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12. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如：$\frac{4x^2 -8x}{x-2}=\frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$，则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题.
（1）下列分式中是“巧分式”的有
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$；②$\frac{2x+5}{x+3}$；③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$.
（2）若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x +n}$（$m$，$n$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$，求$m$，$n$的值；
（3）若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”，并说明理由.
（1）下列分式中是“巧分式”的有
①③
；（填序号）①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$；②$\frac{2x+5}{x+3}$；③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$.
（2）若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x +n}$（$m$，$n$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$，求$m$，$n$的值；
（3）若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”，并说明理由.
答案
12. 解：(1) ①③
(2) $\because$ 分式 $\dfrac{x^2-4x+m}{x+n}$（$m$，$n$ 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 $x-7$，
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$.
$\therefore x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$.
$\therefore \begin{cases}n-7=-4,\\-7n=m.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-21,\\n=3.\end{cases}$
(3) $\dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”. 理由如下：
$\because$ 分式 $\dfrac{-2x^3+2x}{A}$ 的“巧整式”为 $1-x$，
$\therefore A = \dfrac{-2x^3+2x}{1-x} = \dfrac{2x(1-x^2)}{1-x} = \dfrac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$.
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A} = \dfrac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)} = \dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$.
又 $x+1$ 是整式，
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”.
(2) $\because$ 分式 $\dfrac{x^2-4x+m}{x+n}$（$m$，$n$ 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 $x-7$，
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$.
$\therefore x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$.
$\therefore \begin{cases}n-7=-4,\\-7n=m.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-21,\\n=3.\end{cases}$
(3) $\dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”. 理由如下：
$\because$ 分式 $\dfrac{-2x^3+2x}{A}$ 的“巧整式”为 $1-x$，
$\therefore A = \dfrac{-2x^3+2x}{1-x} = \dfrac{2x(1-x^2)}{1-x} = \dfrac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$.
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A} = \dfrac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)} = \dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$.
又 $x+1$ 是整式，
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”.
解析
【分析】
解题核心是准确理解“巧分式”的定义：分式约分后为整式，即分母是分子的因式，分子可表示为分母与某个整式的乘积。
(1) 逐个判断分式：①分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约分后得到整式$2x-3$，符合定义；②分子$2x+5$无法分解出含$x+3$的因式，约分后得不到整式，不符合定义；③分子$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，与分母约去$x+y$后得到整式$x-y$，符合定义。
(2) 根据“巧分式”定义，分子$x^2-4x+m$等于分母$x+n$乘以巧整式$x-7$，将$(x+n)(x-7)$展开后，利用多项式同类项系数相等列方程组，即可求解$m$、$n$的值。
(3) 先根据已知条件求$A$：$A$等于分子$-2x^3+2x$除以巧整式$1-x$，约分得到$A$的表达式；再将待判断的分式的分子因式分解，除以$A$，若结果为整式，则该分式是巧分式。
【解析】
(1) ①约分后得$2x-3$，是整式，是巧分式；②$\frac{2x+5}{x+3}=\frac{2(x+3)-1}{x+3}=2-\frac{1}{x+3}$，不是整式，不是巧分式；③约分后得$x-y$，是整式，是巧分式。故选①③。
(2) $\because$ 分式 $\dfrac{x^2-4x+m}{x+n}$（$m$，$n$ 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$，
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$，
$\therefore x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$，
$\therefore \begin{cases}n-7=-4,\\-7n=m.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-21,\\n=3.\end{cases}$
(3) $\dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”，理由如下：
$\because$ 分式 $\dfrac{-2x^3+2x}{A}$ 的“巧整式”为 $1-x$，
$\therefore A = \dfrac{-2x^3+2x}{1-x} = \dfrac{2x(1-x^2)}{1-x} = \dfrac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$，
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A} = \dfrac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)} = \dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
又$x+1$是整式，
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) $\boldsymbol{m=-21}$，$\boldsymbol{n=3}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}}$是“巧分式”
【知识点】
分式的约分，因式分解，多项式乘多项式
【点评】
本题为新定义类题型，将新定义与分式、整式的运算相结合，解题关键是准确理解新定义的内涵，将其转化为已学的整式乘法、因式分解、分式约分等知识进行求解，侧重考查对基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是准确理解“巧分式”的定义：分式约分后为整式，即分母是分子的因式，分子可表示为分母与某个整式的乘积。
(1) 逐个判断分式：①分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约分后得到整式$2x-3$，符合定义；②分子$2x+5$无法分解出含$x+3$的因式，约分后得不到整式，不符合定义；③分子$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，与分母约去$x+y$后得到整式$x-y$，符合定义。
(2) 根据“巧分式”定义，分子$x^2-4x+m$等于分母$x+n$乘以巧整式$x-7$，将$(x+n)(x-7)$展开后，利用多项式同类项系数相等列方程组，即可求解$m$、$n$的值。
(3) 先根据已知条件求$A$：$A$等于分子$-2x^3+2x$除以巧整式$1-x$，约分得到$A$的表达式；再将待判断的分式的分子因式分解，除以$A$，若结果为整式，则该分式是巧分式。
【解析】
(1) ①约分后得$2x-3$，是整式，是巧分式；②$\frac{2x+5}{x+3}=\frac{2(x+3)-1}{x+3}=2-\frac{1}{x+3}$，不是整式，不是巧分式；③约分后得$x-y$，是整式，是巧分式。故选①③。
(2) $\because$ 分式 $\dfrac{x^2-4x+m}{x+n}$（$m$，$n$ 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$，
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$，
$\therefore x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$，
$\therefore \begin{cases}n-7=-4,\\-7n=m.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-21,\\n=3.\end{cases}$
(3) $\dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”，理由如下：
$\because$ 分式 $\dfrac{-2x^3+2x}{A}$ 的“巧整式”为 $1-x$，
$\therefore A = \dfrac{-2x^3+2x}{1-x} = \dfrac{2x(1-x^2)}{1-x} = \dfrac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$，
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A} = \dfrac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)} = \dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
又$x+1$是整式，
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$ 是“巧分式”。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) $\boldsymbol{m=-21}$，$\boldsymbol{n=3}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}}$是“巧分式”
【知识点】
分式的约分，因式分解，多项式乘多项式
【点评】
本题为新定义类题型，将新定义与分式、整式的运算相结合，解题关键是准确理解新定义的内涵，将其转化为已学的整式乘法、因式分解、分式约分等知识进行求解，侧重考查对基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
