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3. 要使分式$\frac{x}{|x|-1}$无意义，则$x$的值是（
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
D
）.A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
答案
3. D
解析
【分析】
解题首先要明确分式无意义的判定规则：分式无意义等价于分母的取值为0。因此本题只需令分母$\vert x\vert-1=0$，求解该方程就能得到对应的$x$值，注意绝对值方程的解有两个，不要出现漏解的情况。
【解析】
解：根据分式无意义的条件，分母为0时分式无意义。
令该分式的分母$\vert x\vert - 1 = 0$，
整理得$\vert x\vert = 1$，
根据绝对值的性质，解得$x=1$或$x=-1$，即$x=\pm1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式无意义的条件；绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查分式无意义的判断依据，只要牢记相关规则，求解绝对值方程时注意不要漏掉负根，就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确分式无意义的判定规则：分式无意义等价于分母的取值为0。因此本题只需令分母$\vert x\vert-1=0$，求解该方程就能得到对应的$x$值，注意绝对值方程的解有两个，不要出现漏解的情况。
【解析】
解：根据分式无意义的条件，分母为0时分式无意义。
令该分式的分母$\vert x\vert - 1 = 0$，
整理得$\vert x\vert = 1$，
根据绝对值的性质，解得$x=1$或$x=-1$，即$x=\pm1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式无意义的条件；绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查分式无意义的判断依据，只要牢记相关规则，求解绝对值方程时注意不要漏掉负根，就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式中，无论$x$取何值，分式都有意义的是（
A.$\dfrac{1}{2x+1}$
B.$\dfrac{x}{x-1}$
C.$\dfrac{3x+1}{x^2}$
D.$\dfrac{x^2}{2x^2+1}$
D
）.A.$\dfrac{1}{2x+1}$
B.$\dfrac{x}{x-1}$
C.$\dfrac{3x+1}{x^2}$
D.$\dfrac{x^2}{2x^2+1}$
答案
4. D
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。题目要求“无论x取何值，分式都有意义”，即需找到分母恒不为0的选项。解题时可逐个分析各选项的分母，判断是否存在实数x使得分母等于0，排除存在这类x的选项，剩余的就是正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，要使x取任意实数时分式都有意义，需保证对任意x，分母恒不等于0。
对各选项逐一分析：
A. 分母为$2x+1$，当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$2x+1=0$，此时分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$x-1$，当$x=1$时，$x-1=0$，此时分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，此时分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，由平方的非负性可知，对任意实数x都有$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，即无论x取何值，分母都不为0，分式总有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查分式有意义条件的应用，解题关键是牢记分母不为0的要求，结合平方的非负性判断分母的取值范围即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。题目要求“无论x取何值，分式都有意义”，即需找到分母恒不为0的选项。解题时可逐个分析各选项的分母，判断是否存在实数x使得分母等于0，排除存在这类x的选项，剩余的就是正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，要使x取任意实数时分式都有意义，需保证对任意x，分母恒不等于0。
对各选项逐一分析：
A. 分母为$2x+1$，当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$2x+1=0$，此时分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$x-1$，当$x=1$时，$x-1=0$，此时分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，此时分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，由平方的非负性可知，对任意实数x都有$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，即无论x取何值，分母都不为0，分式总有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查分式有意义条件的应用，解题关键是牢记分母不为0的要求，结合平方的非负性判断分母的取值范围即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 在一段坡路上，上坡路和下坡路的长都是$s$ km，小明骑自行车上坡时的速度为$v_1$ km/h，下坡时的速度为$v_2$ km/h，则小明上、下坡的总时间是
$(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2})\mathrm{h}$
。答案
5. $(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2})\mathrm{h}$
解析
【分析】
要计算小明上下坡的总时间，首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。我们可以先分别算出上坡、下坡各自花费的时间，再将两段时间相加，就能得到总时间。
【解析】
1. 计算上坡时间：已知上坡路程为$s$ km，上坡速度为$v_1$ km/h，根据时间=路程÷速度，可得上坡用时为$\frac{s}{v_1}$ h。
2. 计算下坡时间：已知下坡路程为$s$ km，下坡速度为$v_2$ km/h，同理可得下坡用时为$\frac{s}{v_2}$ h。
3. 计算总时间：总时间=上坡时间+下坡时间，即总时间为$(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2})$ h。
【答案】
$(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2})\mathrm{h}$
【知识点】
行程问题数量关系；列代数式；分式的应用
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题核心是找准路程、速度、时间的对应关系，分别计算两段路程的用时再求和，要避免出现直接用总路程除以速度和计算总时间的错误。
【难度系数】
0.9
要计算小明上下坡的总时间，首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。我们可以先分别算出上坡、下坡各自花费的时间，再将两段时间相加，就能得到总时间。
【解析】
1. 计算上坡时间：已知上坡路程为$s$ km，上坡速度为$v_1$ km/h，根据时间=路程÷速度，可得上坡用时为$\frac{s}{v_1}$ h。
2. 计算下坡时间：已知下坡路程为$s$ km，下坡速度为$v_2$ km/h，同理可得下坡用时为$\frac{s}{v_2}$ h。
3. 计算总时间：总时间=上坡时间+下坡时间，即总时间为$(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2})$ h。
【答案】
$(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2})\mathrm{h}$
【知识点】
行程问题数量关系；列代数式；分式的应用
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题核心是找准路程、速度、时间的对应关系，分别计算两段路程的用时再求和，要避免出现直接用总路程除以速度和计算总时间的错误。
【难度系数】
0.9
6. 已知 $y=\dfrac{m^2 -4}{m -2}$。
（1）若分式无意义，则 m 为何值？
（2）若 y 的值是 0，则 m 为何值？
（1）若分式无意义，则 m 为何值？
（2）若 y 的值是 0，则 m 为何值？
答案
6. 解：(1) 由分式无意义，得 $m-2=0.$
解得 $m=2.$
(2) 由 $y$ 的值是 0，得
$m^2 -4=0$ 且 $m-2≠0.$
解得 $m=-2.$
解得 $m=2.$
(2) 由 $y$ 的值是 0，得
$m^2 -4=0$ 且 $m-2≠0.$
解得 $m=-2.$
解析
【分析】
这道题分为两个小问，分别考查分式无意义和分式值为0的判定条件。解题时首先回忆分式的相关性质：①分式无意义等价于分式的分母等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子的值为0，且分母的值不为0，二者缺一不可。第（1）问直接令分母等于0求解即可；第（2）问先令分子等于0求出m的可能值，再代入分母排除使分母为0的取值，就能得到正确结果。
【解析】
（1）根据分式无意义的条件：分母为0，可得：
$m-2=0$
解得：$m=2$
（2）根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可列方程组：
$\begin{cases}m^2 - 4 = 0 \\ m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -4=0$，因式分解得$(m+2)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-2$；
结合$m-2≠0$即$m≠2$，舍去$m=2$，最终得$m=-2$。
【答案】
（1）$m=2$；（2）$m=-2$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易遗漏分母不为0的限制条件，导致出现增根错误，解题时要注意两个条件需同时成立，最后对求解结果进行验证。
【难度系数】
0.8
这道题分为两个小问，分别考查分式无意义和分式值为0的判定条件。解题时首先回忆分式的相关性质：①分式无意义等价于分式的分母等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子的值为0，且分母的值不为0，二者缺一不可。第（1）问直接令分母等于0求解即可；第（2）问先令分子等于0求出m的可能值，再代入分母排除使分母为0的取值，就能得到正确结果。
【解析】
（1）根据分式无意义的条件：分母为0，可得：
$m-2=0$
解得：$m=2$
（2）根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可列方程组：
$\begin{cases}m^2 - 4 = 0 \\ m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -4=0$，因式分解得$(m+2)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-2$；
结合$m-2≠0$即$m≠2$，舍去$m=2$，最终得$m=-2$。
【答案】
（1）$m=2$；（2）$m=-2$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易遗漏分母不为0的限制条件，导致出现增根错误，解题时要注意两个条件需同时成立，最后对求解结果进行验证。
【难度系数】
0.8
7. 根据下列表格信息，y可能为（
A.$\dfrac{x+2}{x-1}$
B.$\dfrac{x-1}{x-2}$
C.$\dfrac{x+1}{x-2}$
D.$\dfrac{x+1}{x-1}$
C
）.A.$\dfrac{x+2}{x-1}$
B.$\dfrac{x-1}{x-2}$
C.$\dfrac{x+1}{x-2}$
D.$\dfrac{x+1}{x-1}$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先抓住表格中的两个关键信息：①x=2时y无意义；②x=-1时y=0。首先回忆分式的相关性质：分式无意义的条件是分母等于0，分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0。我们可以先利用“x=2时无意义”确定分母的特征，排除不符合的选项，再利用“x=-1时y=0”确定分子的特征，选出正确选项。
【解析】
步骤1：根据“x=2时y无意义”可知，该分式的分母在x=2时取值为0，即分母含有因式$(x-2)$：
选项A、D的分母均为$x-1$，当x=1时分母为0，x=2时分母$2-1=1≠0$，不符合x=2无意义的要求，排除A、D；
步骤2：根据“x=-1时y=0”可知，该分式的分子在x=-1时取值为0，且此时分母不为0：
选项B的分子为$x-1$，当x=-1时，分子$=-1-1=-2≠0$，不符合y=0的要求，排除B；
选项C的分子为$x+1$，当x=-1时，分子$=-1+1=0$，此时分母$=-1-2=-3≠0$，满足分式值为0的条件，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件，分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题时通过两个关键特征逐步排除错误选项，能快速锁定答案，熟练掌握分式的两个核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住表格中的两个关键信息：①x=2时y无意义；②x=-1时y=0。首先回忆分式的相关性质：分式无意义的条件是分母等于0，分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0。我们可以先利用“x=2时无意义”确定分母的特征，排除不符合的选项，再利用“x=-1时y=0”确定分子的特征，选出正确选项。
【解析】
步骤1：根据“x=2时y无意义”可知，该分式的分母在x=2时取值为0，即分母含有因式$(x-2)$：
选项A、D的分母均为$x-1$，当x=1时分母为0，x=2时分母$2-1=1≠0$，不符合x=2无意义的要求，排除A、D；
步骤2：根据“x=-1时y=0”可知，该分式的分子在x=-1时取值为0，且此时分母不为0：
选项B的分子为$x-1$，当x=-1时，分子$=-1-1=-2≠0$，不符合y=0的要求，排除B；
选项C的分子为$x+1$，当x=-1时，分子$=-1+1=0$，此时分母$=-1-2=-3≠0$，满足分式值为0的条件，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件，分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题时通过两个关键特征逐步排除错误选项，能快速锁定答案，熟练掌握分式的两个核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
