例1 下列说法中,正确的个数为
（）
①决定圆的两个要素,一是圆心,二是半径;②连接圆上任意两点的线段叫作弦,经过圆心的弦叫作直径;③圆上任意两点间的部分叫作圆弧;④直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆.

A.4
B.3
C.2
D.1
【思路导析】运用圆、弧、弦等定义来判断.
【请你解答】.

A

【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题时只需逐一对照教材中圆、弦、直径、圆弧、半圆的定义，判断每个说法是否符合定义，统计正确的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个判断四个说法的正误：
① 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者是决定圆的两个要素，该说法正确；
② 根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段叫作弦，其中经过圆心的弦是直径，是圆内最长的弦，该说法正确；
③ 根据圆弧的定义，圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，该说法正确；
④ 直径的两个端点把圆分成完全相等的两条弧，每一条弧都叫作半圆，该说法正确。
综上，4个说法全部正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的确定要素 2.弦与直径的定义 3.弧与半圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对课本基础定义的记忆与辨析，只要熟练掌握圆的相关基础概念，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

例2 ⊙O的直径为10 cm，P是一个动点，当OP 时，点P在⊙O上；当OP 时，点P在⊙O外；当OP 时，点P在⊙O内。
【思路导析】运用点P到圆心O的距离d与半径r的大小关系来判断。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径$r=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
根据点与圆的位置关系判定：
当点$P$在$\odot O$上时，点到圆心的距离等于半径，即$OP=5\ \mathrm{cm}$；
当点$P$在$\odot O$外时，点到圆心的距离大于半径，即$OP＞5\ \mathrm{cm}$；
当点$P$在$\odot O$内时，点到圆心的距离小于半径，即$OP＜5\ \mathrm{cm}$。
答案依次为：$=5\ \mathrm{cm}$；$＞5\ \mathrm{cm}$；$＜5\ \mathrm{cm}$。

【分析】
要判断点P与⊙O的位置关系，核心依据是点到圆心的距离d与圆半径r的大小关系。首先需要根据已知的圆的直径求出半径，再分别对应三种位置关系确定OP的取值：当d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外，d＜r时点在圆内。
【解析】
已知⊙O的直径为10 cm，因此⊙O的半径$r=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
根据点与圆的位置关系判定规则：
1. 当点P在⊙O上时，点到圆心的距离等于半径，因此$OP=5\ \mathrm{cm}$；
2. 当点P在⊙O外时，点到圆心的距离大于半径，因此$OP＞5\ \mathrm{cm}$；
3. 当点P在⊙O内时，点到圆心的距离小于半径，因此$OP＜5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$=5\ \mathrm{cm}$；$＞5\ \mathrm{cm}$；$＜5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 直径与半径的关系
2. 点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是先准确求出圆的半径，再牢记点到圆心的距离与半径的大小对应关系，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

例3 如图，已知正方形ABCD，是否能画一个圆，使这个圆同时经过A，B，C，D四点？如果能，指出圆心的位置，并写出圆的半径与正方形的对角线的关系；如果不能，说明理由。
【探究点拨】连接AC，BD，AC与BD的交点O即为圆心。
【规范解答】存在这样的圆。连接AC，BD，交点为点O，以点O为圆心，线段OA长为半径作$\odot O$，则$\odot O$过A，B，C，D四点。
理由：由正方形的性质可知，$OA=OB=OC=OD$，所以$r=OA=OB=OC=OD$，即点A，B，C，D到点O的距离等于定长OA。所以点A，B，C，D在以O点为圆心，OA为半径的圆上。即该圆的圆心是正方形的对角线的交点，半径等于该正方形对角线长的一半。

解：能画出同时经过A，B，C，D四点的圆。
连接AC，BD，设AC与BD的交点为点O。
由正方形的性质可知，正方形的对角线相等且互相平分，因此$OA=OB=OC=OD$。
以点O为圆心，线段OA的长为半径作$\odot O$，则A、B、C、D四点到点O的距离都等于定长OA，因此四点都在这个圆上。
该圆的圆心是正方形ABCD两条对角线的交点，圆的半径长度等于正方形对角线长的一半。

【分析】
要判断四个点是否在同一个圆上，核心依据是圆的定义：即是否存在一个定点，使得这四个点到该定点的距离都相等。我们可以结合正方形的性质，优先考虑对角线的交点作为候选定点，再验证该点到四个顶点的距离是否相等，若相等则四点共圆，同时可进一步确定圆心位置和半径与对角线的关系。
【解析】
首先可以确定能画出同时经过A，B，C，D四点的圆，解题步骤如下：
1. 作辅助线：连接正方形的对角线AC、BD，两条对角线的交点记为O；
2. 推导距离关系：根据正方形的性质，正方形的对角线相等且互相平分，因此可得$OA=OB=OC=OD$；
3. 判定共圆：根据圆的定义，以点O为圆心，OA的长度为半径作$\odot O$，此时A、B、C、D四个点到O的距离都等于半径OA，因此四个点都在$\odot O$上；
4. 明确关系：该圆的圆心为正方形ABCD两条对角线的交点，圆的半径长度等于正方形对角线长的一半。
【答案】
能画出同时经过A，B，C，D四点的圆。
连接AC，BD，设AC与BD的交点为点O。
由正方形的性质可知，正方形的对角线相等且互相平分，因此$OA=OB=OC=OD$。
以点O为圆心，线段OA的长为半径作$\odot O$，则A、B、C、D四点到点O的距离都等于定长OA，因此四点都在这个圆上。
该圆的圆心是正方形ABCD两条对角线的交点，圆的半径长度等于正方形对角线长的一半。
【知识点】
圆的定义；正方形的性质；四点共圆判定
【点评】
本题是圆的基本概念与特殊四边形性质结合的基础应用题，解题的关键是抓住四点共圆的本质是各点到同一定点的距离相等，结合正方形对角线的性质即可快速求解，能帮助学生加深对圆的定义的理解。
【难度系数】
0.85

1.如图，$\odot O$的直径为10 cm，$PA=10$ cm，点P以1 cm/s的速度从点C向点A，B运动，运动到点B停止.试问当运动时间t为何值时，
(1)点P在$\odot O$外？
(2)点P在$\odot O$上？
(3)点P在$\odot O$内？

2.如图，已知点A，B，C在$\odot O$上，且$∠ AOC=∠ ABC=α$，求$α$的值.

第1题
解：
已知$\odot O$的直径为10 cm，因此$\odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$。
由图可知点$A$、$B$都在$\odot O$上，$AB$为直径，$AB=10\ \mathrm{cm}$，又$PA=10\ \mathrm{cm}$，因此点$P$从初始位置运动到点$B$的总路程为$PA+AB=20\ \mathrm{cm}$，结合运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，可得运动总时间为$20\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤20$。
(1) 点$P$在$\odot O$外时，点$P$到圆心$O$的距离大于半径$5\ \mathrm{cm}$，此时点$P$在线段$CA$上（不含点$A$），运动路程满足$t＜10$，即$\boldsymbol{0≤ t＜10}$。
(2) 点$P$在$\odot O$上时，点$P$到圆心$O$的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，此时点$P$与点$A$或点$B$重合，对应运动路程$t=10$或$t=20$，即$\boldsymbol{t=10\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{t=20\ \mathrm{s}}$。
(3) 点$P$在$\odot O$内时，点$P$到圆心$O$的距离小于半径$5\ \mathrm{cm}$，此时点$P$在线段$AB$上（不含点$A$、$B$），运动路程满足$10＜t＜20$，即$\boldsymbol{10＜t＜20}$。
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第2题
解：
优弧$AC$对应的圆心角的度数为$360°-∠ AOC=360°-α$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，$∠ ABC$是优弧$AC$对应的圆周角，因此：
$∠ ABC=\frac{1}{2}(360°-α)$
代入$∠ ABC=α$，得：
$α=\frac{1}{2}(360°-α)$
整理得$3α=360°$，解得$\boldsymbol{α=120°}$。

【分析】
第1题思路
解决本题需先掌握点与圆的三种位置关系判定规则：点到圆心的距离$d＞$半径$r$时，点在圆外；$d=r$时，点在圆上；$d＜r$时，点在圆内。首先计算出$\odot O$的半径，再结合点$P$的运动起点、速度、运动路径确定总运动时间范围，最后根据不同位置对应的路程区间，转化为时间$t$的取值范围即可。
第2题思路
本题考查圆周角定理的应用，首先明确$∠ ABC$是优弧$AC$所对的圆周角，对应的圆心角为优弧$AC$的度数，即$360°$减去劣弧$AC$的圆心角$∠ AOC$，再根据“圆周角等于它所对圆心角的一半”列方程求解即可，解题时注意不要误将$∠ ABC$对应劣弧$AC$的圆心角，避免列错方程。
【解析】
第1题
已知$\odot O$的直径为$10\ \mathrm{cm}$，因此$\odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$。
由图可知点$A$、$B$都在$\odot O$上，$AB$为直径，$AB=10\ \mathrm{cm}$，又$PA=10\ \mathrm{cm}$，因此点$P$从初始位置运动到点$B$的总路程为$PA+AB=20\ \mathrm{cm}$，结合运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，可得运动总时间为$20\ \mathrm{s}$，即$0\le t\le20$。
(1) 点$P$在$\odot O$外时，点$P$到圆心$O$的距离大于半径$5\ \mathrm{cm}$，此时点$P$在线段$CA$上（不含点$A$），运动路程满足$t＜10$，即$0\le t＜10$。
(2) 点$P$在$\odot O$上时，点$P$到圆心$O$的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，此时点$P$与点$A$或点$B$重合，对应运动路程$t=10$或$t=20$，即$t=10\ \mathrm{s}$或$t=20\ \mathrm{s}$。
(3) 点$P$在$\odot O$内时，点$P$到圆心$O$的距离小于半径$5\ \mathrm{cm}$，此时点$P$在线段$AB$上（不含点$A$、$B$），运动路程满足$10＜t＜20$，即$10＜t＜20$。
第2题
优弧$AC$对应的圆心角的度数为$360°-∠ AOC=360°-α$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，$∠ ABC$是优弧$AC$对应的圆周角，因此：
$∠ ABC=\frac{1}{2}(360°-α)$
代入$∠ ABC=α$，得：
$α=\frac{1}{2}(360°-α)$
整理得$3α=360°$，解得$α=120°$。
【答案】
1. (1)$\boldsymbol{0\le t＜10\ \mathrm{s}}$；(2)$\boldsymbol{t=10\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{t=20\ \mathrm{s}}$；(3)$\boldsymbol{10\ \mathrm{s}＜t＜20\ \mathrm{s}}$
2. $\boldsymbol{α=120°}$
【知识点】
点与圆的位置关系、圆周角定理
【点评】
这两道题都是圆的基础常规题，第1题结合动点场景考查点和圆位置关系的判定，解题时需先理清动点的运动路径和时间范围，再结合位置判定规则推导对应时间区间；第2题解题的关键是准确判断圆周角所对的弧，避免因混淆优弧、劣弧对应的圆心角导致出错。
【难度系数】
0.7