登录
1. 如图，线段是直径，线段是弦。
第1题图第2题图
第1题图第2题图答案
解：
AB；CD（答案不唯一，AC也符合弦的定义）
AB；CD（答案不唯一，AC也符合弦的定义）
解析
【分析】
解题时先回忆直径和弦的相关定义，第一步找直径：直径需要满足两个条件，一是两个端点都在圆上，二是线段经过圆心，据此对照图形筛选符合条件的线段；第二步找弦：弦是连接圆上任意两点的线段，只要线段的两个端点都在圆周上就符合弦的定义，再对应图形找出符合的线段即可。
【解析】
根据圆的相关概念：
1. 直径的定义：经过圆心的弦叫做直径。观察图形，线段AB的端点A、B均在圆上，且AB经过圆心O，因此AB是直径。
2. 弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。图中线段CD的端点C、D都在圆上，符合弦的定义；同理AC、AB也属于弦，因此第二空可填CD（或AC、AB，答案不唯一）。
【答案】
AB；CD（答案不唯一，AC也符合弦的定义）
【知识点】
直径的定义；弦的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆中直径、弦两个概念的区分与识别，解题的核心是牢记两个概念的特征，注意直径是特殊的弦。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆直径和弦的相关定义，第一步找直径：直径需要满足两个条件，一是两个端点都在圆上，二是线段经过圆心，据此对照图形筛选符合条件的线段；第二步找弦：弦是连接圆上任意两点的线段，只要线段的两个端点都在圆周上就符合弦的定义，再对应图形找出符合的线段即可。
【解析】
根据圆的相关概念：
1. 直径的定义：经过圆心的弦叫做直径。观察图形，线段AB的端点A、B均在圆上，且AB经过圆心O，因此AB是直径。
2. 弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。图中线段CD的端点C、D都在圆上，符合弦的定义；同理AC、AB也属于弦，因此第二空可填CD（或AC、AB，答案不唯一）。
【答案】
AB；CD（答案不唯一，AC也符合弦的定义）
【知识点】
直径的定义；弦的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆中直径、弦两个概念的区分与识别，解题的核心是牢记两个概念的特征，注意直径是特殊的弦。
【难度系数】
0.9
2.如图，AC，BD是$\odot O$的两条直径，则四边形ABCD一定是形。
答案
矩
解析
【分析】
解题思路：首先结合已知条件AC、BD是圆的直径，回忆圆的直径的相关性质：①同圆的所有半径相等，直径的中点均为圆心，可得两条对角线互相平分，先判定四边形是平行四边形；②同圆的直径长度相等，因此平行四边形的对角线相等，结合矩形的判定定理即可得到结论。也可以利用“直径所对的圆周角是直角”，得到平行四边形有一个内角为直角，进而判定为矩形。
【解析】
解：
∵AC、BD是$\odot O$的两条直径，
∴OA=OC，OB=OD（同圆的半径相等），
∴四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AC=BD（同圆的直径长度相等），
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形ABCD是矩形。
【答案】
矩
【知识点】
1. 圆的直径性质
2. 平行四边形的判定
3. 矩形的判定
【点评】
本题是基础类题目，将圆的性质和特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是抓住直径的特征推导四边形对角线或内角的特点，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先结合已知条件AC、BD是圆的直径，回忆圆的直径的相关性质：①同圆的所有半径相等，直径的中点均为圆心，可得两条对角线互相平分，先判定四边形是平行四边形；②同圆的直径长度相等，因此平行四边形的对角线相等，结合矩形的判定定理即可得到结论。也可以利用“直径所对的圆周角是直角”，得到平行四边形有一个内角为直角，进而判定为矩形。
【解析】
解：
∵AC、BD是$\odot O$的两条直径，
∴OA=OC，OB=OD（同圆的半径相等），
∴四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AC=BD（同圆的直径长度相等），
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形ABCD是矩形。
【答案】
矩
【知识点】
1. 圆的直径性质
2. 平行四边形的判定
3. 矩形的判定
【点评】
本题是基础类题目，将圆的性质和特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是抓住直径的特征推导四边形对角线或内角的特点，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
3.一个点到圆上的最小距离是4，最大距离是9，则圆的半径是.
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当该点在圆内时，点到圆上的最小距离与最大距离之和等于圆的直径，
此时圆的直径为 $4 + 9 = 13$，半径为 $\frac{13}{2}=6.5$；
2. 当该点在圆外时，点到圆上的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
此时圆的直径为 $9 - 4 = 5$，半径为 $\frac{5}{2}=2.5$。
综上，圆的半径是6.5或2.5。
1. 当该点在圆内时，点到圆上的最小距离与最大距离之和等于圆的直径，
此时圆的直径为 $4 + 9 = 13$，半径为 $\frac{13}{2}=6.5$；
2. 当该点在圆外时，点到圆上的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
此时圆的直径为 $9 - 4 = 5$，半径为 $\frac{5}{2}=2.5$。
综上，圆的半径是6.5或2.5。
解析
【分析】
解决本题首先要明确点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，本题中点到圆的最小距离为4≠0，因此排除点在圆上的情况，需分两种情况讨论：①点在圆内时，过该点和圆心作直线与圆交于两点，该点到两交点的距离分别是最小、最大距离，二者之和为圆的直径；②点在圆外时，过该点和圆心作直线与圆交于两点，该点到两交点的距离分别是最小、最大距离，二者之差为圆的直径，最后根据直径和半径的换算关系即可求出半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当该点在圆内时，点到圆上的最小距离与最大距离之和等于圆的直径，
此时圆的直径为 $4 + 9 = 13$，半径为 $\frac{13}{2}=6.5$；
2. 当该点在圆外时，点到圆上的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
此时圆的直径为 $9 - 4 = 5$，半径为 $\frac{5}{2}=2.5$。
综上，圆的半径是6.5或2.5。
【答案】
$\boxed{6.5}$或$\boxed{2.5}$
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的基本性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅考虑点在圆内或圆外其中一种情况导致漏解，解题时要注意，若题目未明确点与圆的位置关系，需枚举所有可能的情况，避免丢解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，本题中点到圆的最小距离为4≠0，因此排除点在圆上的情况，需分两种情况讨论：①点在圆内时，过该点和圆心作直线与圆交于两点，该点到两交点的距离分别是最小、最大距离，二者之和为圆的直径；②点在圆外时，过该点和圆心作直线与圆交于两点，该点到两交点的距离分别是最小、最大距离，二者之差为圆的直径，最后根据直径和半径的换算关系即可求出半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当该点在圆内时，点到圆上的最小距离与最大距离之和等于圆的直径，
此时圆的直径为 $4 + 9 = 13$，半径为 $\frac{13}{2}=6.5$；
2. 当该点在圆外时，点到圆上的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
此时圆的直径为 $9 - 4 = 5$，半径为 $\frac{5}{2}=2.5$。
综上，圆的半径是6.5或2.5。
【答案】
$\boxed{6.5}$或$\boxed{2.5}$
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的基本性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅考虑点在圆内或圆外其中一种情况导致漏解，解题时要注意，若题目未明确点与圆的位置关系，需枚举所有可能的情况，避免丢解。
【难度系数】
0.6
4.若$\odot O$的半径为4cm，点P到点O的距离为6cm，则点P与$\odot O$的位置关系是。
答案
解：设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$，
由题意得：$r=4\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$，
$\because 6＞4$，即$d＞r$，
$\therefore$ 点$P$在$\odot O$外。
由题意得：$r=4\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$，
$\because 6＞4$，即$d＞r$，
$\therefore$ 点$P$在$\odot O$外。
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，需用到点和圆位置关系的判定规则：先明确圆的半径$r$，以及点到圆心的距离$d$，再通过比较$d$和$r$的大小确定位置：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题已经给出圆的半径和点$P$到圆心$O$的距离，只需提取对应数值、比较大小后对照规则即可得出结论。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$，
由题意得：$r=4\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$，
$\because 6＞4$，即$d＞r$，
$\therefore$ 点$P$在$\odot O$外。
【答案】
点$P$在$\odot O$外
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查点与圆位置关系的判断方法，解题关键是准确提取半径和点到圆心的距离进行大小比较，熟记三种位置对应的大小关系即可快速解答，不易出错。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，需用到点和圆位置关系的判定规则：先明确圆的半径$r$，以及点到圆心的距离$d$，再通过比较$d$和$r$的大小确定位置：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题已经给出圆的半径和点$P$到圆心$O$的距离，只需提取对应数值、比较大小后对照规则即可得出结论。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$，
由题意得：$r=4\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$，
$\because 6＞4$，即$d＞r$，
$\therefore$ 点$P$在$\odot O$外。
【答案】
点$P$在$\odot O$外
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查点与圆位置关系的判断方法，解题关键是准确提取半径和点到圆心的距离进行大小比较，熟记三种位置对应的大小关系即可快速解答，不易出错。
【难度系数】
0.9
5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=()
A.55°
B.70°
C.20°
D.25°
第5题图 第6题图
A.55°
B.70°
C.20°
D.25°
第5题图 第6题图
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形角度条件出发，先求出∠B的度数；再结合圆的半径相等的性质，得到CB=CD，即△CBD为等腰三角形，进而求出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数，即可得到∠ACD的大小。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B = 90° - ∠A = 90° - 35° = 55°
∵ CB、CD都是⊙C的半径，
∴ CB=CD
∴ △CBD是等腰三角形，∠CDB=∠B=55°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BCD = 180° - ∠B - ∠CDB = 180° - 55° - 55° = 70°
∴ ∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 90° - 70° = 20°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题关键是利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和相关性质逐步推导角度，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的直角三角形角度条件出发，先求出∠B的度数；再结合圆的半径相等的性质，得到CB=CD，即△CBD为等腰三角形，进而求出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数，即可得到∠ACD的大小。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B = 90° - ∠A = 90° - 35° = 55°
∵ CB、CD都是⊙C的半径，
∴ CB=CD
∴ △CBD是等腰三角形，∠CDB=∠B=55°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BCD = 180° - ∠B - ∠CDB = 180° - 55° - 55° = 70°
∴ ∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 90° - 70° = 20°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题关键是利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和相关性质逐步推导角度，难度不大。
【难度系数】
0.8
6.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在$\overset{\frown}{MN}$上,且不与M,N重合,当P点在$\overset{\frown}{MN}$上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则AB的长度()
A.不变
B.变小
C.变大
D.不能确定
A.不变
B.变小
C.变大
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质思考：矩形的两条对角线长度相等，因此AB的长度等于另一条对角线OP的长度。再观察OP的特点，OP是扇形OMN的半径，同一个扇形的半径是固定不变的，因此可推出AB的长度也不会随P点的移动发生变化。
【解析】
解：
∵四边形PAOB是矩形，
∴根据矩形对角线相等的性质，可得AB=OP。
∵OP是扇形OMN的半径，在同一个扇形中所有半径长度均为定值，不随P点在弧MN上的移动而改变，
∴AB的长度始终等于扇形半径，保持不变。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，同圆半径相等
【点评】
本题是几何基础应用题，将矩形性质和圆的基本性质结合考查，解题的突破口是利用矩形对角线相等完成AB与扇形半径的等量转换，思路清晰，掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合矩形的性质思考：矩形的两条对角线长度相等，因此AB的长度等于另一条对角线OP的长度。再观察OP的特点，OP是扇形OMN的半径，同一个扇形的半径是固定不变的，因此可推出AB的长度也不会随P点的移动发生变化。
【解析】
解：
∵四边形PAOB是矩形，
∴根据矩形对角线相等的性质，可得AB=OP。
∵OP是扇形OMN的半径，在同一个扇形中所有半径长度均为定值，不随P点在弧MN上的移动而改变，
∴AB的长度始终等于扇形半径，保持不变。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，同圆半径相等
【点评】
本题是几何基础应用题，将矩形性质和圆的基本性质结合考查，解题的突破口是利用矩形对角线相等完成AB与扇形半径的等量转换，思路清晰，掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.有一个矩形ABCD，其长为4，宽为3，以D点为圆心作圆，使A，B，C三点中的两点在圆内，一点在圆外，则$\odot D$的半径$r$的取值范围为()
A.$3＜r＜4$
B.$3＜r＜5$
C.$4＜r＜5$
D.$4≤ r≤5$
A.$3＜r＜4$
B.$3＜r＜5$
C.$4＜r＜5$
D.$4≤ r≤5$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确点与圆的位置关系的判断依据：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；大于半径时，点在圆外。首先我们需要先求出A、B、C三点到圆心D的距离，再结合“两点在圆内、一点在圆外”的要求，确定半径r需要满足的大小关系，进而得到r的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，长为4，宽为3
∴ 相邻两边AD=3，DC=4，
由勾股定理可算出对角线BD的长度：$BD=\sqrt{AD^2 + DC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
即A、B、C三点到圆心D的距离分别为3、5、4。
根据点与圆的位置关系：
若要两点在圆内，一点在圆外，则半径r需要大于较小的两个距离，小于最大的距离，
即 $4 ＜ r ＜ 5$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是先求出各点到圆心的距离，再结合点和圆的位置关系的判定规则推导半径的取值范围，解题时需注意“圆内”“圆外”对应的是严格的不等关系，不包含等号。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确点与圆的位置关系的判断依据：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；大于半径时，点在圆外。首先我们需要先求出A、B、C三点到圆心D的距离，再结合“两点在圆内、一点在圆外”的要求，确定半径r需要满足的大小关系，进而得到r的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，长为4，宽为3
∴ 相邻两边AD=3，DC=4，
由勾股定理可算出对角线BD的长度：$BD=\sqrt{AD^2 + DC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
即A、B、C三点到圆心D的距离分别为3、5、4。
根据点与圆的位置关系：
若要两点在圆内，一点在圆外，则半径r需要大于较小的两个距离，小于最大的距离，
即 $4 ＜ r ＜ 5$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是先求出各点到圆心的距离，再结合点和圆的位置关系的判定规则推导半径的取值范围，解题时需注意“圆内”“圆外”对应的是严格的不等关系，不包含等号。
【难度系数】
0.7
8.如图，OA，OB是$\odot O$的半径，C是$\odot O$上一点，$∠ AOB = 40°$，$∠ OBC = 50°$，则$∠ OAC =$°。
答案
$\boldsymbol{30}$
解析
【分析】解题时首先明确圆的所有半径长度相等，因此可得到△OBC和△OAC均为等腰三角形。先根据△OBC的已知内角求出∠BOC的度数，再结合已知的∠AOB得到∠AOC的度数，最后利用等腰三角形内角和性质即可计算出∠OAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵ OC、OB都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$，
∴ $△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC=50°$，
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-50°-50°=80°$，
∵ $∠ AOB=40°$，$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=40°+80°=120°$，
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，$△ OAC$为等腰三角形，
∴ $∠ OAC=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】$\boldsymbol{30}$
【知识点】圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】本题是圆相关的基础角度计算题，解题核心是利用半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，思路清晰，计算量小。
【难度系数】0.75
【解析】
连接OC，
∵ OC、OB都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$，
∴ $△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC=50°$，
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-50°-50°=80°$，
∵ $∠ AOB=40°$，$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=40°+80°=120°$，
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，$△ OAC$为等腰三角形，
∴ $∠ OAC=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】$\boldsymbol{30}$
【知识点】圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】本题是圆相关的基础角度计算题，解题核心是利用半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，思路清晰，计算量小。
【难度系数】0.75
9.如图,点B,O,O',C,D在一条直线上,BC是半圆O的直径,OD是半圆O'的直径,两半圆相交于点A,连接AB,AO',若∠BAO'=67.2°,则∠AO'C=度.
答案
$\boldsymbol{89.6}$
解析
【分析】
解题时首先结合圆的性质，同圆的半径相等，可得两组等腰三角形：△OAB和△O'OA，再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角定理，梳理已知角∠BAO'和未知角的数量关系，先求出∠B的度数，最后再次利用三角形外角定理即可求出∠AO'C的度数。
【解析】
解：
∵BC是半圆O的直径，OA、OB都是半圆O的半径，
∴OB=OA，
∴∠B=∠OAB，设∠B=α，则∠OAB=α。
∵∠AOC是△AOB的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，
∴∠AOC=∠B + ∠OAB=2α。
又
∵OD是半圆O'的直径，O'A、O'O都是半圆O'的半径，
∴O'O=O'A，
∴∠O'AO=∠AOC=2α。
由图可知∠BAO'=∠OAB + ∠O'AO=α + 2α=3α，
已知∠BAO'=67.2°，即3α=67.2°，
解得α=22.4°。
∵∠AO'C是△AO'B的外角，
∴∠AO'C=∠B + ∠BAO'=22.4° + 67.2°=89.6°。
【答案】
89.6
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是抓住同圆半径相等得到等腰三角形，再结合角度的和差关系、外角定理建立已知角和待求角的联系，解题时需仔细梳理图中角的位置关系，避免混淆角的和差。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合圆的性质，同圆的半径相等，可得两组等腰三角形：△OAB和△O'OA，再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角定理，梳理已知角∠BAO'和未知角的数量关系，先求出∠B的度数，最后再次利用三角形外角定理即可求出∠AO'C的度数。
【解析】
解：
∵BC是半圆O的直径，OA、OB都是半圆O的半径，
∴OB=OA，
∴∠B=∠OAB，设∠B=α，则∠OAB=α。
∵∠AOC是△AOB的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，
∴∠AOC=∠B + ∠OAB=2α。
又
∵OD是半圆O'的直径，O'A、O'O都是半圆O'的半径，
∴O'O=O'A，
∴∠O'AO=∠AOC=2α。
由图可知∠BAO'=∠OAB + ∠O'AO=α + 2α=3α，
已知∠BAO'=67.2°，即3α=67.2°，
解得α=22.4°。
∵∠AO'C是△AO'B的外角，
∴∠AO'C=∠B + ∠BAO'=22.4° + 67.2°=89.6°。
【答案】
89.6
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是抓住同圆半径相等得到等腰三角形，再结合角度的和差关系、外角定理建立已知角和待求角的联系，解题时需仔细梳理图中角的位置关系，避免混淆角的和差。
【难度系数】
0.7
