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9. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，则$\frac{2x + xy - 2y}{x - 2xy - y} =$
$\dfrac{3}{4}$
。答案
9. $\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
要计算所求分式的值，首先观察已知条件和所求分式的结构，已知条件是两个分式的差，我们可以先对已知条件通分变形，得到x与y的差和xy的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含有(x-y)和xy的形式，最后整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求出x、y的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件变形
∵ $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，通分得：
$\frac{y - x}{xy} = 2$
两边同乘$xy$（由分式有意义可知$x≠0,y≠0,xy≠0$），得：
$y - x = 2xy$，即 $x - y = -2xy$
第二步：整理所求分式并代入
将$\frac{2x + xy - 2y}{x - 2xy - y}$的分子、分母分别整理：
分子：$2x + xy - 2y = 2(x - y) + xy$
分母：$x - 2xy - y = (x - y) - 2xy$
把$x - y = -2xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-2xy) + xy}{-2xy - 2xy} = \frac{-4xy + xy}{-4xy} = \frac{-3xy}{-4xy}$
约去不为0的$xy$，得：
原式$=\frac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
分式的通分约分；整体代入求值；分式的基本性质
【点评】
本题是常见的分式化简求值题，解题核心是通过对已知条件变形得到整体代换的关系式，避免拆分求解未知数，能有效简化计算过程，掌握整体代入思想是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算所求分式的值，首先观察已知条件和所求分式的结构，已知条件是两个分式的差，我们可以先对已知条件通分变形，得到x与y的差和xy的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含有(x-y)和xy的形式，最后整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求出x、y的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件变形
∵ $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，通分得：
$\frac{y - x}{xy} = 2$
两边同乘$xy$（由分式有意义可知$x≠0,y≠0,xy≠0$），得：
$y - x = 2xy$，即 $x - y = -2xy$
第二步：整理所求分式并代入
将$\frac{2x + xy - 2y}{x - 2xy - y}$的分子、分母分别整理：
分子：$2x + xy - 2y = 2(x - y) + xy$
分母：$x - 2xy - y = (x - y) - 2xy$
把$x - y = -2xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-2xy) + xy}{-2xy - 2xy} = \frac{-4xy + xy}{-4xy} = \frac{-3xy}{-4xy}$
约去不为0的$xy$，得：
原式$=\frac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
分式的通分约分；整体代入求值；分式的基本性质
【点评】
本题是常见的分式化简求值题，解题核心是通过对已知条件变形得到整体代换的关系式，避免拆分求解未知数，能有效简化计算过程，掌握整体代入思想是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 已知 $ m - \frac{1}{m} = -1 $，且 $ \frac{4m^4 - m^2x + 4}{m^3 - m} = 1 $，则 $ x = $
$13$
。答案
10. 13
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求分式的结构，由原式含$\frac{1}{m}$可知$m≠0$，先利用完全平方公式对已知的$m-\frac{1}{m}=-1$两边平方，求出$m^2+\frac{1}{m^2}$的值；再根据分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$m^2$，把分式转化为含$m-\frac{1}{m}$和$m^2+\frac{1}{m^2}$的形式，代入已知值列出关于$x$的一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
解：$\because m-\frac{1}{m}=-1$，$\therefore m≠0$，
对等式两边同时平方，得：
$(m-\frac{1}{m})^2=(-1)^2$
展开得：$m^2-2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=1$
化简得：$m^2+\frac{1}{m^2}=3$ ①
已知$\frac{4m^4 - m^2x + 4}{m^3 - m}=1$，将分式的分子、分母同时除以$m^2$（$m≠0$，分式值不变）：
分子$÷ m^2$：$\frac{4m^4}{m^2}-\frac{m^2x}{m^2}+\frac{4}{m^2}=4m^2 - x + \frac{4}{m^2}=4(m^2+\frac{1}{m^2})-x$
分母$÷ m^2$：$\frac{m^3}{m^2}-\frac{m}{m^2}=m-\frac{1}{m}$
$\therefore$原分式可变形为：
$\frac{4(m^2+\frac{1}{m^2})-x}{m-\frac{1}{m}}=1$
把$m-\frac{1}{m}=-1$和①式$m^2+\frac{1}{m^2}=3$代入上式：
$\frac{4×3 - x}{-1}=1$
化简得：$\frac{12 - x}{-1}=1$
两边同乘$-1$得：$12 - x=-1$
解得：$x=13$
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查分式变形技巧与整式乘法公式的结合运用，解题的核心是观察式子结构，通过分式基本性质对高次分式降次，结合已知条件简化计算，是分式章节的常见中档题型。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件和所求分式的结构，由原式含$\frac{1}{m}$可知$m≠0$，先利用完全平方公式对已知的$m-\frac{1}{m}=-1$两边平方，求出$m^2+\frac{1}{m^2}$的值；再根据分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$m^2$，把分式转化为含$m-\frac{1}{m}$和$m^2+\frac{1}{m^2}$的形式，代入已知值列出关于$x$的一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
解：$\because m-\frac{1}{m}=-1$，$\therefore m≠0$，
对等式两边同时平方，得：
$(m-\frac{1}{m})^2=(-1)^2$
展开得：$m^2-2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=1$
化简得：$m^2+\frac{1}{m^2}=3$ ①
已知$\frac{4m^4 - m^2x + 4}{m^3 - m}=1$，将分式的分子、分母同时除以$m^2$（$m≠0$，分式值不变）：
分子$÷ m^2$：$\frac{4m^4}{m^2}-\frac{m^2x}{m^2}+\frac{4}{m^2}=4m^2 - x + \frac{4}{m^2}=4(m^2+\frac{1}{m^2})-x$
分母$÷ m^2$：$\frac{m^3}{m^2}-\frac{m}{m^2}=m-\frac{1}{m}$
$\therefore$原分式可变形为：
$\frac{4(m^2+\frac{1}{m^2})-x}{m-\frac{1}{m}}=1$
把$m-\frac{1}{m}=-1$和①式$m^2+\frac{1}{m^2}=3$代入上式：
$\frac{4×3 - x}{-1}=1$
化简得：$\frac{12 - x}{-1}=1$
两边同乘$-1$得：$12 - x=-1$
解得：$x=13$
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查分式变形技巧与整式乘法公式的结合运用，解题的核心是观察式子结构，通过分式基本性质对高次分式降次，结合已知条件简化计算，是分式章节的常见中档题型。
【难度系数】
0.6
11. 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，进行约分，以达到计算目的.
例：若$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$，求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.
解：$\because \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{x^2+1}{x}=4$. $\therefore x+\frac{1}{x}=4$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=16-2=14$.
根据材料回答问题：
例：若$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$，求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.
解：$\because \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{x^2+1}{x}=4$. $\therefore x+\frac{1}{x}=4$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=16-2=14$.
根据材料回答问题：
答案
11. 解：(1) $\because \dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{4}$,
$\therefore \dfrac{x^2-x+1}{x}=4$. $\therefore x+\dfrac{1}{x}=5$.
$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2-2=23$.
(2) $\because \dfrac{x}{x^2-3x+1}=\dfrac{1}{2}$, $\therefore \dfrac{x^2-3x+1}{x}=2$.
$\therefore x+\dfrac{1}{x}=5$.
$\therefore \dfrac{x^4+2x^2+1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2=25$.
$\therefore \dfrac{x^2}{x^4+2x^2+1}=\dfrac{1}{25}$.
$\therefore \dfrac{x^2-x+1}{x}=4$. $\therefore x+\dfrac{1}{x}=5$.
$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2-2=23$.
(2) $\because \dfrac{x}{x^2-3x+1}=\dfrac{1}{2}$, $\therefore \dfrac{x^2-3x+1}{x}=2$.
$\therefore x+\dfrac{1}{x}=5$.
$\therefore \dfrac{x^4+2x^2+1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2=25$.
$\therefore \dfrac{x^2}{x^4+2x^2+1}=\dfrac{1}{25}$.
解析
【分析】
题目给出了倒数法的使用示例，解题时可类比示例思路：首先观察已知分式的结构，分子为单字母x，分母为二次多项式，由于x=0时已知等式不成立，因此可对已知分式取倒数，约分后得到$x+\frac{1}{x}$的数值；再将所求代数式变形为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入计算即可。
（1）第一问先对已知分式取倒数求$x+\frac{1}{x}$，再利用完全平方公式的变形$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$计算；
（2）第二问先对已知分式取倒数求得$x+\frac{1}{x}$，再对所求分式取倒数，变形为含$x+\frac{1}{x}$的完全平方形式计算，最后再取倒数得到结果。
【解析】
(1) 已知$\dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{4}$，易知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2-x+1}{x}=4$，
拆分约分可得$x - 1 + \dfrac{1}{x}=4$，整理得$x+\dfrac{1}{x}=5$。
根据完全平方公式变形：
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2 - 2=5^2 -2=23$。
(2) 已知$\dfrac{x}{x^2-3x+1}=\dfrac{1}{2}$，易知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2-3x+1}{x}=2$，
拆分约分可得$x - 3 + \dfrac{1}{x}=2$，整理得$x+\dfrac{1}{x}=5$。
先求所求代数式的倒数：
$\dfrac{x^4+2x^2+1}{x^2}=x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2=5^2=25$，
因此$\dfrac{x^2}{x^4+2x^2+1}=\dfrac{1}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{25}}$
【知识点】
分式的基本性质、完全平方公式、倒数法化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心是运用倒数法将复杂分式转化为易于计算的$x+\frac{1}{x}$的形式，再结合完全平方公式的变形求解，掌握该类变形技巧能大幅提升分式化简类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
题目给出了倒数法的使用示例，解题时可类比示例思路：首先观察已知分式的结构，分子为单字母x，分母为二次多项式，由于x=0时已知等式不成立，因此可对已知分式取倒数，约分后得到$x+\frac{1}{x}$的数值；再将所求代数式变形为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入计算即可。
（1）第一问先对已知分式取倒数求$x+\frac{1}{x}$，再利用完全平方公式的变形$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$计算；
（2）第二问先对已知分式取倒数求得$x+\frac{1}{x}$，再对所求分式取倒数，变形为含$x+\frac{1}{x}$的完全平方形式计算，最后再取倒数得到结果。
【解析】
(1) 已知$\dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{4}$，易知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2-x+1}{x}=4$，
拆分约分可得$x - 1 + \dfrac{1}{x}=4$，整理得$x+\dfrac{1}{x}=5$。
根据完全平方公式变形：
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2 - 2=5^2 -2=23$。
(2) 已知$\dfrac{x}{x^2-3x+1}=\dfrac{1}{2}$，易知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2-3x+1}{x}=2$，
拆分约分可得$x - 3 + \dfrac{1}{x}=2$，整理得$x+\dfrac{1}{x}=5$。
先求所求代数式的倒数：
$\dfrac{x^4+2x^2+1}{x^2}=x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2=5^2=25$，
因此$\dfrac{x^2}{x^4+2x^2+1}=\dfrac{1}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{25}}$
【知识点】
分式的基本性质、完全平方公式、倒数法化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心是运用倒数法将复杂分式转化为易于计算的$x+\frac{1}{x}$的形式，再结合完全平方公式的变形求解，掌握该类变形技巧能大幅提升分式化简类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
