登录
(1) 按如图所示的运算程序输入一个实数x,便可以输出一个相应的y,y关于x的函数表达式是,已知输出的值为－28,那么输入的数值是.
[第1(1)题]
[第1(2)题]
[第1(1)题]
[第1(2)题]
答案
$y=7x-21$；$-1$
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先读懂运算程序的运算顺序：输入x后，先计算x减3的差，再将差乘7得到输出的y，按照这个运算顺序就能写出y关于x的函数表达式；第二步，已知输出的y值为-28，属于已知函数值求自变量的问题，只需将y=-28代入已求出的函数表达式，解一元一次方程就能得到输入的x值。
【解析】
1. 求y关于x的函数表达式：
根据运算程序，运算顺序为先算x与3的差，再将差乘7，因此：
$ y = 7(x - 3) $
展开整理得：$ y = 7x - 21 $
2. 求输出y=-28时的输入x：
将$ y=-28 $代入$ y=7x - 21 $，可得：
$ 7x - 21 = -28 $
移项计算得：$ 7x = -28 + 21 $
即$ 7x = -7 $
系数化为1得：$ x=-1 $
【答案】
$ y=7x-21 $；$-1$
【知识点】
函数解析式确定，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对运算程序的理解和函数相关概念的简单应用，只要准确梳理运算顺序，熟练掌握一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步，先读懂运算程序的运算顺序：输入x后，先计算x减3的差，再将差乘7得到输出的y，按照这个运算顺序就能写出y关于x的函数表达式；第二步，已知输出的y值为-28，属于已知函数值求自变量的问题，只需将y=-28代入已求出的函数表达式，解一元一次方程就能得到输入的x值。
【解析】
1. 求y关于x的函数表达式：
根据运算程序，运算顺序为先算x与3的差，再将差乘7，因此：
$ y = 7(x - 3) $
展开整理得：$ y = 7x - 21 $
2. 求输出y=-28时的输入x：
将$ y=-28 $代入$ y=7x - 21 $，可得：
$ 7x - 21 = -28 $
移项计算得：$ 7x = -28 + 21 $
即$ 7x = -7 $
系数化为1得：$ x=-1 $
【答案】
$ y=7x-21 $；$-1$
【知识点】
函数解析式确定，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对运算程序的理解和函数相关概念的简单应用，只要准确梳理运算顺序，熟练掌握一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
(2) 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$. ① 已知$∠ A=30°$,则$∠ B=$; ② 用$x°$表示$∠ A$的度数,用$y°$表示$∠ B$的度数,则$y=$,其中,自变量$x$的取值范围是.
答案
解：
① 在△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和为180°，得
∠B=180°-90°-∠A=180°-90°-30°=60°
② 由题意得：$x + y + 90 = 180$，整理得$y=90 - x$
∠A是直角三角形的锐角，因此自变量$x$的取值范围是$0＜x＜90$
答案依次为：$\boldsymbol{60°}$；$\boldsymbol{90 - x}$；$\boldsymbol{0＜x＜90}$
① 在△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和为180°，得
∠B=180°-90°-∠A=180°-90°-30°=60°
② 由题意得：$x + y + 90 = 180$，整理得$y=90 - x$
∠A是直角三角形的锐角，因此自变量$x$的取值范围是$0＜x＜90$
答案依次为：$\boldsymbol{60°}$；$\boldsymbol{90 - x}$；$\boldsymbol{0＜x＜90}$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：① 已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，结合三角形内角和为180°的性质，用内角和减去已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数；② 同样利用三角形内角和定理，将∠A、∠B的度数用x、y代替，列等式整理即可得到y与x的关系式；再结合∠A是直角三角形的锐角，其度数必须大于0°且小于90°，即可确定自变量x的取值范围。
【解析】
① 在△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - ∠ C - ∠ A = 180° - 90° - 30° = 60°$
② 由三角形内角和定理可得：$x + y + 90 = 180$，整理得$y = 90 - x$；
由于∠A是直角三角形的锐角，因此x的取值范围是$0＜x＜90$。
【答案】
$60°$；$90 - x$；$0＜x＜90$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形性质；自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，将几何角度计算与函数基础概念相结合，既考查了三角形内角和的运用，也考查了结合实际几何意义确定自变量取值范围的能力，熟练掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路清晰：① 已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，结合三角形内角和为180°的性质，用内角和减去已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数；② 同样利用三角形内角和定理，将∠A、∠B的度数用x、y代替，列等式整理即可得到y与x的关系式；再结合∠A是直角三角形的锐角，其度数必须大于0°且小于90°，即可确定自变量x的取值范围。
【解析】
① 在△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - ∠ C - ∠ A = 180° - 90° - 30° = 60°$
② 由三角形内角和定理可得：$x + y + 90 = 180$，整理得$y = 90 - x$；
由于∠A是直角三角形的锐角，因此x的取值范围是$0＜x＜90$。
【答案】
$60°$；$90 - x$；$0＜x＜90$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形性质；自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，将几何角度计算与函数基础概念相结合，既考查了三角形内角和的运用，也考查了结合实际几何意义确定自变量取值范围的能力，熟练掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 写出下列问题中的函数表达式及自变量的取值范围：
（1）某市的民用电费标准为0.52元/(kW·h)，求电费y元关于用电量x kW·h的函数表达式。
（2）已知一等腰三角形的面积为20 cm².设它的底边长为x cm，求底边上的高y cm关于x的函数表达式。
（1）某市的民用电费标准为0.52元/(kW·h)，求电费y元关于用电量x kW·h的函数表达式。
（2）已知一等腰三角形的面积为20 cm².设它的底边长为x cm，求底边上的高y cm关于x的函数表达式。
答案
解：
(1) 由电费等于单价乘以用电量，可得函数表达式为：
$y = 0.52x$
用电量非负，自变量的取值范围是$x ≥ 0$。
(2) 根据三角形面积公式，得$\frac{1}{2}xy = 20$，整理得函数表达式为：
$y = \frac{40}{x}$
三角形底边长为正数，自变量的取值范围是$x ＞ 0$。
(1) 由电费等于单价乘以用电量，可得函数表达式为：
$y = 0.52x$
用电量非负，自变量的取值范围是$x ≥ 0$。
(2) 根据三角形面积公式，得$\frac{1}{2}xy = 20$，整理得函数表达式为：
$y = \frac{40}{x}$
三角形底边长为正数，自变量的取值范围是$x ＞ 0$。
解析
【分析】
解决这类问题首先要找准题目中的等量关系，先根据等量关系列出含自变量和因变量的等式，再变形为用自变量表示因变量的函数形式；接下来结合实际问题的意义，判断自变量的取值不能违背现实情况，据此确定自变量的取值范围。具体到两小问：（1）电费的计算等量关系是“电费=电价×用电量”，用电量不可能为负数，所以x非负；（2）三角形面积的等量关系是“三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高”，三角形的底边长是正数，所以x大于0。
【解析】
（1）根据“电费=每千瓦时电费价格×用电量”，已知电价为0.52元/(kW·h)，代入得：
$y = 0.52x$
由于用电量不可能为负数，因此自变量x的取值范围是$x ≥ 0$。
（2）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知面积$S=20\mathrm{cm}^2$，底边长为$x\ \mathrm{cm}$，高为$y\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{1}{2}xy = 20$
整理等式，两边同时乘2再除以x，得：$y=\frac{40}{x}$
由于三角形的底边长为正数，因此自变量x的取值范围是$x ＞ 0$。
【答案】
（1）$y=0.52x$（$x≥0$）；（2）$y=\frac{40}{x}$（$x＞0$）
【知识点】
实际问题函数建模，自变量取值范围，三角形面积公式
【点评】
本题是函数的基础应用类题目，解题核心是找准对应等量关系列函数式，需要注意的是实际问题中自变量的取值范围不能仅考虑代数式有意义，还要符合现实场景的要求。
【难度系数】
0.85
解决这类问题首先要找准题目中的等量关系，先根据等量关系列出含自变量和因变量的等式，再变形为用自变量表示因变量的函数形式；接下来结合实际问题的意义，判断自变量的取值不能违背现实情况，据此确定自变量的取值范围。具体到两小问：（1）电费的计算等量关系是“电费=电价×用电量”，用电量不可能为负数，所以x非负；（2）三角形面积的等量关系是“三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高”，三角形的底边长是正数，所以x大于0。
【解析】
（1）根据“电费=每千瓦时电费价格×用电量”，已知电价为0.52元/(kW·h)，代入得：
$y = 0.52x$
由于用电量不可能为负数，因此自变量x的取值范围是$x ≥ 0$。
（2）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知面积$S=20\mathrm{cm}^2$，底边长为$x\ \mathrm{cm}$，高为$y\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{1}{2}xy = 20$
整理等式，两边同时乘2再除以x，得：$y=\frac{40}{x}$
由于三角形的底边长为正数，因此自变量x的取值范围是$x ＞ 0$。
【答案】
（1）$y=0.52x$（$x≥0$）；（2）$y=\frac{40}{x}$（$x＞0$）
【知识点】
实际问题函数建模，自变量取值范围，三角形面积公式
【点评】
本题是函数的基础应用类题目，解题核心是找准对应等量关系列函数式，需要注意的是实际问题中自变量的取值范围不能仅考虑代数式有意义，还要符合现实场景的要求。
【难度系数】
0.85
3. 一支20 cm长的蜡烛点燃后，每小时燃烧5 cm. 在下图中，哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h cm与点燃时间t h之间的函数关系？请说明理由.
答案
解：
由题意可得，剩下的长度h与点燃时间t的函数关系式为：
$h=20-5t$
其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤4$。
当$t=0$时，$h=20$；当$t=4$时，$h=0$。
图①中蜡烛剩余长度始终为20cm，不符合蜡烛燃烧后长度逐渐减小的实际规律；
图②中h从0开始逐渐增大，与蜡烛初始长度为20cm、燃烧后长度不断减小的事实矛盾；
图③是连接$(0,20)$和$(4,0)$的线段，完全符合上述函数的特征。
因此第③幅图象能大致刻画这支蜡烛点燃后剩下的长度h与点燃时间t之间的函数关系。
由题意可得，剩下的长度h与点燃时间t的函数关系式为：
$h=20-5t$
其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤4$。
当$t=0$时，$h=20$；当$t=4$时，$h=0$。
图①中蜡烛剩余长度始终为20cm，不符合蜡烛燃烧后长度逐渐减小的实际规律；
图②中h从0开始逐渐增大，与蜡烛初始长度为20cm、燃烧后长度不断减小的事实矛盾；
图③是连接$(0,20)$和$(4,0)$的线段，完全符合上述函数的特征。
因此第③幅图象能大致刻画这支蜡烛点燃后剩下的长度h与点燃时间t之间的函数关系。
解析
【分析】
首先明确问题是判断剩余蜡烛长度h与燃烧时间t的对应函数图象，解题思路如下：第一步根据题意推导二者的函数关系：蜡烛初始长度为20cm，每小时燃烧5cm，因此t小时燃烧的长度为5t，剩余长度h=总长度-已燃烧长度，即可得到函数解析式；第二步结合实际意义确定自变量t的取值范围：t不能为负数，且蜡烛烧完就停止燃烧，即h≥0，可求出t的取值区间；第三步分析三个图象的起点、变化趋势、终点特征，和我们推导的函数特征逐一比对，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
由题意可得，剩下的长度h与点燃时间t的函数关系式为：
$h=20-5t$
结合实际意义，蜡烛燃烧时间不能为负，且最多燃烧至蜡烛燃尽，因此自变量t的取值范围是$0≤ t≤4$。
代入端点值可得：当$t=0$时，$h=20$；当$t=4$时，$h=0$。
逐一分析三幅图象：
图①中蜡烛剩余长度始终为20cm，不符合蜡烛燃烧后长度逐渐减小的实际规律，排除；
图②中h从0开始逐渐增大，与蜡烛初始长度为20cm、燃烧后长度不断减小的事实矛盾，排除；
图③是连接$(0,20)$和$(4,0)$的线段，完全符合上述函数的特征。
【答案】
第③幅图象能大致刻画这支蜡烛点燃后剩下的长度h与点燃时间t之间的函数关系，理由：剩余长度h与点燃时间t的函数关系式为$h=20-5t(0≤t≤4)$，其图象是连接点$(0,20)$和$(4,0)$的线段，与图③特征一致。
【知识点】
函数的表示方法；一次函数实际应用；自变量取值范围
【点评】
本题结合生活中的燃烧场景，考查学生将实际问题抽象为函数模型、结合图象特征分析判断的能力，解题时要注意结合实际意义确定函数的定义域，不能仅从解析式出发忽略实际限制。
【难度系数】
0.8
首先明确问题是判断剩余蜡烛长度h与燃烧时间t的对应函数图象，解题思路如下：第一步根据题意推导二者的函数关系：蜡烛初始长度为20cm，每小时燃烧5cm，因此t小时燃烧的长度为5t，剩余长度h=总长度-已燃烧长度，即可得到函数解析式；第二步结合实际意义确定自变量t的取值范围：t不能为负数，且蜡烛烧完就停止燃烧，即h≥0，可求出t的取值区间；第三步分析三个图象的起点、变化趋势、终点特征，和我们推导的函数特征逐一比对，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
由题意可得，剩下的长度h与点燃时间t的函数关系式为：
$h=20-5t$
结合实际意义，蜡烛燃烧时间不能为负，且最多燃烧至蜡烛燃尽，因此自变量t的取值范围是$0≤ t≤4$。
代入端点值可得：当$t=0$时，$h=20$；当$t=4$时，$h=0$。
逐一分析三幅图象：
图①中蜡烛剩余长度始终为20cm，不符合蜡烛燃烧后长度逐渐减小的实际规律，排除；
图②中h从0开始逐渐增大，与蜡烛初始长度为20cm、燃烧后长度不断减小的事实矛盾，排除；
图③是连接$(0,20)$和$(4,0)$的线段，完全符合上述函数的特征。
【答案】
第③幅图象能大致刻画这支蜡烛点燃后剩下的长度h与点燃时间t之间的函数关系，理由：剩余长度h与点燃时间t的函数关系式为$h=20-5t(0≤t≤4)$，其图象是连接点$(0,20)$和$(4,0)$的线段，与图③特征一致。
【知识点】
函数的表示方法；一次函数实际应用；自变量取值范围
【点评】
本题结合生活中的燃烧场景，考查学生将实际问题抽象为函数模型、结合图象特征分析判断的能力，解题时要注意结合实际意义确定函数的定义域，不能仅从解析式出发忽略实际限制。
【难度系数】
0.8
