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1. 请在下列算式的括号内填上适当的数.
(1) $( ) ÷ (-\dfrac{1}{3}) = -3$;
(2) $(-\dfrac{7}{8}) ÷ ( ) = -1$;
(3) $(+72.83) ÷ ($
(4) $( ) ÷ (-\dfrac{7}{135}) = 0$.
(1) $( ) ÷ (-\dfrac{1}{3}) = -3$;
(2) $(-\dfrac{7}{8}) ÷ ( ) = -1$;
(3) $(+72.83) ÷ ($
-0.01
$) = -7283$;(4) $( ) ÷ (-\dfrac{7}{135}) = 0$.
答案
(1) 1；(2) $\frac{7}{8}$；(3) $-0.01$；(4) 0.
解析
【分析】
本题考查有理数除法中各量的运算关系，解题时可利用除法和乘法的互逆关系推导：被除数=除数×商，除数=被除数÷商；同时结合有理数乘除法的符号法则（同号得正、异号得负），以及0除以任意不为0的数结果为0的性质，逐个计算即可。
【解析】
我们根据“被除数=除数×商，除数=被除数÷商”分别计算：
(1) 求被除数，代入公式得：$(-3) × (-\dfrac{1}{3}) = 3 × \dfrac{1}{3} = 1$；
(2) 求除数，代入公式得：$(-\dfrac{7}{8}) ÷ (-1) = \dfrac{7}{8} ÷ 1 = \dfrac{7}{8}$；
(3) 求除数，代入公式得：$72.83 ÷ (-7283) = - (72.83 ÷ 7283) = -0.01$；
(4) 因为0除以任意不为0的数商为0，除数$-\dfrac{7}{135} ≠ 0$，所以被除数为0。
【答案】
(1) $1$；(2) $\dfrac{7}{8}$；(3) $-0.01$；(4) $0$
【知识点】
有理数除法，乘除互逆，0的除法特性
【点评】
本题属于有理数除法的基础练习题，核心是掌握除法各部分的关系和符号运算规则，解题时注意判断结果的符号，同时牢记0参与除法运算的特殊性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题考查有理数除法中各量的运算关系，解题时可利用除法和乘法的互逆关系推导：被除数=除数×商，除数=被除数÷商；同时结合有理数乘除法的符号法则（同号得正、异号得负），以及0除以任意不为0的数结果为0的性质，逐个计算即可。
【解析】
我们根据“被除数=除数×商，除数=被除数÷商”分别计算：
(1) 求被除数，代入公式得：$(-3) × (-\dfrac{1}{3}) = 3 × \dfrac{1}{3} = 1$；
(2) 求除数，代入公式得：$(-\dfrac{7}{8}) ÷ (-1) = \dfrac{7}{8} ÷ 1 = \dfrac{7}{8}$；
(3) 求除数，代入公式得：$72.83 ÷ (-7283) = - (72.83 ÷ 7283) = -0.01$；
(4) 因为0除以任意不为0的数商为0，除数$-\dfrac{7}{135} ≠ 0$，所以被除数为0。
【答案】
(1) $1$；(2) $\dfrac{7}{8}$；(3) $-0.01$；(4) $0$
【知识点】
有理数除法，乘除互逆，0的除法特性
【点评】
本题属于有理数除法的基础练习题，核心是掌握除法各部分的关系和符号运算规则，解题时注意判断结果的符号，同时牢记0参与除法运算的特殊性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
2. 计算$(-1)÷(-15)×\frac{1}{15}$的结果是 （
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{225}$
D.$-225$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{225}$
D.$-225$
答案
C.
解析
【分析】
这是一道有理数乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，运算顺序为从左到右依次计算，不可优先计算右侧的乘法；其次根据有理数除法法则，将除法运算转化为乘法运算；再根据有理数乘法的符号规则确定最终结果的符号，最后计算绝对值的乘积即可得到答案。
【解析】
解：按照有理数同级运算从左到右的计算顺序，先将除法转化为乘法：
原式$= (-1) × (-\frac{1}{15}) × \frac{1}{15}$
第一步判断符号：算式中共有2个负因数，负因数个数为偶数，因此乘积为正；
第二步计算绝对值的乘积：$1 × \frac{1}{15} × \frac{1}{15} = \frac{1}{225}$
因此计算结果为$\frac{1}{225}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘除混合运算
2. 有理数除法法则
3. 有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是部分同学违反运算顺序，优先计算$(-15) × \frac{1}{15}$导致结果错误，解题时需牢记同级运算从左到右的规则，同时要准确掌握除法转乘法的方法和积的符号判断方法，避免符号和运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
这是一道有理数乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，运算顺序为从左到右依次计算，不可优先计算右侧的乘法；其次根据有理数除法法则，将除法运算转化为乘法运算；再根据有理数乘法的符号规则确定最终结果的符号，最后计算绝对值的乘积即可得到答案。
【解析】
解：按照有理数同级运算从左到右的计算顺序，先将除法转化为乘法：
原式$= (-1) × (-\frac{1}{15}) × \frac{1}{15}$
第一步判断符号：算式中共有2个负因数，负因数个数为偶数，因此乘积为正；
第二步计算绝对值的乘积：$1 × \frac{1}{15} × \frac{1}{15} = \frac{1}{225}$
因此计算结果为$\frac{1}{225}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘除混合运算
2. 有理数除法法则
3. 有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是部分同学违反运算顺序，优先计算$(-15) × \frac{1}{15}$导致结果错误，解题时需牢记同级运算从左到右的规则，同时要准确掌握除法转乘法的方法和积的符号判断方法，避免符号和运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
3. 若两个数的和为负数，商也为负数，则这两个数 （
A.同为负数
B.同为正数
C.一正一负且正数的绝对值较大
D.一正一负且负数的绝对值较大
D
）A.同为负数
B.同为正数
C.一正一负且正数的绝对值较大
D.一正一负且负数的绝对值较大
答案
D.
解析
【分析】
我们可以分两步结合已知条件逐步推理：第一步先看“商为负数”的条件，回忆有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正，异号得负，由此可确定这两个数一定是一正一负，直接排除同为正数、同为负数的A、B选项；第二步再结合“和为负数”的条件，回忆异号两数相加的符号规则：异号两数相加，和的符号与绝对值更大的加数的符号一致，现在和是负数，说明两个数里负数的绝对值更大，即可选出正确选项。
【解析】
1. 判定两数的符号关系：根据有理数除法的符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，已知两数商为负数，说明这两个数一正一负，因此排除A、B选项。
2. 判定两数的绝对值大小：根据有理数加法的运算规则，异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的加数的符号保持一致，已知两数和为负数，说明负数的绝对值更大，因此排除C选项。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则、有理数加法法则、绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算法则的基础综合题，需要先后结合除法符号规律和加法符号规律两步推理即可得到结果，熟练掌握有理数运算的符号判定规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
我们可以分两步结合已知条件逐步推理：第一步先看“商为负数”的条件，回忆有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正，异号得负，由此可确定这两个数一定是一正一负，直接排除同为正数、同为负数的A、B选项；第二步再结合“和为负数”的条件，回忆异号两数相加的符号规则：异号两数相加，和的符号与绝对值更大的加数的符号一致，现在和是负数，说明两个数里负数的绝对值更大，即可选出正确选项。
【解析】
1. 判定两数的符号关系：根据有理数除法的符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，已知两数商为负数，说明这两个数一正一负，因此排除A、B选项。
2. 判定两数的绝对值大小：根据有理数加法的运算规则，异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的加数的符号保持一致，已知两数和为负数，说明负数的绝对值更大，因此排除C选项。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则、有理数加法法则、绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算法则的基础综合题，需要先后结合除法符号规律和加法符号规律两步推理即可得到结果，熟练掌握有理数运算的符号判定规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是 （
A.$|a|＞1$
B.$a＞-b$
C.$a-b＜0$
D.$\frac{a}{b}＜0$
D
）A.$|a|＞1$
B.$a＞-b$
C.$a-b＜0$
D.$\frac{a}{b}＜0$
答案
D.
解析
【分析】
解题时首先根据数轴上“右边的数总大于左边的数”的规律，确定a、b的取值范围：b＜-1＜0＜a＜1，再结合绝对值的意义、有理数加减乘除的符号判断法则，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$\boldsymbol{b ＜ -1 ＜ 0 ＜ a ＜ 1}$
选项A：因为0＜a＜1，a到原点的距离小于1，所以$|a|＜1$，A错误；
选项B：因为b＜-1，所以$-b＞1$，又a＜1，因此$a ＜ -b$，B错误；
选项C：减去一个数等于加上这个数的相反数，所以$a-b=a+(-b)$，a是正数，-b也是正数，两个正数相加结果为正，即$a-b＞0$，C错误；
选项D：根据有理数除法法则：异号两数相除，商为负。a是正数、b是负数，二者异号，因此$\frac{a}{b}＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、有理数运算规则、绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关性质，解题的核心是准确从数轴提取数的大小关系，熟练掌握有理数运算的符号判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据数轴上“右边的数总大于左边的数”的规律，确定a、b的取值范围：b＜-1＜0＜a＜1，再结合绝对值的意义、有理数加减乘除的符号判断法则，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$\boldsymbol{b ＜ -1 ＜ 0 ＜ a ＜ 1}$
选项A：因为0＜a＜1，a到原点的距离小于1，所以$|a|＜1$，A错误；
选项B：因为b＜-1，所以$-b＞1$，又a＜1，因此$a ＜ -b$，B错误；
选项C：减去一个数等于加上这个数的相反数，所以$a-b=a+(-b)$，a是正数，-b也是正数，两个正数相加结果为正，即$a-b＞0$，C错误；
选项D：根据有理数除法法则：异号两数相除，商为负。a是正数、b是负数，二者异号，因此$\frac{a}{b}＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、有理数运算规则、绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关性质，解题的核心是准确从数轴提取数的大小关系，熟练掌握有理数运算的符号判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1) $-(-2\frac{1}{6})÷(-\frac{5}{12})$；
(2) $-54×2\frac{1}{4}÷(-4\frac{1}{2})×\frac{2}{9}$。
(1) $-(-2\frac{1}{6})÷(-\frac{5}{12})$；
(2) $-54×2\frac{1}{4}÷(-4\frac{1}{2})×\frac{2}{9}$。
答案
(1) $-5\frac{1}{5}$；(2) 6.
解析
【分析】
解决有理数乘除运算问题，思路分为三步：第一步先处理符号，根据“同号得正、异号得负”，先判断最终结果的符号；第二步将所有带分数化为假分数，同时根据有理数除法法则，把除法运算转化为乘法运算（除以一个不为0的数等于乘它的倒数）；第三步通过约分或者乘法运算律简化计算，求出最终结果。
针对第(1)题，先化简最前面的双重符号，再化带分数为假分数，转除法为乘法后计算即可；第(2)题是乘除混合运算，先统计负号个数确定结果符号，再统一为乘法运算，通过交换因数位置约分简化计算。
【解析】
(1) 计算$-(-2\frac{1}{6})÷(-\frac{5}{12})$：
① 化简符号、化带分数为假分数：
$-(-2\frac{1}{6})=2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
② 根据除法法则转除法为乘法，异号两数相除结果为负：
原式$=\frac{13}{6}×(-\frac{12}{5})= -(\frac{13}{6}×\frac{12}{5})$
③ 约分计算：
$\frac{13}{6}×\frac{12}{5}=\frac{26}{5}=5\frac{1}{5}$，因此结果为$-5\frac{1}{5}$。
(2) 计算$-54×2\frac{1}{4}÷(-4\frac{1}{2})×\frac{2}{9}$：
① 化带分数为假分数：
$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，$4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$
② 确定符号：算式中共有2个负因数，偶数个负号则结果为正；再将除法转化为乘法：
原式$=54×\frac{9}{4}×\frac{2}{9}×\frac{2}{9}$
③ 利用乘法交换律约分简化：
$=54×\frac{2}{9}×(\frac{9}{4}×\frac{2}{9})$
$=12×\frac{1}{2}=6$
【答案】
(1) $-5\frac{1}{5}$；(2) $6$
【知识点】
有理数除法法则，有理数乘除混合运算，带分数化假分数
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，解题核心是先定符号再算数值，将除法统一为乘法后约分可大幅降低计算错误率，熟练运用乘法运算律能进一步提高运算效率。
【难度系数】
0.8
解决有理数乘除运算问题，思路分为三步：第一步先处理符号，根据“同号得正、异号得负”，先判断最终结果的符号；第二步将所有带分数化为假分数，同时根据有理数除法法则，把除法运算转化为乘法运算（除以一个不为0的数等于乘它的倒数）；第三步通过约分或者乘法运算律简化计算，求出最终结果。
针对第(1)题，先化简最前面的双重符号，再化带分数为假分数，转除法为乘法后计算即可；第(2)题是乘除混合运算，先统计负号个数确定结果符号，再统一为乘法运算，通过交换因数位置约分简化计算。
【解析】
(1) 计算$-(-2\frac{1}{6})÷(-\frac{5}{12})$：
① 化简符号、化带分数为假分数：
$-(-2\frac{1}{6})=2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
② 根据除法法则转除法为乘法，异号两数相除结果为负：
原式$=\frac{13}{6}×(-\frac{12}{5})= -(\frac{13}{6}×\frac{12}{5})$
③ 约分计算：
$\frac{13}{6}×\frac{12}{5}=\frac{26}{5}=5\frac{1}{5}$，因此结果为$-5\frac{1}{5}$。
(2) 计算$-54×2\frac{1}{4}÷(-4\frac{1}{2})×\frac{2}{9}$：
① 化带分数为假分数：
$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，$4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$
② 确定符号：算式中共有2个负因数，偶数个负号则结果为正；再将除法转化为乘法：
原式$=54×\frac{9}{4}×\frac{2}{9}×\frac{2}{9}$
③ 利用乘法交换律约分简化：
$=54×\frac{2}{9}×(\frac{9}{4}×\frac{2}{9})$
$=12×\frac{1}{2}=6$
【答案】
(1) $-5\frac{1}{5}$；(2) $6$
【知识点】
有理数除法法则，有理数乘除混合运算，带分数化假分数
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，解题核心是先定符号再算数值，将除法统一为乘法后约分可大幅降低计算错误率，熟练运用乘法运算律能进一步提高运算效率。
【难度系数】
0.8
问题 计算:(1) $(-125 \frac{5}{7}) ÷ (-5)$；(2) $-2.5 ÷ \frac{5}{8} × (-\frac{1}{4})$。
名师指导
将除法转化为乘法，再运用乘法的法则进行计算。混合运算一定要按运算顺序进行运算。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
将除法转化为乘法，再运用乘法的法则进行计算。混合运算一定要按运算顺序进行运算。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案
解：
(1) 原式$=125\frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
$=(125+\frac{5}{7}) × \frac{1}{5}$
$=125 × \frac{1}{5} + \frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
$=25 + \frac{1}{7}$
$=25\frac{1}{7}$
(2) 原式$=-\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × (-\frac{1}{4})$
$=\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × \frac{1}{4}$
$=1$
(1) 原式$=125\frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
$=(125+\frac{5}{7}) × \frac{1}{5}$
$=125 × \frac{1}{5} + \frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
$=25 + \frac{1}{7}$
$=25\frac{1}{7}$
(2) 原式$=-\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × (-\frac{1}{4})$
$=\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × \frac{1}{4}$
$=1$
解析
【分析】
这两道题是有理数乘除运算的基础题，解题核心思路是先利用有理数除法法则将除法转化为乘法，再结合运算规则计算。第(1)题先根据“同号得正”确定结果符号，观察带分数的特征，可将带分数拆成整数与分数相加的形式，用乘法分配律简化计算，不需要先化假分数；第(2)题先把小数化为分数，再把除法全部转化为乘法，先根据负因数的个数确定最终结果的符号，再按从左到右的顺序约分计算即可。
【解析】
(1) 根据有理数除法法则，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，且负负得正：
原式$=125\frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
将带分数拆分为整数和分数的和：
$=(125+\frac{5}{7}) × \frac{1}{5}$
根据乘法分配律展开计算：
$=125 × \frac{1}{5} + \frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
分别计算乘法：
$=25 + \frac{1}{7}$
合并得结果：
$=25\frac{1}{7}$
(2) 先将小数$-2.5$化为分数$-\frac{5}{2}$，再将除法转化为乘法：
原式$=-\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × (-\frac{1}{4})$
根据有理数乘法符号规则，2个负因数相乘结果为正：
$=\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × \frac{1}{4}$
逐步约分计算：
$=1$
【答案】
(1) $25\frac{1}{7}$；(2) $1$
【知识点】
有理数除法法则；乘法分配律；有理数乘除混合运算
【点评】
本题属于有理数运算的常规基础题，解题时要注意先确定运算结果的符号再计算数值，避免出现符号错误；合理拆分带分数、将小数化分数、灵活使用运算律可以简化计算过程，乘除属于同级运算，要严格遵循从左到右的顺序计算。
【难度系数】
0.8
这两道题是有理数乘除运算的基础题，解题核心思路是先利用有理数除法法则将除法转化为乘法，再结合运算规则计算。第(1)题先根据“同号得正”确定结果符号，观察带分数的特征，可将带分数拆成整数与分数相加的形式，用乘法分配律简化计算，不需要先化假分数；第(2)题先把小数化为分数，再把除法全部转化为乘法，先根据负因数的个数确定最终结果的符号，再按从左到右的顺序约分计算即可。
【解析】
(1) 根据有理数除法法则，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，且负负得正：
原式$=125\frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
将带分数拆分为整数和分数的和：
$=(125+\frac{5}{7}) × \frac{1}{5}$
根据乘法分配律展开计算：
$=125 × \frac{1}{5} + \frac{5}{7} × \frac{1}{5}$
分别计算乘法：
$=25 + \frac{1}{7}$
合并得结果：
$=25\frac{1}{7}$
(2) 先将小数$-2.5$化为分数$-\frac{5}{2}$，再将除法转化为乘法：
原式$=-\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × (-\frac{1}{4})$
根据有理数乘法符号规则，2个负因数相乘结果为正：
$=\frac{5}{2} × \frac{8}{5} × \frac{1}{4}$
逐步约分计算：
$=1$
【答案】
(1) $25\frac{1}{7}$；(2) $1$
【知识点】
有理数除法法则；乘法分配律；有理数乘除混合运算
【点评】
本题属于有理数运算的常规基础题，解题时要注意先确定运算结果的符号再计算数值，避免出现符号错误；合理拆分带分数、将小数化分数、灵活使用运算律可以简化计算过程，乘除属于同级运算，要严格遵循从左到右的顺序计算。
【难度系数】
0.8
