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10.如图，AB是$\odot O$的弦，点C，D在弦AB上，且$AD=BC$，连接OC，OD.求证：$△ OCD$是等腰三角形.
答案
证明：连接OA，OB。
∵ OA，OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAD和△OBC中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AD = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △OBC（SAS），
∴ OD = OC，
∴ △OCD是等腰三角形。
∵ OA，OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAD和△OBC中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AD = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △OBC（SAS），
∴ OD = OC，
∴ △OCD是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△OCD是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即OC=OD，可通过证明OC、OD所在的三角形全等推导边相等的结论。首先利用圆的基本性质，连接OA、OB，同圆的半径相等，可得OA=OB，进而由等边对等角得到∠A=∠B，再结合题目给出的AD=BC的条件，即可通过SAS判定△OAD与△OBC全等，由全等三角形对应边相等得到OD=OC，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OA，OB。
∵ OA，OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAD和△OBC中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠ A = ∠ B \\AD = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △OBC（SAS），
∴ OD = OC，
∴ △OCD是等腰三角形。
【答案】
证明：连接OA，OB。
∵ OA，OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAD和△OBC中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AD = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △OBC（SAS），
∴ OD = OC，
∴ △OCD是等腰三角形。
【知识点】
圆的基本性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形知识结合的基础题，解题关键是合理作辅助线，利用圆半径相等的性质得到边角关系，结合全等三角形的判定推导边相等，进而判定等腰三角形，主要考查基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.85
要证明△OCD是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即OC=OD，可通过证明OC、OD所在的三角形全等推导边相等的结论。首先利用圆的基本性质，连接OA、OB，同圆的半径相等，可得OA=OB，进而由等边对等角得到∠A=∠B，再结合题目给出的AD=BC的条件，即可通过SAS判定△OAD与△OBC全等，由全等三角形对应边相等得到OD=OC，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OA，OB。
∵ OA，OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAD和△OBC中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠ A = ∠ B \\AD = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △OBC（SAS），
∴ OD = OC，
∴ △OCD是等腰三角形。
【答案】
证明：连接OA，OB。
∵ OA，OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAD和△OBC中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AD = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △OBC（SAS），
∴ OD = OC，
∴ △OCD是等腰三角形。
【知识点】
圆的基本性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形知识结合的基础题，解题关键是合理作辅助线，利用圆半径相等的性质得到边角关系，结合全等三角形的判定推导边相等，进而判定等腰三角形，主要考查基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.85
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$BC=8$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$O$为$AB$的中点.
(1)以$C$为圆心,6为半径作$\odot C$,试判断点$A$,$D$,$B$与$\odot C$的位置关系;
(2)当$\odot C$的半径为多少时,点$O$在$\odot C$上?
(1)以$C$为圆心,6为半径作$\odot C$,试判断点$A$,$D$,$B$与$\odot C$的位置关系;
(2)当$\odot C$的半径为多少时,点$O$在$\odot C$上?
答案
解：
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$。
已知⊙C的半径$r=6$：
∵ $AC=6=r$，∴ 点A在⊙C上；
∵ $BC=8＞6=r$，∴ 点B在⊙C外；
∵ $CD=4.8＜6=r$，∴ 点D在⊙C内。
(2) ∵ O为AB的中点，∠ACB=90°，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∴ 当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上。
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$。
已知⊙C的半径$r=6$：
∵ $AC=6=r$，∴ 点A在⊙C上；
∵ $BC=8＞6=r$，∴ 点B在⊙C外；
∵ $CD=4.8＜6=r$，∴ 点D在⊙C内。
(2) ∵ O为AB的中点，∠ACB=90°，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∴ 当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上。
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系：距离等于半径时，点在圆上；距离大于半径时，点在圆外；距离小于半径时，点在圆内。
对于(1)，首先需要求出点A、D、B到圆心C的距离：AC可通过Rt△ABC的勾股定理计算，CD可利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出，BC是已知边长，再分别和半径6比较即可判断三点与$\odot C$的位置关系。
对于(2)，点O在$\odot C$上意味着$\odot C$的半径等于OC的长度，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出OC的长度，也就是所需半径。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
由三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数值计算：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$
已知$\odot C$的半径$r=6$：
∵ $AC=6=r$，
∴ 点A在$\odot C$上；
∵ $BC=8＞6=r$，
∴ 点B在$\odot C$外；
∵ $CD=4.8＜6=r$，
∴ 点D在$\odot C$内。
(2)
∵ O为AB的中点，$∠ ACB=90°$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质：
$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
∴ 当$\odot C$的半径等于OC的长度时，点O在$\odot C$上，即半径为5。
【答案】
(1) 点A在$\odot C$上，点B在$\odot C$外，点D在$\odot C$内；
(2) 当$\odot C$的半径为5时，点O在$\odot C$上。
【知识点】
点与圆的位置关系判定，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是准确计算各点到圆心的距离，同时结合直角三角形的相关性质求解相关线段长度，是对圆基础概念和直角三角形性质的综合考查，熟练掌握相关性质和判定方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系：距离等于半径时，点在圆上；距离大于半径时，点在圆外；距离小于半径时，点在圆内。
对于(1)，首先需要求出点A、D、B到圆心C的距离：AC可通过Rt△ABC的勾股定理计算，CD可利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出，BC是已知边长，再分别和半径6比较即可判断三点与$\odot C$的位置关系。
对于(2)，点O在$\odot C$上意味着$\odot C$的半径等于OC的长度，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出OC的长度，也就是所需半径。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
由三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数值计算：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$
已知$\odot C$的半径$r=6$：
∵ $AC=6=r$，
∴ 点A在$\odot C$上；
∵ $BC=8＞6=r$，
∴ 点B在$\odot C$外；
∵ $CD=4.8＜6=r$，
∴ 点D在$\odot C$内。
(2)
∵ O为AB的中点，$∠ ACB=90°$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质：
$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
∴ 当$\odot C$的半径等于OC的长度时，点O在$\odot C$上，即半径为5。
【答案】
(1) 点A在$\odot C$上，点B在$\odot C$外，点D在$\odot C$内；
(2) 当$\odot C$的半径为5时，点O在$\odot C$上。
【知识点】
点与圆的位置关系判定，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是准确计算各点到圆心的距离，同时结合直角三角形的相关性质求解相关线段长度，是对圆基础概念和直角三角形性质的综合考查，熟练掌握相关性质和判定方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
12.如图,点M,A在$\odot O$上,四边形ABOC,MNOH都为矩形,且$ON=OB$.求证:$OH=OC$.
答案
证明：
连接OM，OA。
∵ 四边形MNOH是矩形，
∴ ∠MNO = 90°，MN = OH。
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
$OM^2 = ON^2 + MN^2 = ON^2 + OH^2$。
∵ 四边形ABOC是矩形，
∴ ∠ACO = 90°，AC = OB。
在Rt△ACO中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2 = OC^2 + OB^2$。
∵ 点M，A在$\odot O$上，
∴ OM，OA都是$\odot O$的半径，即$OM = OA$。
∴ $ON^2 + OH^2 = OB^2 + OC^2$。
又∵ $ON = OB$，
∴ $OH^2 = OC^2$。
∵ $OH ＞ 0$，$OC ＞ 0$，
∴ $OH = OC$。
连接OM，OA。
∵ 四边形MNOH是矩形，
∴ ∠MNO = 90°，MN = OH。
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
$OM^2 = ON^2 + MN^2 = ON^2 + OH^2$。
∵ 四边形ABOC是矩形，
∴ ∠ACO = 90°，AC = OB。
在Rt△ACO中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2 = OC^2 + OB^2$。
∵ 点M，A在$\odot O$上，
∴ OM，OA都是$\odot O$的半径，即$OM = OA$。
∴ $ON^2 + OH^2 = OB^2 + OC^2$。
又∵ $ON = OB$，
∴ $OH^2 = OC^2$。
∵ $OH ＞ 0$，$OC ＞ 0$，
∴ $OH = OC$。
解析
【分析】
要证明OH=OC，可按以下思路推导：首先点M、A都在⊙O上，同圆的半径相等，因此连接OM、OA可得OM=OA；其次矩形的内角为直角且对边相等，可将OH、OC分别放到Rt△MNO和Rt△ACO中，用勾股定理分别表示出OM²和OA²；最后结合已知ON=OB，联立两个勾股定理的等式，消去相等的量，结合线段长度为正即可推导出结论。
【解析】
连接OM，OA。
∵ 四边形MNOH是矩形，
∴ ∠MNO = 90°，MN = OH。
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
$OM^2 = ON^2 + MN^2 = ON^2 + OH^2$。
∵ 四边形ABOC是矩形，
∴ ∠ACO = 90°，AC = OB。
在Rt△ACO中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2 = OC^2 + OB^2$。
∵ 点M，A在$\odot O$上，
∴ OM，OA都是$\odot O$的半径，即$OM = OA$。
∴ $ON^2 + OH^2 = OB^2 + OC^2$。
又
∵ $ON = OB$，
∴ $OH^2 = OC^2$。
∵ $OH ＞ 0$，$OC ＞ 0$，
∴ $OH = OC$。
【答案】
$OH=OC$
【知识点】
同圆半径相等；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是合理添加辅助线连接半径，借助同圆半径相等搭建两个直角三角形的等量关系，再结合矩形性质和勾股定理推导即可，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明OH=OC，可按以下思路推导：首先点M、A都在⊙O上，同圆的半径相等，因此连接OM、OA可得OM=OA；其次矩形的内角为直角且对边相等，可将OH、OC分别放到Rt△MNO和Rt△ACO中，用勾股定理分别表示出OM²和OA²；最后结合已知ON=OB，联立两个勾股定理的等式，消去相等的量，结合线段长度为正即可推导出结论。
【解析】
连接OM，OA。
∵ 四边形MNOH是矩形，
∴ ∠MNO = 90°，MN = OH。
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
$OM^2 = ON^2 + MN^2 = ON^2 + OH^2$。
∵ 四边形ABOC是矩形，
∴ ∠ACO = 90°，AC = OB。
在Rt△ACO中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2 = OC^2 + OB^2$。
∵ 点M，A在$\odot O$上，
∴ OM，OA都是$\odot O$的半径，即$OM = OA$。
∴ $ON^2 + OH^2 = OB^2 + OC^2$。
又
∵ $ON = OB$，
∴ $OH^2 = OC^2$。
∵ $OH ＞ 0$，$OC ＞ 0$，
∴ $OH = OC$。
【答案】
$OH=OC$
【知识点】
同圆半径相等；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是合理添加辅助线连接半径，借助同圆半径相等搭建两个直角三角形的等量关系，再结合矩形性质和勾股定理推导即可，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图，线段AD过圆心O交$\odot O$于D，C两点，$∠ EOD=78°$，AE交$\odot O$于点B，且$AB=OC$，求$∠ A$的度数.
答案
解：连接OB。
∵ AB=OC，OC、OB均为⊙O的半径，
∴ AB=OB，
∴ ∠A=∠AOB。
∵ OE、OB均为⊙O的半径，
∴ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠OBE。
∵ ∠OBE是△AOB的外角，
∴ ∠OBE=∠A + ∠AOB = 2∠A，
∴ ∠OEB=2∠A。
∵ ∠EOD是△AOE的外角，
∴ ∠EOD=∠A + ∠OEB = 3∠A。
∵ ∠EOD=78°，
∴ 3∠A=78°，
解得∠A=26°。
答：∠A的度数为26°。
∵ AB=OC，OC、OB均为⊙O的半径，
∴ AB=OB，
∴ ∠A=∠AOB。
∵ OE、OB均为⊙O的半径，
∴ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠OBE。
∵ ∠OBE是△AOB的外角，
∴ ∠OBE=∠A + ∠AOB = 2∠A，
∴ ∠OEB=2∠A。
∵ ∠EOD是△AOE的外角，
∴ ∠EOD=∠A + ∠OEB = 3∠A。
∵ ∠EOD=78°，
∴ 3∠A=78°，
解得∠A=26°。
答：∠A的度数为26°。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，AB等于圆的半径OC，结合圆的所有半径相等的性质，可先连接辅助线OB，构造等腰三角形：首先由AB=OB得到△AOB为等腰三角形，推出∠A=∠AOB；再由OE=OB得到△OEB为等腰三角形，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可推出∠OBE=∠OEB=2∠A；最后∠EOD是△AOE的外角，可建立∠EOD和∠A的倍数关系，代入已知角度即可求解。
【解析】
连接OB。
∵ AB=OC，OC、OB均为⊙O的半径，
∴ AB=OB，
∴ ∠A=∠AOB。
∵ OE、OB均为⊙O的半径，
∴ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠OBE。
∵ ∠OBE是△AOB的外角，
∴ ∠OBE=∠A + ∠AOB = 2∠A，
∴ ∠OEB=2∠A。
∵ ∠EOD是△AOE的外角，
∴ ∠EOD=∠A + ∠OEB = 3∠A。
∵ ∠EOD=78°，
∴ 3∠A=78°，
解得∠A=26°。
【答案】
26°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆角度计算的基础题型，解题关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形外角性质完成角的转化，建立已知角与未知角的等量关系即可求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，AB等于圆的半径OC，结合圆的所有半径相等的性质，可先连接辅助线OB，构造等腰三角形：首先由AB=OB得到△AOB为等腰三角形，推出∠A=∠AOB；再由OE=OB得到△OEB为等腰三角形，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可推出∠OBE=∠OEB=2∠A；最后∠EOD是△AOE的外角，可建立∠EOD和∠A的倍数关系，代入已知角度即可求解。
【解析】
连接OB。
∵ AB=OC，OC、OB均为⊙O的半径，
∴ AB=OB，
∴ ∠A=∠AOB。
∵ OE、OB均为⊙O的半径，
∴ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠OBE。
∵ ∠OBE是△AOB的外角，
∴ ∠OBE=∠A + ∠AOB = 2∠A，
∴ ∠OEB=2∠A。
∵ ∠EOD是△AOE的外角，
∴ ∠EOD=∠A + ∠OEB = 3∠A。
∵ ∠EOD=78°，
∴ 3∠A=78°，
解得∠A=26°。
【答案】
26°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆角度计算的基础题型，解题关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形外角性质完成角的转化，建立已知角与未知角的等量关系即可求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
