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8. 如图所示，四个二次函数为$y=2x^2, y=-2x^2, y=x^2, y=-x^2$，则①②③④对应的函数解析式分别为()
A.$y=2x^2, y=-2x^2, y=x^2, y=-x^2$
B.$y=2x^2, y=-2x^2, y=-x^2, y=x^2$
C.$y=2x^2, y=x^2, y=-x^2, y=-2x^2$
D.$y=2x^2, y=x^2, y=-2x^2, y=-x^2$
A.$y=2x^2, y=-2x^2, y=x^2, y=-x^2$
B.$y=2x^2, y=-2x^2, y=-x^2, y=x^2$
C.$y=2x^2, y=x^2, y=-x^2, y=-2x^2$
D.$y=2x^2, y=x^2, y=-2x^2, y=-x^2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质思考：首先，$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，可先把4个解析式分为开口向上、向下两组；其次，$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，抛物线开口越窄，再根据图象的宽窄匹配对应解析式即可。
【解析】
1. 分组判断开口方向：
图象①②开口向上，说明$a＞0$，对应解析式为$y=2x^2$、$y=x^2$；
图象③④开口向下，说明$a＜0$，对应解析式为$y=-2x^2$、$y=-x^2$。
2. 根据开口宽窄匹配解析式：
对于开口向上的①②，$|a|$越大开口越窄，图象①比②更窄，因此①对应$y=2x^2$，②对应$y=x^2$；
对于开口向下的③④，$|a|$越大开口越窄，图象④比③更窄，因此③对应$y=-x^2$，④对应$y=-2x^2$。
综上，①②③④对应的解析式依次为$y=2x^2,y=x^2,y=-x^2,y=-2x^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向与$a$的关系；开口大小与$a$的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用，核心考查参数$a$对抛物线开口方向和开口大小的影响，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质思考：首先，$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，可先把4个解析式分为开口向上、向下两组；其次，$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，抛物线开口越窄，再根据图象的宽窄匹配对应解析式即可。
【解析】
1. 分组判断开口方向：
图象①②开口向上，说明$a＞0$，对应解析式为$y=2x^2$、$y=x^2$；
图象③④开口向下，说明$a＜0$，对应解析式为$y=-2x^2$、$y=-x^2$。
2. 根据开口宽窄匹配解析式：
对于开口向上的①②，$|a|$越大开口越窄，图象①比②更窄，因此①对应$y=2x^2$，②对应$y=x^2$；
对于开口向下的③④，$|a|$越大开口越窄，图象④比③更窄，因此③对应$y=-x^2$，④对应$y=-2x^2$。
综上，①②③④对应的解析式依次为$y=2x^2,y=x^2,y=-x^2,y=-2x^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向与$a$的关系；开口大小与$a$的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用，核心考查参数$a$对抛物线开口方向和开口大小的影响，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
9.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1), (3,1),(3,3),(1,3).若抛物线$y=ax^2$的图象与正方形有公共点,则实数$a$的取值范围是()
A.$\frac{1}{9}≤ a≤3$
B.$\frac{1}{9}≤ a≤1$
C.$\frac{1}{3}≤ a≤3$
D.$\frac{1}{3}≤ a≤1$
A.$\frac{1}{9}≤ a≤3$
B.$\frac{1}{9}≤ a≤1$
C.$\frac{1}{3}≤ a≤3$
D.$\frac{1}{3}≤ a≤1$
答案
A
解析
【分析】
抛物线$y=ax^2$（$a＞0$，否则开口向下或为x轴，无法和第一象限的正方形相交）的开口宽窄由$a$决定：$a$越大，开口越窄（越陡）；$a$越小，开口越宽（越平缓）。要让抛物线和正方形有公共点，需找到两个临界状态：①$a$最大时，抛物线刚好擦过正方形最靠左的上端点，再增大$a$就会完全离开正方形；②$a$最小时，抛物线刚好擦过正方形最靠右的下端点，再减小$a$也会完全离开正方形。分别代入两点坐标求出对应的$a$值，就能得到$a$的取值范围。
【解析】
已知正方形四个顶点为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$，抛物线$y=ax^2$开口向上，$a＞0$：
1. 求$a$的最大值：当抛物线最陡，刚好经过左上端点$(1,3)$，代入$x=1,y=3$到解析式得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$。若$a＞3$，$x≥1$时$y=ax^2＞3$，抛物线在正方形上方，无交点。
2. 求$a$的最小值：当抛物线最平缓，刚好经过右下端点$(3,1)$，代入$x=3,y=1$到解析式得：
$1=a×3^2$，即$9a=1$，解得$a=\frac{1}{9}$。若$a＜\frac{1}{9}$，$x≤3$时$y=ax^2＜1$，抛物线在正方形下方，无交点。
综上，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤ a≤3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题需要结合二次函数开口变化和$a$的关系解题，关键是准确找到抛物线与正方形相交的两个临界位置，代入点的坐标计算即可，注意不要搞反$a$的大小和开口宽窄的对应关系。
【难度系数】
0.7
抛物线$y=ax^2$（$a＞0$，否则开口向下或为x轴，无法和第一象限的正方形相交）的开口宽窄由$a$决定：$a$越大，开口越窄（越陡）；$a$越小，开口越宽（越平缓）。要让抛物线和正方形有公共点，需找到两个临界状态：①$a$最大时，抛物线刚好擦过正方形最靠左的上端点，再增大$a$就会完全离开正方形；②$a$最小时，抛物线刚好擦过正方形最靠右的下端点，再减小$a$也会完全离开正方形。分别代入两点坐标求出对应的$a$值，就能得到$a$的取值范围。
【解析】
已知正方形四个顶点为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$，抛物线$y=ax^2$开口向上，$a＞0$：
1. 求$a$的最大值：当抛物线最陡，刚好经过左上端点$(1,3)$，代入$x=1,y=3$到解析式得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$。若$a＞3$，$x≥1$时$y=ax^2＞3$，抛物线在正方形上方，无交点。
2. 求$a$的最小值：当抛物线最平缓，刚好经过右下端点$(3,1)$，代入$x=3,y=1$到解析式得：
$1=a×3^2$，即$9a=1$，解得$a=\frac{1}{9}$。若$a＜\frac{1}{9}$，$x≤3$时$y=ax^2＜1$，抛物线在正方形下方，无交点。
综上，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤ a≤3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题需要结合二次函数开口变化和$a$的关系解题，关键是准确找到抛物线与正方形相交的两个临界位置，代入点的坐标计算即可，注意不要搞反$a$的大小和开口宽窄的对应关系。
【难度系数】
0.7
10.二次函数$y=ax^2$的图象与直线$y=2x-1$交于点$P(1,m)$。
(1)求$a,m$的值；
(2)写出二次函数的解析式，并指出$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？
(3)写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
(1)求$a,m$的值；
(2)写出二次函数的解析式，并指出$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？
(3)写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
答案
解：
(1) 把点$P(1, m)$代入直线$y=2x-1$，得
$m = 2×1 - 1 = 1$
∴点$P$的坐标为$(1, 1)$
把$P(1, 1)$代入二次函数$y=ax^2$，得
$1 = a×1^2$，解得$a=1$
即$a=1$，$m=1$。
(2) 二次函数的解析式为$y=x^2$。
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 抛物线的顶点坐标为$(0, 0)$，对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
(1) 把点$P(1, m)$代入直线$y=2x-1$，得
$m = 2×1 - 1 = 1$
∴点$P$的坐标为$(1, 1)$
把$P(1, 1)$代入二次函数$y=ax^2$，得
$1 = a×1^2$，解得$a=1$
即$a=1$，$m=1$。
(2) 二次函数的解析式为$y=x^2$。
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 抛物线的顶点坐标为$(0, 0)$，对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
解析
【分析】
解题可按以下思路分步进行：(1) 点P是二次函数图象与直线的交点，因此点P坐标同时满足两个函数的解析式，先将P(1,m)代入直线解析式求出m的值，得到P点完整坐标后再代入二次函数解析式，即可求出a的值；(2) 将求得的a代入$y=ax^2$得到二次函数解析式，再根据a的正负判断抛物线开口方向，结合$y=ax^2$的对称轴为y轴的性质，就能确定y随x增大而增大的x的取值范围；(3) 直接根据$y=ax^2$的基本图象性质，写出顶点坐标和对称轴即可。
【解析】
(1) 把点$P(1, m)$代入直线$y=2x-1$，得
$m = 2×1 - 1 = 1$
∴点$P$的坐标为$(1, 1)$
把$P(1, 1)$代入二次函数$y=ax^2$，得
$1 = a×1^2$，解得$a=1$
即$a=1$，$m=1$。
(2) 把$a=1$代入$y=ax^2$，得二次函数的解析式为$y=x^2$。
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，且抛物线对称轴为y轴（直线$x=0$）
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 由二次函数$y=x^2$的图象性质可得，抛物线的顶点坐标为$(0, 0)$，对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
【答案】
(1) $a=1$，$m=1$；
(2) 二次函数解析式为$y=x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）。
【知识点】
函数图象交点性质、二次函数增减性、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察函数交点的坐标特征及二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题关键是理解交点坐标同时满足相交的两个函数的解析式，熟练掌握二次函数的开口、增减性、顶点对称轴等基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路分步进行：(1) 点P是二次函数图象与直线的交点，因此点P坐标同时满足两个函数的解析式，先将P(1,m)代入直线解析式求出m的值，得到P点完整坐标后再代入二次函数解析式，即可求出a的值；(2) 将求得的a代入$y=ax^2$得到二次函数解析式，再根据a的正负判断抛物线开口方向，结合$y=ax^2$的对称轴为y轴的性质，就能确定y随x增大而增大的x的取值范围；(3) 直接根据$y=ax^2$的基本图象性质，写出顶点坐标和对称轴即可。
【解析】
(1) 把点$P(1, m)$代入直线$y=2x-1$，得
$m = 2×1 - 1 = 1$
∴点$P$的坐标为$(1, 1)$
把$P(1, 1)$代入二次函数$y=ax^2$，得
$1 = a×1^2$，解得$a=1$
即$a=1$，$m=1$。
(2) 把$a=1$代入$y=ax^2$，得二次函数的解析式为$y=x^2$。
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，且抛物线对称轴为y轴（直线$x=0$）
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 由二次函数$y=x^2$的图象性质可得，抛物线的顶点坐标为$(0, 0)$，对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
【答案】
(1) $a=1$，$m=1$；
(2) 二次函数解析式为$y=x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）。
【知识点】
函数图象交点性质、二次函数增减性、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察函数交点的坐标特征及二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题关键是理解交点坐标同时满足相交的两个函数的解析式，熟练掌握二次函数的开口、增减性、顶点对称轴等基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,一次函数$y=kx+b$的图象与二次函数$y=ax^2$的图象交于点$A(1,m)$和点$B(-2,4)$,与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$D$.
(1)$a=$,$b=$,$k=$;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)点$P$是抛物线上一点,且$△ POD$的面积与$△ AOB$的面积相等,求点$P$的坐标.
(1)$a=$,$b=$,$k=$;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)点$P$是抛物线上一点,且$△ POD$的面积与$△ AOB$的面积相等,求点$P$的坐标.
答案
解：
(1) 把$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得$4=a·(-2)^2$，解得$a=1$。
∴二次函数解析式为$y=x^2$，将$A(1,m)$代入得$m=1^2=1$，即$A(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 1 \\ -2k + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=2\end{cases}$
∴$a=\boldsymbol{1}$，$b=\boldsymbol{2}$，$k=\boldsymbol{-1}$。
(2) 对于一次函数$y=-x+2$，令$x=0$，得$y=2$，∴$C(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_B| + \frac{1}{2}× OC× x_A$
$=\frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×1=3$
即$△ AOB$的面积为$3$。
(3) 对于一次函数$y=-x+2$，令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，∴$D(2,0)$，$OD=2$。
设点$P$的坐标为$(x, x^2)$，
由题意得$S_{△ POD}=\frac{1}{2}× OD × |y_P| = 3$，
代入$OD=2$，得$\frac{1}{2}×2× |x^2|=3$，
∵$x^2≥0$，∴$x^2=3$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$和$(-\sqrt{3},3)$。
(1) 把$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得$4=a·(-2)^2$，解得$a=1$。
∴二次函数解析式为$y=x^2$，将$A(1,m)$代入得$m=1^2=1$，即$A(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 1 \\ -2k + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=2\end{cases}$
∴$a=\boldsymbol{1}$，$b=\boldsymbol{2}$，$k=\boldsymbol{-1}$。
(2) 对于一次函数$y=-x+2$，令$x=0$，得$y=2$，∴$C(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_B| + \frac{1}{2}× OC× x_A$
$=\frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×1=3$
即$△ AOB$的面积为$3$。
(3) 对于一次函数$y=-x+2$，令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，∴$D(2,0)$，$OD=2$。
设点$P$的坐标为$(x, x^2)$，
由题意得$S_{△ POD}=\frac{1}{2}× OD × |y_P| = 3$，
代入$OD=2$，得$\frac{1}{2}×2× |x^2|=3$，
∵$x^2≥0$，∴$x^2=3$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$和$(-\sqrt{3},3)$。
解析
【分析】
(1) 先将点B坐标代入二次函数解析式求出a的值，得到二次函数完整解析式后，代入A点横坐标求出m，确定A点坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可求出k、b的值。
(2) 求△AOB的面积时，借助一次函数与y轴的交点C，将△AOB分割为△BOC和△AOC，以OC为公共高，两点横坐标的绝对值为底分别计算面积再求和，简化计算。
(3) 先求出一次函数与x轴交点D的坐标，得到OD的长度，设出抛物线上点P的坐标，根据两三角形面积相等列方程，求出P点纵坐标后代入抛物线解析式求横坐标，注意横坐标有正负两种情况。
【解析】
(1) 把$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得$4=a·(-2)^2$，解得$a=1$。
∴二次函数解析式为$y=x^2$，将$A(1,m)$代入得$m=1^2=1$，即$A(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 1 \\ -2k + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=2\end{cases}$
(2) 对于一次函数$y=-x+2$，令$x=0$，得$y=2$，
∴$C(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_B| + \frac{1}{2}× OC× x_A$
$=\frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×1=3$
(3) 对于一次函数$y=-x+2$，令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，
∴$D(2,0)$，$OD=2$。
设点$P$的坐标为$(x, x^2)$，
由题意得$S_{△ POD}=\frac{1}{2}× OD × |y_P| = 3$，
代入$OD=2$，得$\frac{1}{2}×2× |x^2|=3$，
∵$x^2≥0$，
∴$x^2=3$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$和$(-\sqrt{3},3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-1}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{(\sqrt{3},3)}$和$\boldsymbol{(-\sqrt{3},3)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，坐标系三角形面积计算，二次函数性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，灵活运用割补法简化不规则三角形的面积计算，求解点坐标时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 先将点B坐标代入二次函数解析式求出a的值，得到二次函数完整解析式后，代入A点横坐标求出m，确定A点坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可求出k、b的值。
(2) 求△AOB的面积时，借助一次函数与y轴的交点C，将△AOB分割为△BOC和△AOC，以OC为公共高，两点横坐标的绝对值为底分别计算面积再求和，简化计算。
(3) 先求出一次函数与x轴交点D的坐标，得到OD的长度，设出抛物线上点P的坐标，根据两三角形面积相等列方程，求出P点纵坐标后代入抛物线解析式求横坐标，注意横坐标有正负两种情况。
【解析】
(1) 把$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得$4=a·(-2)^2$，解得$a=1$。
∴二次函数解析式为$y=x^2$，将$A(1,m)$代入得$m=1^2=1$，即$A(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 1 \\ -2k + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=2\end{cases}$
(2) 对于一次函数$y=-x+2$，令$x=0$，得$y=2$，
∴$C(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_B| + \frac{1}{2}× OC× x_A$
$=\frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×1=3$
(3) 对于一次函数$y=-x+2$，令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，
∴$D(2,0)$，$OD=2$。
设点$P$的坐标为$(x, x^2)$，
由题意得$S_{△ POD}=\frac{1}{2}× OD × |y_P| = 3$，
代入$OD=2$，得$\frac{1}{2}×2× |x^2|=3$，
∵$x^2≥0$，
∴$x^2=3$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$和$(-\sqrt{3},3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-1}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{(\sqrt{3},3)}$和$\boldsymbol{(-\sqrt{3},3)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，坐标系三角形面积计算，二次函数性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，灵活运用割补法简化不规则三角形的面积计算，求解点坐标时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
12.如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,-4)$在抛物线$y=ax^2$上,过点$A$作$y$轴的垂线,交抛物线于另一点$B$,点$C$,$D$在线段$AB$上,分别过点$C$,$D$作$x$轴的垂线,交抛物线于$E$,$F$两点,连接$EF$.
(1)求$a$的值;
(2)当四边形$CDFE$为正方形时,求正方形$CDFE$的周长.
(1)求$a$的值;
(2)当四边形$CDFE$为正方形时,求正方形$CDFE$的周长.
答案
解：
(1) 将点$A(2,-4)$代入抛物线$y=ax^2$，得：
$-4 = a· 2^2$
解得$a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-x^2$。
由抛物线的对称性，$AB⊥ y$轴，$A(2,-4)$，可得点$B$坐标为$(-2,-4)$，线段$AB$在直线$y=-4$上。
设点$E$的横坐标为$m$（$m＞0$），则$E(m, -m^2)$。
$\because EC⊥ x$轴，点$C$在$AB$上，
$\therefore C(m, -4)$。
由四边形$CDFE$为正方形，结合抛物线关于$y$轴对称，可得点$F$横坐标为$-m$，$D(-m,-4)$。
$\therefore CD = m - (-m) = 2m$，$CE = -m^2 - (-4) = 4 - m^2$。
$\because$ 四边形$CDFE$为正方形，
$\therefore CD = CE$，即$2m = 4 - m^2$，
整理得$m^2 + 2m - 4 = 0$，
解得$m_1=\sqrt{5}-1$，$m_2=-\sqrt{5}-1$（不符合题意，舍去）。
$\therefore$ 正方形边长为$2m=2(\sqrt{5}-1)$，
正方形$CDFE$的周长为$4× 2(\sqrt{5}-1)=8\sqrt{5}-8$。
综上，(1) $a$的值为$-1$；(2) 正方形$CDFE$的周长为$8\sqrt{5}-8$。
(1) 将点$A(2,-4)$代入抛物线$y=ax^2$，得：
$-4 = a· 2^2$
解得$a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-x^2$。
由抛物线的对称性，$AB⊥ y$轴，$A(2,-4)$，可得点$B$坐标为$(-2,-4)$，线段$AB$在直线$y=-4$上。
设点$E$的横坐标为$m$（$m＞0$），则$E(m, -m^2)$。
$\because EC⊥ x$轴，点$C$在$AB$上，
$\therefore C(m, -4)$。
由四边形$CDFE$为正方形，结合抛物线关于$y$轴对称，可得点$F$横坐标为$-m$，$D(-m,-4)$。
$\therefore CD = m - (-m) = 2m$，$CE = -m^2 - (-4) = 4 - m^2$。
$\because$ 四边形$CDFE$为正方形，
$\therefore CD = CE$，即$2m = 4 - m^2$，
整理得$m^2 + 2m - 4 = 0$，
解得$m_1=\sqrt{5}-1$，$m_2=-\sqrt{5}-1$（不符合题意，舍去）。
$\therefore$ 正方形边长为$2m=2(\sqrt{5}-1)$，
正方形$CDFE$的周长为$4× 2(\sqrt{5}-1)=8\sqrt{5}-8$。
综上，(1) $a$的值为$-1$；(2) 正方形$CDFE$的周长为$8\sqrt{5}-8$。
解析
【分析】
(1) 求a的值时，已知点A在抛物线上，根据函数图象上的点满足函数解析式，将点A的坐标代入$y=ax^2$，解关于a的一元一次方程即可。
(2) 求正方形周长时，先由(1)得到抛物线解析式，再利用$y=ax^2$关于y轴对称的性质得到点B坐标，可知线段AB上所有点的纵坐标均为-4。结合正方形的性质和抛物线的对称性，可知E、F关于y轴对称，设点E的横坐标为$m$（$m＞0$），即可用含m的式子表示出正方形的两组邻边长，根据正方形邻边相等列方程求解m，最后代入正方形周长公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,-4)$代入抛物线$y=ax^2$，得：
$-4 = a· 2^2$
解得$a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-x^2$。
由抛物线的对称性，$AB⊥ y$轴，$A(2,-4)$，可得点$B$坐标为$(-2,-4)$，线段$AB$在直线$y=-4$上。
设点$E$的横坐标为$m$（$m＞0$），则$E(m, -m^2)$。
$\because EC⊥ x$轴，点$C$在$AB$上，
$\therefore C(m, -4)$。
由四边形$CDFE$为正方形，结合抛物线关于$y$轴对称，可得点$F$横坐标为$-m$，$D(-m,-4)$。
$\therefore CD = m - (-m) = 2m$，$CE = -m^2 - (-4) = 4 - m^2$。
$\because$ 四边形$CDFE$为正方形，
$\therefore CD = CE$，即$2m = 4 - m^2$，
整理得$m^2 + 2m - 4 = 0$，
解得$m_1=\sqrt{5}-1$，$m_2=-\sqrt{5}-1$（不符合题意，舍去）。
$\therefore$ 正方形边长为$2m=2(\sqrt{5}-1)$，
正方形$CDFE$的周长为$4× 2(\sqrt{5}-1)=8\sqrt{5}-8$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) 正方形$CDFE$的周长为$8\sqrt{5}-8$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解 2. 二次函数的对称性 3. 正方形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，解题关键是利用二次函数的对称性设点坐标，结合正方形边长相等的性质建立方程求解，考察了数形结合思想与方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 求a的值时，已知点A在抛物线上，根据函数图象上的点满足函数解析式，将点A的坐标代入$y=ax^2$，解关于a的一元一次方程即可。
(2) 求正方形周长时，先由(1)得到抛物线解析式，再利用$y=ax^2$关于y轴对称的性质得到点B坐标，可知线段AB上所有点的纵坐标均为-4。结合正方形的性质和抛物线的对称性，可知E、F关于y轴对称，设点E的横坐标为$m$（$m＞0$），即可用含m的式子表示出正方形的两组邻边长，根据正方形邻边相等列方程求解m，最后代入正方形周长公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,-4)$代入抛物线$y=ax^2$，得：
$-4 = a· 2^2$
解得$a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-x^2$。
由抛物线的对称性，$AB⊥ y$轴，$A(2,-4)$，可得点$B$坐标为$(-2,-4)$，线段$AB$在直线$y=-4$上。
设点$E$的横坐标为$m$（$m＞0$），则$E(m, -m^2)$。
$\because EC⊥ x$轴，点$C$在$AB$上，
$\therefore C(m, -4)$。
由四边形$CDFE$为正方形，结合抛物线关于$y$轴对称，可得点$F$横坐标为$-m$，$D(-m,-4)$。
$\therefore CD = m - (-m) = 2m$，$CE = -m^2 - (-4) = 4 - m^2$。
$\because$ 四边形$CDFE$为正方形，
$\therefore CD = CE$，即$2m = 4 - m^2$，
整理得$m^2 + 2m - 4 = 0$，
解得$m_1=\sqrt{5}-1$，$m_2=-\sqrt{5}-1$（不符合题意，舍去）。
$\therefore$ 正方形边长为$2m=2(\sqrt{5}-1)$，
正方形$CDFE$的周长为$4× 2(\sqrt{5}-1)=8\sqrt{5}-8$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) 正方形$CDFE$的周长为$8\sqrt{5}-8$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解 2. 二次函数的对称性 3. 正方形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，解题关键是利用二次函数的对称性设点坐标，结合正方形边长相等的性质建立方程求解，考察了数形结合思想与方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
