例1 在同一平面直角坐标系中画出$y=2x^2,y=2x^2+2,y=2x^2-2$的图象，并写出各自的顶点坐标。
【思路导析】先画图象，再根据图象写出顶点坐标。
【请你解答】

解：
① 列表：选取若干个x的值，分别计算三个函数对应的y值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
|-----|----|------|------|-----|-----|-----|----|
| $y=2x^2$ | … | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | … |
| $y=2x^2+2$ | … | $10$ | $4$ | $2$ | $4$ | $10$ | … |
| $y=2x^2-2$ | … | $6$ | $0$ | $-2$ | $0$ | $6$ | … |
② 描点：在同一平面直角坐标系中，根据表格的各组对应值描出对应的点。
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到三个函数的图象。
三个函数的顶点坐标分别为：
$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
$y=2x^2+2$的顶点坐标为$(0,2)$，
$y=2x^2-2$的顶点坐标为$(0,-2)$。

【分析】
要绘制三个二次函数的图象，遵循描点法画函数图象的通用步骤：列表、描点、连线。由于三个函数的二次项系数均为2，图象形状完全相同，仅存在上下位置的差异，列表时选取关于y轴对称的x值（如-2、-1、0、1、2），可更简便计算对应函数值。作图完成后，抛物线的最低点（开口向上）即为顶点，也可直接利用$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$的规律直接得出结果。
【解析】
① 列表：选取x的对称取值，分别计算三个函数对应的y值，如下表：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
|-----|----|------|------|-----|-----|-----|----|
| $y=2x^2$ | … | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | … |
| $y=2x^2+2$ | … | $10$ | $4$ | $2$ | $4$ | $10$ | … |
| $y=2x^2-2$ | … | $6$ | $0$ | $-2$ | $0$ | $6$ | … |
② 描点：在同一平面直角坐标系中，根据表格中的各组对应值，描出三个函数对应的各点。
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接每个函数对应的各点，即可得到三个函数的图象。
根据图象可得三个函数的顶点坐标：
$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
$y=2x^2+2$的顶点坐标为$(0,2)$，
$y=2x^2-2$的顶点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$y=2x^2$的顶点坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$，$y=2x^2+2$的顶点坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$，$y=2x^2-2$的顶点坐标为$\boldsymbol{(0,-2)}$（图象按上述步骤绘制即可）
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
3. 二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础题型，主要考查描点法作图的步骤以及$y=ax^2+k$型二次函数的顶点坐标规律，解题时掌握二次项系数相同的抛物线形状相同、仅上下平移的特点，可大幅提升作图和解题效率。
【难度系数】
0.85

例2 (1)写出二次函数$y=-3x^2+1$的图象的开口方向、顶点坐标及对称轴；
(2)二次函数$y=-3x^2+1$的图象与$y=-3x^2$的图象有何关系？
【思路导析】通过画图象进行分析比较.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
(1) 二次函数$y=-3x^2+1$中，$a=-3＜0$，
因此该函数图象的开口方向向下，
顶点坐标为$(0,1)$，
对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
(2) 二次函数$y=-3x^2+1$的图象与$y=-3x^2$的图象形状、开口方向完全相同；
将$y=-3x^2$的图象沿$y$轴向上平移1个单位长度，即可得到$y=-3x^2+1$的图象。

【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象性质及图象平移规律。对于第(1)问，先明确$y=ax^2+k$的基本性质：二次项系数$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；其顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴（直线$x=0$），只需找到对应$a$、$k$的值代入判断即可。对于第(2)问，若两个二次函数的二次项系数$a$相同，则图象的形状、开口方向完全一致，仅位置不同，根据“上加下减”的平移规律即可判断两个图象的平移关系。
【解析】
(1) 二次函数$y=-3x^2+1$中，二次项系数$a=-3＜0$，因此该函数图象的开口方向向下；该函数属于$y=ax^2+k$的形式，其中$k=1$，因此顶点坐标为$(0,1)$，对称轴是y轴（即直线$x=0$）。
(2) 二次函数$y=-3x^2+1$和$y=-3x^2$的二次项系数$a=-3$相同，因此两个图象的形状、开口方向完全相同；根据函数图象平移“上加下减常数项”的规律，将$y=-3x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度，即可得到$y=-3x^2+1$的图象。
【答案】
(1) 开口方向向下，顶点坐标为$(0,1)$，对称轴是y轴（直线$x=0$）；
(2) 两个图象形状、开口方向完全相同；将$y=-3x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度可得到$y=-3x^2+1$的图象。
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是熟记二次项系数$a$对图象的影响，以及$y=ax^2+k$的顶点、对称轴规律和平移的“上加下减”原则，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

例3 抛物线 $ y = ax^2 + c $ 的顶点是
A(0,2)，且形状及开口方向与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 相同.
(1)确定a，c的值，并写出此抛物线的解析式；
(2)此抛物线可以看作是把 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象经过怎样的平移得到的？
【探究点拨】(1)a确定抛物线的形状及开口方向；(2)比较两个抛物线的顶点.
【规范解答】(1)由抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的形状和开口方向相同，知 $ a = -\frac{1}{2} $.
把A(0,2)代入 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + c $，
得 $ c = 2 $.
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $.
(2)由于抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的顶点为(0,0)，
而 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 的顶点为(0,2)，
∴ 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 是由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向上平移2个单位长度得到的.

解：
(1) 由抛物线$y=ax^2+c$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的形状和开口方向相同，可得$a=-\frac{1}{2}$。
把$A(0,2)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2 + c$，
得$2 = -\frac{1}{2}×0^2 + c$，解得$c=2$。
∴ 该抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2 + 2$。
(2) 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，
抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + 2$的顶点为$(0,2)$，
∴ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + 2$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位长度得到的。

【分析】
(1) 求解a、c时，首先要明确抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，两个抛物线形状和开口方向相同则a值相等，可直接得到a的取值；再将已知顶点坐标代入解析式就能求出c，进而得到抛物线的解析式。
(2) 求解平移方式时，二次函数图像的平移可以通过顶点的平移判断，先分别找到两个抛物线的顶点坐标，对比顶点的坐标变化，结合平移规律就能得到平移方式。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y = ax^2 + c$的形状及开口方向与抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$相同，二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴ $a = -\frac{1}{2}$。
将顶点$A(0,2)$代入$y = -\frac{1}{2}x^2 + c$，得：
$2 = -\frac{1}{2} × 0^2 + c$，解得$c = 2$。
∴ 此抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$。
(2) 抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$的顶点坐标为$(0,2)$，对比两个顶点坐标，横坐标不变，纵坐标增加了2，根据二次函数图像平移规律，可知该抛物线是把$y = -\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移2个单位长度得到的。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2}$，$c=2$，抛物线解析式为$\boldsymbol{y = -\frac{1}{2}x^2 + 2}$；
(2) 向上平移2个单位长度。
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图像平移
【点评】
本题是二次函数基础题，核心考查二次项系数对抛物线的影响，以及利用顶点变化判断二次函数平移的方法，掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85

1. 下列说法中不正确的是()

A.抛物线$y=2x^2 -1$是由抛物线$y=2x^2$向下平移1个单位长度得到的
B.抛物线$y=-2x^2 +1$的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,1)$
C.抛物线$y=1+x^2$的对称轴为x轴
D.将抛物线$y=x^2$向上平移2个单位长度得到抛物线$y=x^2 +2$

C

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象性质与平移规律，解题思路如下：首先回忆两个核心知识点：①二次函数图象上下平移的规律为“上加下减常数项”，即图象上下平移时仅改变表达式的常数项，向上平移加对应单位，向下平移减对应单位；②形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。接下来逐一验证四个选项的说法，找出不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据平移规律，抛物线$y=2x^2$向下平移1个单位长度，常数项减1，得到$y=2x^2-1$，该说法正确，不符合题意；
B选项：抛物线$y=-2x^2+1$属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,1)$，该说法正确，不符合题意；
C选项：抛物线$y=1+x^2$即$y=x^2+1$，属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（直线$x=0$），不是x轴，该说法错误，符合题意；
D选项：根据平移规律，抛物线$y=x^2$向上平移2个单位长度，常数项加2，得到$y=x^2+2$，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=ax^2+k$的基本性质和图象平移规律的掌握，牢记相关核心结论就能快速判断，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8