角形的交点位置，判断阴影部分的形状，进而推导面积S与t的函数关系式，最后根据函数的类型和性质匹配对应的图象。
【解析】
设原点为O，OB在x轴正半轴上，建立平面直角坐标系：
∵AB⊥OB，AB=OB=3，
∴各点坐标为O(0,0)，B(3,0)，A(3,3)。
设直线OA的解析式为y=kx，将A(3,3)代入得：
3=3k，解得k=1，即直线OA的解析式为y=x。
直线x=t的取值范围为0≤t≤3，它与OA交于点(t,t)，与x轴交于点(t,0)，
可知截得的阴影部分为直角边长为t的等腰直角三角形，
∴面积S=½×t×t=½t²（0≤t≤3）。
该函数是开口向上的二次函数，图象为第一象限内抛物线的一段，当t=0时S=0，t=3时S=4.5，符合这一特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将几何图形与函数知识结合，需要先通过几何分析推导函数表达式，再结合函数性质判断对应图象，有效考查了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
首先我们可以通过建立平面直角坐标系确定Rt△AOB各顶点的坐标，再用待定系数法求出斜边OA所在直线的解析式；接着分析直线x=t与三角形的交点位置，判断阴影部分的形状，进而推导面积S与t的函数关系式，最后根据函数的类型和性质匹配对应的图象。
【解析】
设原点为O，OB在x轴正半轴上，建立平面直角坐标系：
∵AB⊥OB，AB=OB=3，
∴各点坐标为O(0,0)，B(3,0)，A(3,3)。
设直线OA的解析式为y=kx，将A(3,3)代入得：
3=3k，解得k=1，即直线OA的解析式为y=x。
直线x=t的取值范围为0≤t≤3，它与OA交于点(t,t)，与x轴交于点(t,0)，
可知截得的阴影部分为直角边长为t的等腰直角三角形，
∴面积S=½×t×t=½t²（0≤t≤3）。
该函数是开口向上的二次函数，图象为第一象限内抛物线的一段，当t=0时S=0，t=3时S=4.5，符合这一特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将几何图形与函数知识结合，需要先通过几何分析推导函数表达式，再结合函数性质判断对应图象，有效考查了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
6.已知$a≠0$，在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax$与$y=ax^2$的图象可能是（）
答案
解：
分两种情况分析：
1. 若$a＞0$：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第一、三象限，$y$随$x$增大而增大；
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点。
选项B中直线经过第二、四象限，对应$a＜0$，与$a＞0$矛盾，排除B；
联立$y=ax$与$y=ax^2$，解得两图象交点为$(0,0)$和$(1,a)$，即除原点外，两图象在$x=1$处相交。选项A中$x＞0$时直线始终在抛物线下方，不存在横坐标为1的交点，不符合要求，排除A。
2. 若$a＜0$：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第二、四象限，$y$随$x$增大而减小；
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点。
选项D中直线经过第一、三象限，对应$a＞0$，与$a＜0$矛盾，排除D；
选项C中抛物线开口向下说明$a＜0$，直线经过第二、四象限说明$a＜0$，且两图象除原点外存在横坐标为正的交点，符合交点特征，成立。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
分两种情况分析：
1. 若$a＞0$：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第一、三象限，$y$随$x$增大而增大；
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点。
选项B中直线经过第二、四象限，对应$a＜0$，与$a＞0$矛盾，排除B；
联立$y=ax$与$y=ax^2$，解得两图象交点为$(0,0)$和$(1,a)$，即除原点外，两图象在$x=1$处相交。选项A中$x＞0$时直线始终在抛物线下方，不存在横坐标为1的交点，不符合要求，排除A。
2. 若$a＜0$：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第二、四象限，$y$随$x$增大而减小；
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点。
选项D中直线经过第一、三象限，对应$a＞0$，与$a＜0$矛盾，排除D；
选项C中抛物线开口向下说明$a＜0$，直线经过第二、四象限说明$a＜0$，且两图象除原点外存在横坐标为正的交点，符合交点特征，成立。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
解析
【分析】
解决本题需结合正比例函数与二次函数的图象性质，采用分类讨论+排除法解答：首先分$a＞0$和$a＜0$两种情况，判断每个选项中两个函数对应的$a$的正负是否一致，排除$a$的正负矛盾的选项；再通过求解两个函数的交点，验证剩余选项的交点特征是否符合，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$\boldsymbol{a＞0}$时：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点。
选项B中的直线经过第二、四象限，对应$a＜0$，与$a＞0$矛盾，排除B；
联立两个函数的解析式$\begin{cases}y=ax\\y=ax^2\end{cases}$，解得两图象的交点为$(0,0)$和$(1,a)$，即除原点外，两图象在$x=1$处还有一个交点。选项A中$x＞0$时直线始终在抛物线下方，没有其他交点，不符合要求，排除A。
2. 当$\boldsymbol{a＜0}$时：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小；二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点。
选项D中的直线经过第一、三象限，对应$a＞0$，与$a＜0$矛盾，排除D；
选项C中抛物线开口向下，对应$a＜0$，直线经过第二、四象限，也对应$a＜0$，且两图象除原点外还有一个横坐标为正的交点，符合交点特征，成立。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2$的图象与性质；函数图象交点求解
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题核心是明确参数$a$对正比例函数、二次函数图象走向的影响，结合分类讨论思想和交点验证即可快速排除错误选项，考查对基础函数性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合正比例函数与二次函数的图象性质，采用分类讨论+排除法解答：首先分$a＞0$和$a＜0$两种情况，判断每个选项中两个函数对应的$a$的正负是否一致，排除$a$的正负矛盾的选项；再通过求解两个函数的交点，验证剩余选项的交点特征是否符合，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$\boldsymbol{a＞0}$时：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点。
选项B中的直线经过第二、四象限，对应$a＜0$，与$a＞0$矛盾，排除B；
联立两个函数的解析式$\begin{cases}y=ax\\y=ax^2\end{cases}$，解得两图象的交点为$(0,0)$和$(1,a)$，即除原点外，两图象在$x=1$处还有一个交点。选项A中$x＞0$时直线始终在抛物线下方，没有其他交点，不符合要求，排除A。
2. 当$\boldsymbol{a＜0}$时：
正比例函数$y=ax$的图象经过原点、第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小；二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点。
选项D中的直线经过第一、三象限，对应$a＞0$，与$a＜0$矛盾，排除D；
选项C中抛物线开口向下，对应$a＜0$，直线经过第二、四象限，也对应$a＜0$，且两图象除原点外还有一个横坐标为正的交点，符合交点特征，成立。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2$的图象与性质；函数图象交点求解
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题核心是明确参数$a$对正比例函数、二次函数图象走向的影响，结合分类讨论思想和交点验证即可快速排除错误选项，考查对基础函数性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
7.给出下列四个函数：
①$y=-x$；②$y=x$；③$y=\frac{1}{x}$；④$y=x^2$。
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小的函数有
（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$y=-x$；②$y=x$；③$y=\frac{1}{x}$；④$y=x^2$。
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小的函数有
（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
本题需要判断4个函数在x＜0的区间内y随x增大而减小的个数，解题思路是分别回忆每类函数的增减性性质，结合给定的x＜0的范围逐一判断，最后统计符合条件的函数数量即可。解题时要注意函数增减性的适用区间，不能直接套用函数的整体性质，需结合给定范围具体分析。
【解析】
我们逐个分析4个函数在x＜0时的增减性：
1. 对于①$y=-x$，属于正比例函数，比例系数$k=-1＜0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而减小，当$x＜0$时也满足该性质，符合要求；
2. 对于②$y=x$，属于正比例函数，比例系数$k=1＞0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时也为增大，不符合要求；
3. 对于③$y=\frac{1}{x}$，属于反比例函数，比例系数$k=1＞0$，其图象在第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$时对应第三象限的图象，因此$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
4. 对于④$y=x^2$，属于二次函数，开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
综上，符合要求的函数是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题考查常见初等函数的增减性判断，解题时要注意部分函数增减性的适用范围：反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，二次函数需结合开口方向和对称轴判断指定区间的增减性，避免忽略范围直接套用整体性质导致错误。
【难度系数】
0.7
本题需要判断4个函数在x＜0的区间内y随x增大而减小的个数，解题思路是分别回忆每类函数的增减性性质，结合给定的x＜0的范围逐一判断，最后统计符合条件的函数数量即可。解题时要注意函数增减性的适用区间，不能直接套用函数的整体性质，需结合给定范围具体分析。
【解析】
我们逐个分析4个函数在x＜0时的增减性：
1. 对于①$y=-x$，属于正比例函数，比例系数$k=-1＜0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而减小，当$x＜0$时也满足该性质，符合要求；
2. 对于②$y=x$，属于正比例函数，比例系数$k=1＞0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时也为增大，不符合要求；
3. 对于③$y=\frac{1}{x}$，属于反比例函数，比例系数$k=1＞0$，其图象在第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$时对应第三象限的图象，因此$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
4. 对于④$y=x^2$，属于二次函数，开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
综上，符合要求的函数是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题考查常见初等函数的增减性判断，解题时要注意部分函数增减性的适用范围：反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，二次函数需结合开口方向和对称轴判断指定区间的增减性，避免忽略范围直接套用整体性质导致错误。
【难度系数】
0.7
