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如图，M，N 为线段 AB 上两点，且 AM：MB = 1：3，AN：NB = 5：7. 若 MN = 2，求 AB 的长.
答案
$AB=12$.
解析
【分析】
我们可以先设线段AB的总长度为未知数，根据题目给出的两个比例关系，分别将AM、AN的长度用含未知数的式子表示。结合图形可知MN=AN-AM，已知MN的长度为2，据此列出一元一次方程求解，即可得到AB的长度。
【解析】
解：设线段AB的长为$ x $。
因为$ AM:MB = 1:3 $，所以AM的长度是AB总长的$ \frac{1}{1+3}=\frac{1}{4} $，即$ AM=\frac{1}{4}x $。
又因为$ AN:NB = 5:7 $，所以AN的长度是AB总长的$ \frac{5}{5+7}=\frac{5}{12} $，即$ AN=\frac{5}{12}x $。
由线段的和差关系可得$ MN=AN-AM $，已知$ MN=2 $，代入得方程：
$\frac{5}{12}x - \frac{1}{4}x = 2$
通分计算得：
$\frac{5}{12}x - \frac{3}{12}x = 2$
$\frac{2}{12}x = 2$
$\frac{1}{6}x = 2$
解得$ x=12 $。
【答案】
$ AB=12 $
【知识点】
线段的和差运算，比例的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，解题核心是结合线段的位置关系找到等量关系，通过比例将各小段长度转化为总长的对应占比，用列方程的方法求解即可，解题思路通用易掌握。
【难度系数】
0.7
我们可以先设线段AB的总长度为未知数，根据题目给出的两个比例关系，分别将AM、AN的长度用含未知数的式子表示。结合图形可知MN=AN-AM，已知MN的长度为2，据此列出一元一次方程求解，即可得到AB的长度。
【解析】
解：设线段AB的长为$ x $。
因为$ AM:MB = 1:3 $，所以AM的长度是AB总长的$ \frac{1}{1+3}=\frac{1}{4} $，即$ AM=\frac{1}{4}x $。
又因为$ AN:NB = 5:7 $，所以AN的长度是AB总长的$ \frac{5}{5+7}=\frac{5}{12} $，即$ AN=\frac{5}{12}x $。
由线段的和差关系可得$ MN=AN-AM $，已知$ MN=2 $，代入得方程：
$\frac{5}{12}x - \frac{1}{4}x = 2$
通分计算得：
$\frac{5}{12}x - \frac{3}{12}x = 2$
$\frac{2}{12}x = 2$
$\frac{1}{6}x = 2$
解得$ x=12 $。
【答案】
$ AB=12 $
【知识点】
线段的和差运算，比例的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，解题核心是结合线段的位置关系找到等量关系，通过比例将各小段长度转化为总长的对应占比，用列方程的方法求解即可，解题思路通用易掌握。
【难度系数】
0.7
1. 如图，图中有
6
个角；其中以OC为边的角有3
个，它们分别是∠COA,∠COD,∠COB
。答案
1. 6；3；∠COA，∠COD，∠COB。
解析
【分析】
解题时先明确角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形叫做角。数角时为了避免重复、遗漏，可采用固定起始边的方法：①先找出顶点O处的所有射线，共有OA、OC、OD、OB4条；②数总角数时，按从下到上的顺序依次把每条射线作为起始边，数出能组成的不重复的角，相加即可得到总个数；③找以OC为边的角时，固定OC为其中一条边，找所有和OC共端点O的其他射线，分别组成角即可。
【解析】
1. 计算总角数：
以OA为起始边，可组成的角有∠AOC、∠AOD、∠AOB，共3个；
以OC为起始边（不重复计算已数过的∠AOC），可组成的角有∠COD、∠COB，共2个；
以OD为起始边（不重复计算已数过的∠AOD、∠COD），可组成的角有∠DOB，共1个；
总角数为$3+2+1=6$个。
2. 找以OC为边的角：
和OC共端点O的射线有OA、OD、OB，对应组成的角为∠COA、∠COD、∠COB，共3个。
【答案】
6；3；∠COA，∠COD，∠COB
【知识点】
角的概念；角的计数；角的表示
【点评】
本题是角的基础考查题，核心是掌握有序计数的方法，避免数角时出现重复或遗漏的问题，是学习角的相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
解题时先明确角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形叫做角。数角时为了避免重复、遗漏，可采用固定起始边的方法：①先找出顶点O处的所有射线，共有OA、OC、OD、OB4条；②数总角数时，按从下到上的顺序依次把每条射线作为起始边，数出能组成的不重复的角，相加即可得到总个数；③找以OC为边的角时，固定OC为其中一条边，找所有和OC共端点O的其他射线，分别组成角即可。
【解析】
1. 计算总角数：
以OA为起始边，可组成的角有∠AOC、∠AOD、∠AOB，共3个；
以OC为起始边（不重复计算已数过的∠AOC），可组成的角有∠COD、∠COB，共2个；
以OD为起始边（不重复计算已数过的∠AOD、∠COD），可组成的角有∠DOB，共1个；
总角数为$3+2+1=6$个。
2. 找以OC为边的角：
和OC共端点O的射线有OA、OD、OB，对应组成的角为∠COA、∠COD、∠COB，共3个。
【答案】
6；3；∠COA，∠COD，∠COB
【知识点】
角的概念；角的计数；角的表示
【点评】
本题是角的基础考查题，核心是掌握有序计数的方法，避免数角时出现重复或遗漏的问题，是学习角的相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
2. 如图(1)，当终止位置OB旋转到与OA成一条直线时，形成了
如图(2)，当终止位置OB旋转到与OA重合时，形成了
平
角；如图(2)，当终止位置OB旋转到与OA重合时，形成了
周
角。答案
2. 平；周。
解析
【分析】
解题时先回忆平角、周角的定义，再结合图形特征判断：①观察图(1)，终止位置OB与OA在同一直线上、方向相反，对应平角的特征；②观察图(2)，终止位置OB旋转后与起始边OA完全重合，对应周角的特征，由此可得出答案。
【解析】
根据角的相关定义：
1. 一条射线绕端点旋转，当终边和始边在同一条直线上、方向相反时，形成的角是平角，因此图(1)中OB与OA成一条直线时形成平角；
2. 一条射线绕端点旋转一周，终边和始边完全重合时，形成的角是周角，因此图(2)中OB与OA重合时形成周角。
【答案】
平；周
【知识点】
平角的定义；周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分平角和周角的特征，只要熟练掌握两类特殊角的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平角、周角的定义，再结合图形特征判断：①观察图(1)，终止位置OB与OA在同一直线上、方向相反，对应平角的特征；②观察图(2)，终止位置OB旋转后与起始边OA完全重合，对应周角的特征，由此可得出答案。
【解析】
根据角的相关定义：
1. 一条射线绕端点旋转，当终边和始边在同一条直线上、方向相反时，形成的角是平角，因此图(1)中OB与OA成一条直线时形成平角；
2. 一条射线绕端点旋转一周，终边和始边完全重合时，形成的角是周角，因此图(2)中OB与OA重合时形成周角。
【答案】
平；周
【知识点】
平角的定义；周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分平角和周角的特征，只要熟练掌握两类特殊角的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
问题 图中一共有多少个小于平角的角？
名师指导
先找出图中角的顶点，共有A,B,C,D四个点，然后再分别数出各个顶点处角的个数.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
名师指导
先找出图中角的顶点，共有A,B,C,D四个点，然后再分别数出各个顶点处角的个数.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
逐个顶点统计小于平角的角的个数：
顶点A处：有∠BAD、∠DAC、∠BAC，共3个；
顶点B处：只有∠B，共1个；
顶点C处：只有∠C，共1个；
顶点D处：有∠ADB（即β）、∠ADC（即∠1），共2个。
总个数为3+1+1+2=7。
答：图中一共有7个小于平角的角。
逐个顶点统计小于平角的角的个数：
顶点A处：有∠BAD、∠DAC、∠BAC，共3个；
顶点B处：只有∠B，共1个；
顶点C处：只有∠C，共1个；
顶点D处：有∠ADB（即β）、∠ADC（即∠1），共2个。
总个数为3+1+1+2=7。
答：图中一共有7个小于平角的角。
解析
【分析】
要数出图中小于平角的角，为了避免漏数或重复计数，我们可以采用按顶点分类统计的方法：首先找出图中所有的顶点，再依次统计每个顶点处小于平角的角的个数，最后把各个顶点的角的个数相加即可得到总个数。
【解析】
我们逐个顶点统计小于平角的角的个数：
1. 顶点A处：有∠BAD、∠DAC、∠BAC，共3个；
2. 顶点B处：只有∠B，共1个；
3. 顶点C处：只有∠C，共1个；
4. 顶点D处：有∠ADB（即标记为β的角）、∠ADC（即标记为∠1的角），共2个。
总个数为：$3+1+1+2=7$（个）
【答案】
7个
【知识点】
角的概念；平角的定义；角的计数
【点评】
本题是基础的几何计数类题目，核心考查角的相关概念和计数方法，采用按顶点分类统计的思路，能有效降低计数的错误率，是后续复杂几何计数问题的基础。
【难度系数】
0.8
要数出图中小于平角的角，为了避免漏数或重复计数，我们可以采用按顶点分类统计的方法：首先找出图中所有的顶点，再依次统计每个顶点处小于平角的角的个数，最后把各个顶点的角的个数相加即可得到总个数。
【解析】
我们逐个顶点统计小于平角的角的个数：
1. 顶点A处：有∠BAD、∠DAC、∠BAC，共3个；
2. 顶点B处：只有∠B，共1个；
3. 顶点C处：只有∠C，共1个；
4. 顶点D处：有∠ADB（即标记为β的角）、∠ADC（即标记为∠1的角），共2个。
总个数为：$3+1+1+2=7$（个）
【答案】
7个
【知识点】
角的概念；平角的定义；角的计数
【点评】
本题是基础的几何计数类题目，核心考查角的相关概念和计数方法，采用按顶点分类统计的思路，能有效降低计数的错误率，是后续复杂几何计数问题的基础。
【难度系数】
0.8
