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某水位在最近5 h内持续上涨.表格记录了这5 h内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度.
水位高度y是时间t的函数吗?如果是,可以用哪些方法表示y与t之间的函数关系?
水位高度y是时间t的函数吗?如果是,可以用哪些方法表示y与t之间的函数关系?
答案
解：
对于$0≤ t≤5$范围内的每一个确定的时间$t$，都有唯一确定的水位高度$y$与之对应，因此水位高度$y$是时间$t$的函数。
可以用三种方法表示$y$与$t$之间的函数关系：
1. 列表法：即题中给出的表格，直接记录6个时间点对应的水位高度；
2. 解析式法：由数据可知初始水位为3m，每小时水位上涨0.5m，可得函数解析式为$y=0.5t+3$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤5$；
3. 图像法：在平面直角坐标系中，描出表格对应的6个点，用平滑的直线连接这些点，即可得到该函数的图像。
对于$0≤ t≤5$范围内的每一个确定的时间$t$，都有唯一确定的水位高度$y$与之对应，因此水位高度$y$是时间$t$的函数。
可以用三种方法表示$y$与$t$之间的函数关系：
1. 列表法：即题中给出的表格，直接记录6个时间点对应的水位高度；
2. 解析式法：由数据可知初始水位为3m，每小时水位上涨0.5m，可得函数解析式为$y=0.5t+3$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤5$；
3. 图像法：在平面直角坐标系中，描出表格对应的6个点，用平滑的直线连接这些点，即可得到该函数的图像。
解析
【分析】
首先判断y是否为t的函数，需依据函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量的每一个确定值，都有唯一确定的因变量值与之对应，则因变量是自变量的函数。观察表格数据，0≤t≤5范围内每个t都对应唯一的y值，可据此判断是否为函数。接下来思考函数的表示方法，我们所学的函数表示方法共有列表法、解析式法、图像法三类：题目给出的表格本身就是列表法；再观察数据规律，t每增加1，y增加0.5，初始值t=0时y=3，符合一次函数特征，可推导得到解析式；最后通过描点连线的方式即可用图像法表示该函数。
【解析】
第一步：判断是否为函数
在0≤ t≤5的范围内，每一个确定的时间t，都有唯一确定的水位高度y和它对应，满足函数的定义，因此水位高度y是时间t的函数。
第二步：梳理函数的表示方法
1. 列表法：题中给出的表格就是列表法的呈现，直接记录了6个时间点对应的水位高度；
2. 解析式法：由数据可知，初始水位（t=0时）为3m，每小时水位上涨0.5m，因此函数解析式为$y=0.5t+3$，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤5$；
3. 图像法：在平面直角坐标系中，以时间t为横坐标，水位高度y为纵坐标，描出表格对应的6个点，再用平滑直线连接这些点（t在0到5之间的部分），即可得到该函数的图像。
【答案】
水位高度y是时间t的函数。可以用三种方法表示y与t之间的函数关系：
1. 列表法：即题中给出的表格，直接记录6个时间点对应的水位高度；
2. 解析式法：由数据可知初始水位为3m，每小时水位上涨0.5m，可得函数解析式为$y=0.5t+3$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤5$；
3. 图像法：在平面直角坐标系中，描出表格对应的6个点，用平滑的直线连接这些点，即可得到该函数的图像。
【知识点】
函数的概念；函数的表示方法；一次函数解析式求解
【点评】
本题侧重考查基础概念的理解与应用，要求学生熟练掌握函数的判断依据，同时熟悉三种函数表示方法的特点，能够根据数据的变化规律推导简单的函数关系式。
【难度系数】
0.85
首先判断y是否为t的函数，需依据函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量的每一个确定值，都有唯一确定的因变量值与之对应，则因变量是自变量的函数。观察表格数据，0≤t≤5范围内每个t都对应唯一的y值，可据此判断是否为函数。接下来思考函数的表示方法，我们所学的函数表示方法共有列表法、解析式法、图像法三类：题目给出的表格本身就是列表法；再观察数据规律，t每增加1，y增加0.5，初始值t=0时y=3，符合一次函数特征，可推导得到解析式；最后通过描点连线的方式即可用图像法表示该函数。
【解析】
第一步：判断是否为函数
在0≤ t≤5的范围内，每一个确定的时间t，都有唯一确定的水位高度y和它对应，满足函数的定义，因此水位高度y是时间t的函数。
第二步：梳理函数的表示方法
1. 列表法：题中给出的表格就是列表法的呈现，直接记录了6个时间点对应的水位高度；
2. 解析式法：由数据可知，初始水位（t=0时）为3m，每小时水位上涨0.5m，因此函数解析式为$y=0.5t+3$，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤5$；
3. 图像法：在平面直角坐标系中，以时间t为横坐标，水位高度y为纵坐标，描出表格对应的6个点，再用平滑直线连接这些点（t在0到5之间的部分），即可得到该函数的图像。
【答案】
水位高度y是时间t的函数。可以用三种方法表示y与t之间的函数关系：
1. 列表法：即题中给出的表格，直接记录6个时间点对应的水位高度；
2. 解析式法：由数据可知初始水位为3m，每小时水位上涨0.5m，可得函数解析式为$y=0.5t+3$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤5$；
3. 图像法：在平面直角坐标系中，描出表格对应的6个点，用平滑的直线连接这些点，即可得到该函数的图像。
【知识点】
函数的概念；函数的表示方法；一次函数解析式求解
【点评】
本题侧重考查基础概念的理解与应用，要求学生熟练掌握函数的判断依据，同时熟悉三种函数表示方法的特点，能够根据数据的变化规律推导简单的函数关系式。
【难度系数】
0.85
例 为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位、分段计费的方法收费，每个月收取水费$y$元与用水量$x$ t之间的关系如图5-2.
（1）每月用水量不超过10 t，每吨收费元；每月用水量超过10 t，超过部分按每吨元收费.
（2）小明家三月份缴水费30.5元，小明家三月份用水多少吨？
（1）每月用水量不超过10 t，每吨收费元；每月用水量超过10 t，超过部分按每吨元收费.
（2）小明家三月份缴水费30.5元，小明家三月份用水多少吨？
答案
解：
(1) 每月用水量不超过10 t时，每吨收费：$20÷10=2$ 元；
每月用水量超过10 t时，超过部分每吨收费：$(50-20)÷(20-10)=3$ 元。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$。
(2) 因为$30.5＞20$，所以小明家三月份用水量超过10 t。
设小明家三月份用水$x$ t，根据题意列方程：
$2×10 + 3(x-10) = 30.5$
整理得：
$3x - 10 = 30.5$
解得：
$x = 13.5$
答：小明家三月份用水13.5吨。
(1) 每月用水量不超过10 t时，每吨收费：$20÷10=2$ 元；
每月用水量超过10 t时，超过部分每吨收费：$(50-20)÷(20-10)=3$ 元。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$。
(2) 因为$30.5＞20$，所以小明家三月份用水量超过10 t。
设小明家三月份用水$x$ t，根据题意列方程：
$2×10 + 3(x-10) = 30.5$
整理得：
$3x - 10 = 30.5$
解得：
$x = 13.5$
答：小明家三月份用水13.5吨。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先观察函数图像：用水量不超过10t时，10t水对应的总水费是20元，根据“单价=总价÷数量”即可求出该段的每吨收费；用水量超过10t时，取10t到20t这一段的水量差和费用差，用超出部分的总费用除以超出的水量，就能得到超过部分的每吨收费。
（2）解决第二问时，先对比30.5元和10t水的费用20元的大小，判断出用水量超过10t，因此水费分为两部分计算：前10t按2元/吨收费，超出10t的部分按3元/吨收费，设总用水量为x t，根据总费用列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 每月用水量不超过10 t时，每吨收费为：$20÷10=2$（元）；
每月用水量超过10 t时，超出的水量为$20-10=10$（t），对应超出的费用为$50-20=30$（元），因此超过部分每吨收费为：$30÷10=3$（元）。
(2) 因为$30.5＞20$，所以小明家三月份用水量超过10 t。
设小明家三月份用水$x$ t，根据题意列方程：
$2×10 + 3(x-10) = 30.5$
整理得：$20 + 3x - 30 = 30.5$，即$3x - 10 = 30.5$
解得：$x = 13.5$
答：小明家三月份用水13.5吨。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$
（2）$\boldsymbol{13.5}$吨
【知识点】
分段计费问题；函数图像的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际考查分段计费类问题，解题的核心是读懂函数图像每一段代表的实际含义，先求出不同用水区间的收费标准，再根据缴费金额判断用水量所属的区间，进而列式或列方程计算即可，解题思路清晰，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先观察函数图像：用水量不超过10t时，10t水对应的总水费是20元，根据“单价=总价÷数量”即可求出该段的每吨收费；用水量超过10t时，取10t到20t这一段的水量差和费用差，用超出部分的总费用除以超出的水量，就能得到超过部分的每吨收费。
（2）解决第二问时，先对比30.5元和10t水的费用20元的大小，判断出用水量超过10t，因此水费分为两部分计算：前10t按2元/吨收费，超出10t的部分按3元/吨收费，设总用水量为x t，根据总费用列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 每月用水量不超过10 t时，每吨收费为：$20÷10=2$（元）；
每月用水量超过10 t时，超出的水量为$20-10=10$（t），对应超出的费用为$50-20=30$（元），因此超过部分每吨收费为：$30÷10=3$（元）。
(2) 因为$30.5＞20$，所以小明家三月份用水量超过10 t。
设小明家三月份用水$x$ t，根据题意列方程：
$2×10 + 3(x-10) = 30.5$
整理得：$20 + 3x - 30 = 30.5$，即$3x - 10 = 30.5$
解得：$x = 13.5$
答：小明家三月份用水13.5吨。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$
（2）$\boldsymbol{13.5}$吨
【知识点】
分段计费问题；函数图像的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际考查分段计费类问题，解题的核心是读懂函数图像每一段代表的实际含义，先求出不同用水区间的收费标准，再根据缴费金额判断用水量所属的区间，进而列式或列方程计算即可，解题思路清晰，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7
