5. 下列所求的最简公分母，错误的是（）.

A.$\frac{1}{3x}$与$\frac{a}{6x^2}$的最简公分母是$6x^2$
B.$\frac{1}{3a^2b^3}$与$\frac{1}{3a^2b^3c}$的最简公分母是$3a^2b^3c$
C.$\frac{1}{m+n}$与$\frac{1}{m-n}$的最简公分母是$m^2-n^2$
D.$\frac{1}{a(x-y)}$与$\frac{1}{b(y-x)}$的最简公分母是$ab(x-y)(y-x)$

5. D

【分析】
要判断最简公分母是否正确，首先要明确最简公分母的确定方法：1. 取各分母系数的最小公倍数；2. 相同字母（或含字母的整式）取次数最高的幂；3. 不同的字母（或含字母的整式）连同它的指数全部作为公分母的因式；另外若分母的因式互为相反数，可统一为其中一个因式，无需重复选取。我们按照这个规则逐一验证4个选项，就能找到错误的选项。
【解析】
根据最简公分母的确定规则逐一分析：
A选项：两个分式的分母为$3x$和$6x^2$，系数的最小公倍数是6，$x$的最高次幂是$x^2$，因此最简公分母是$6x^2$，A选项正确，不符合题意。
B选项：两个分式的分母为$3a^2b^3$和$3a^2b^3c$，系数的最小公倍数是3，$a$最高次为$a^2$，$b$最高次为$b^3$，还有单独出现的因式$c$，因此最简公分母是$3a^2b^3c$，B选项正确，不符合题意。
C选项：两个分式的分母为$m+n$和$m-n$，二者是不同的整式，没有公因式，因此最简公分母是$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，C选项正确，不符合题意。
D选项：两个分式的分母为$a(x-y)$和$b(y-x)$，注意$y-x=-(x-y)$，两个分母的公因式可统一为$(x-y)$，因此最简公分母是$ab(x-y)$（或$ab(y-x)$），选项中给出的$ab(x-y)(y-x)$重复乘了互为相反数的因式，不是最简，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定，分式通分，因式符号转化
【点评】
本题主要考查最简公分母的确定，是分式通分的基础题型，易错点是容易忽略分母中互为相反数的因式可以统一符号，导致多乘不必要的因式，解题时可先将分母的因式统一形式后再找最简公分母。
【难度系数】
0.7

6. 分式$\dfrac{1}{2ab + 2b^2}$与$\dfrac{2a}{a^2 - b^2}$的最简公分母是。

6. $2b(a+b)(a-b)$

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按以下思路思考：第一步先将两个分式的分母分别因式分解；第二步取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数；第三步提取所有在分解后的分母中出现的不同因式，相同因式取最高次幂；最后将系数和所有因式相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
1. 对两个分式的分母分别因式分解：
第一个分母：$2ab+2b^2$，提取公因式$2b$，得$2ab+2b^2=2b(a+b)$；
第二个分母：$a^2-b^2$，利用平方差公式分解，得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
2. 确定公分母的系数：两个分母的系数分别为2和1，最小公倍数是2。
3. 确定所有因式及最高次幂：分解后出现的因式有$b$、$(a+b)$、$(a-b)$，所有因式的最高次幂均为1次。
4. 组合得到最简公分母：将系数和所有因式相乘，即$2× b×(a+b)×(a-b)=2b(a+b)(a-b)$。
【答案】
$2b(a+b)(a-b)$
【知识点】
因式分解，最简公分母的确定，平方差公式
【点评】
本题属于分式通分相关的基础题型，解题的关键是先对各分母进行正确的因式分解，再按规则组合得到最简公分母，该内容是后续学习分式加减运算的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

7. 约分：
(1) $\dfrac{12x^5y^2z^4}{-18x^3z^7} =$ ；
(2) $\dfrac{a - b}{b - a} =$ ；
(3) $\dfrac{-9m^2n^2}{3m^2n - 6mn^2} =$ ；
(4) $-\dfrac{12a^2(b - a)^2}{27(a - b)^3} =$ ；
(5) $\dfrac{x^2 - 3x}{9 - x^2} =$ ；
(6) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2 - 4x^2} =$ 。

7. (1) $-\dfrac{2x^2y^2}{3z^3}$
(2) $-1$
(3) $-\dfrac{3mn}{m-2n}$
(4) $-\dfrac{4a^2}{9(a-b)}$
(5) $-\dfrac{x}{x+3}$
(6) $\dfrac{1}{(x+1)^2}$

【分析】
分式约分的依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路如下：①若分子、分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式，约去公因式后化简，注意处理符号；②若分子、分母是多项式，先分别对分子、分母因式分解，再提取公因式约分，遇到互为相反数的因式（如$a-b$和$b-a$），可将其中一个变形为另一个乘$-1$后再约分，最终结果要化为最简分式。
【解析】
(1) 分子分母公因式为$6x^3z^4$，约分得：
$\dfrac{12x^5y^2z^4}{-18x^3z^7}=\dfrac{6x^3z^4· 2x^2y^2}{6x^3z^4· (-3z^3)}=-\dfrac{2x^2y^2}{3z^3}$
(2) 分母变形为$b-a=-(a-b)$，约分得：
$\dfrac{a-b}{b-a}=\dfrac{a-b}{-(a-b)}=-1$（$a≠ b$）
(3) 先分解分母：$3m^2n-6mn^2=3mn(m-2n)$，公因式为$3mn$，约分得：
$\dfrac{-9m^2n^2}{3m^2n-6mn^2}=\dfrac{3mn· (-3mn)}{3mn· (m-2n)}=-\dfrac{3mn}{m-2n}$
(4) 由平方性质得$(b-a)^2=(a-b)^2$，公因式为$3(a-b)^2$，约分得：
$-\dfrac{12a^2(b-a)^2}{27(a-b)^3}=-\dfrac{3(a-b)^2· 4a^2}{3(a-b)^2· 9(a-b)}=-\dfrac{4a^2}{9(a-b)}$
(5) 分解因式：分子$x^2-3x=x(x-3)$，分母$9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3)$，公因式为$x-3$，约分得：
$\dfrac{x^2-3x}{9-x^2}=\dfrac{x(x-3)}{-(x-3)(x+3)}=-\dfrac{x}{x+3}$（$x≠ 3$）
(6) 分解因式：分子$x^2-2x+1=(x-1)^2$，分母为平方差结构：$(x^2+1)^2-4x^2=(x^2+1+2x)(x^2+1-2x)=(x+1)^2(x-1)^2$，公因式为$(x-1)^2$，约分得：
$\dfrac{x^2-2x+1}{(x^2+1)^2-4x^2}=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$（$x≠ 1$）
【答案】
(1) $-\dfrac{2x^2y^2}{3z^3}$；(2) $-1$；(3) $-\dfrac{3mn}{m-2n}$；(4) $-\dfrac{4a^2}{9(a-b)}$；(5) $-\dfrac{x}{x+3}$；(6) $\dfrac{1}{(x+1)^2}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；因式分解
【点评】
本题考查分式约分的基础运算，解题关键是熟练掌握单项式、多项式的公因式提取方法，尤其要注意互为相反数的因式的符号转换，约分后需确认结果为最简分式，避免因符号处理、因式分解错误失分。
【难度系数】
0.7

8. 通分：
(1) $\frac{3a}{5b^2c}$与$\frac{7c}{10a^2b}$；
(3) $\frac{c}{6a^2b}$，$\frac{a}{8b^2c^2}$，$\frac{b}{3ac^2}$；

8. 解：(1) 最简公分母为 $10a^2b^2c$.
$\dfrac{3a}{5b^2c}=\dfrac{3a· 2a^2}{5b^2c· 2a^2}=\dfrac{6a^3}{10a^2b^2c}$,
$\dfrac{7c}{10a^2b}=\dfrac{7c· bc}{10a^2b· bc}=\dfrac{7c^2b}{10a^2b^2c}$.
(2) 最简公分母为 $2x(1+x)(x-1)$.
$\dfrac{x}{2+2x}=\dfrac{x· x(x-1)}{2(1+x)· x(x-1)}$
$=\dfrac{x^2(x-1)}{2x(1+x)(x-1)}$.
$\dfrac{1}{x^2-x}=\dfrac{2(1+x)}{x(x-1)· 2(1+x)}$
$=\dfrac{2(1+x)}{2x(1+x)(x-1)}$.
(3) 最简公分母为 $24a^2b^2c^2$.
$\dfrac{c}{6a^2b}=\dfrac{c· 4bc^2}{6a^2b· 4bc^2}=\dfrac{4bc^3}{24a^2b^2c^2}$,
$\dfrac{a}{8b^2c^2}=\dfrac{a· 3a^2}{8b^2c^2· 3a^2}=\dfrac{3a^3}{24a^2b^2c^2}$,
$\dfrac{b}{3ac^2}=\dfrac{b· 8ab^2}{3ac^2· 8ab^2}=\dfrac{8ab^3}{24a^2b^2c^2}$.
(4) 最简公分母为 $4(x+1)^2(x-2)$.
$-\dfrac{x+2}{2x+2}=-\dfrac{(x+2)· 2(x+1)(x-2)}{2(x+1)· 2(x+1)(x-2)}$
$=-\dfrac{2(x^2-4)(x+1)}{4(x+1)^2(x-2)}$,
$\dfrac{2}{x^2+2x+1}=\dfrac{2· 4(x-2)}{(x+1)^2· 4(x-2)}$
$=\dfrac{8(x-2)}{4(x+1)^2(x-2)}$,
$\dfrac{3}{8-4x}=\dfrac{3· [-(x+1)^2]}{4(2-x)· [-(x+1)^2]}$
$=\dfrac{-3(x+1)^2}{4(x+1)^2(x-2)}$.

【分析】
通分的依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路为：①先将每个分式的分母因式分解；②确定最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，所有出现过的字母或因式都要选取，相同字母（或因式）取次数最高的；③每个分式的分子、分母同乘原分母缺少的因式，将各分式的分母统一为最简公分母即可，计算时注意不要漏乘分子，还要准确处理符号。
【解析】
(1) 最简公分母为 $10a^2b^2c$：
$\dfrac{3a}{5b^2c}=\dfrac{3a· 2a^2}{5b^2c· 2a^2}=\dfrac{6a^3}{10a^2b^2c}$，
$\dfrac{7c}{10a^2b}=\dfrac{7c· bc}{10a^2b· bc}=\dfrac{7bc^2}{10a^2b^2c}$。
(2) 先分解分母：$2+2x=2(1+x)$，$x^2-x=x(x-1)$，最简公分母为 $2x(1+x)(x-1)$：
$\dfrac{x}{2+2x}=\dfrac{x· x(x-1)}{2(1+x)· x(x-1)}=\dfrac{x^2(x-1)}{2x(1+x)(x-1)}$，
$\dfrac{1}{x^2-x}=\dfrac{2(1+x)}{x(x-1)· 2(1+x)}=\dfrac{2(1+x)}{2x(1+x)(x-1)}$。
(3) 最简公分母为 $24a^2b^2c^2$：
$\dfrac{c}{6a^2b}=\dfrac{c· 4bc^2}{6a^2b· 4bc^2}=\dfrac{4bc^3}{24a^2b^2c^2}$，
$\dfrac{a}{8b^2c^2}=\dfrac{a· 3a^2}{8b^2c^2· 3a^2}=\dfrac{3a^3}{24a^2b^2c^2}$，
$\dfrac{b}{3ac^2}=\dfrac{b· 8ab^2}{3ac^2· 8ab^2}=\dfrac{8ab^3}{24a^2b^2c^2}$。
(4) 先分解分母：$2x+2=2(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，$8-4x=4(2-x)$，最简公分母为 $4(x+1)^2(x-2)$：
$-\dfrac{x+2}{2x+2}=-\dfrac{(x+2)· 2(x+1)(x-2)}{2(x+1)· 2(x+1)(x-2)}=-\dfrac{2(x^2-4)(x+1)}{4(x+1)^2(x-2)}$，
$\dfrac{2}{x^2+2x+1}=\dfrac{2· 4(x-2)}{(x+1)^2· 4(x-2)}=\dfrac{8(x-2)}{4(x+1)^2(x-2)}$，
$\dfrac{3}{8-4x}=\dfrac{3· [-(x+1)^2]}{4(2-x)· [-(x+1)^2]}=\dfrac{-3(x+1)^2}{4(x+1)^2(x-2)}$。
【答案】
(1) $\dfrac{6a^3}{10a^2b^2c}$，$\dfrac{7bc^2}{10a^2b^2c}$；
(2) $\dfrac{x^2(x-1)}{2x(1+x)(x-1)}$，$\dfrac{2(1+x)}{2x(1+x)(x-1)}$；
(3) $\dfrac{4bc^3}{24a^2b^2c^2}$，$\dfrac{3a^3}{24a^2b^2c^2}$，$\dfrac{8ab^3}{24a^2b^2c^2}$；
(4) $-\dfrac{2(x^2-4)(x+1)}{4(x+1)^2(x-2)}$，$\dfrac{8(x-2)}{4(x+1)^2(x-2)}$，$\dfrac{-3(x+1)^2}{4(x+1)^2(x-2)}$。
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的常规题型，解题核心是准确找到最简公分母，需要注意分母要先因式分解再确定公分母，分子乘对应因式时不要漏乘，遇到互为相反数的因式时要正确处理符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7