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3. 求下列函数中自变量$x$的取值范围：
(1) $y=2x+1$；
(2) $y=\frac{1}{x}$；
(3) $y=\sqrt{x-1}$。
(1) $y=2x+1$；
(2) $y=\frac{1}{x}$；
(3) $y=\sqrt{x-1}$。
答案
解：
(1) 函数$y=2x+1$为整式，自变量$x$的取值范围是全体实数。
(2) 函数$y=\frac{1}{x}$为分式，分母不能为0，即$x≠0$，自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
(3) 函数$y=\sqrt{x-1}$为二次根式，被开方数需满足非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$，自变量$x$的取值范围是$x≥1$。
(1) 函数$y=2x+1$为整式，自变量$x$的取值范围是全体实数。
(2) 函数$y=\frac{1}{x}$为分式，分母不能为0，即$x≠0$，自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
(3) 函数$y=\sqrt{x-1}$为二次根式，被开方数需满足非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$，自变量$x$的取值范围是$x≥1$。
解析
【分析】
求解函数自变量的取值范围，需结合函数表达式的类型确定对应的限制规则：①若表达式为整式，自变量无特殊限制，可取全体实数；②若表达式为分式，需满足分母不为0；③若表达式含二次根式，需满足被开方数为非负数。我们依次判断三个小题的表达式类型，套用对应规则计算即可。
【解析】
(1) 函数$y=2x+1$为整式，无额外限制条件，自变量$x$的取值范围是全体实数；
(2) 函数$y=\frac{1}{x}$为分式，根据分式有意义的要求，分母不能为0，即$x≠0$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠0$；
(3) 函数$y=\sqrt{x-1}$为二次根式，根据二次根式有意义的要求，被开方数需非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$，因此自变量$x$的取值范围是$x≥1$。
【答案】
(1) 全体实数；
(2) $x≠0$；
(3) $x≥1$
【知识点】
函数自变量取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础题型，核心是掌握不同形式代数式的有意义条件，是后续学习函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
求解函数自变量的取值范围，需结合函数表达式的类型确定对应的限制规则：①若表达式为整式，自变量无特殊限制，可取全体实数；②若表达式为分式，需满足分母不为0；③若表达式含二次根式，需满足被开方数为非负数。我们依次判断三个小题的表达式类型，套用对应规则计算即可。
【解析】
(1) 函数$y=2x+1$为整式，无额外限制条件，自变量$x$的取值范围是全体实数；
(2) 函数$y=\frac{1}{x}$为分式，根据分式有意义的要求，分母不能为0，即$x≠0$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠0$；
(3) 函数$y=\sqrt{x-1}$为二次根式，根据二次根式有意义的要求，被开方数需非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$，因此自变量$x$的取值范围是$x≥1$。
【答案】
(1) 全体实数；
(2) $x≠0$；
(3) $x≥1$
【知识点】
函数自变量取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础题型，核心是掌握不同形式代数式的有意义条件，是后续学习函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
4. 如图,对于某一天每一个确定的时刻,是否都能相应地确定一个温度?哪个变量是另一个变量的函数? 
（第4题）
（第4题）答案
解：对于某一天每一个确定的时刻，都能相应地确定一个唯一的温度。
在这个变化过程中，有两个变量时间t和温度T，对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与之对应，因此温度T是时间t的函数。
在这个变化过程中，有两个变量时间t和温度T，对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与之对应，因此温度T是时间t的函数。
解析
【分析】
解题时首先回忆函数的核心定义：一个变化过程中，若两个变量x、y满足对x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。首先观察本题的温度-时间图像，先判断每个确定的时间t对应的温度T是否唯一，即可解答第一个问题；再对照函数定义，判断哪个变量符合“对另一个变量的每个确定值有唯一对应值”，就能得出函数关系。
【解析】
1. 观察图像可知，任意取一个确定的时刻t，图像上仅有唯一的点与之对应，即对应唯一的温度值，因此每一个确定的时刻，都能相应地确定一个唯一的温度。
2. 该变化过程存在两个变量：时间t和温度T，对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义要求。
【答案】
对于某一天每一个确定的时刻，都能相应地确定一个唯一的温度。在这个变化过程中，有两个变量时间t和温度T，对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与之对应，因此温度T是时间t的函数。
【知识点】
函数的概念，函数的判定
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题关键是抓住函数定义中“自变量每取一个确定值，因变量有唯一值与之对应”的核心特征，结合图像可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆函数的核心定义：一个变化过程中，若两个变量x、y满足对x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。首先观察本题的温度-时间图像，先判断每个确定的时间t对应的温度T是否唯一，即可解答第一个问题；再对照函数定义，判断哪个变量符合“对另一个变量的每个确定值有唯一对应值”，就能得出函数关系。
【解析】
1. 观察图像可知，任意取一个确定的时刻t，图像上仅有唯一的点与之对应，即对应唯一的温度值，因此每一个确定的时刻，都能相应地确定一个唯一的温度。
2. 该变化过程存在两个变量：时间t和温度T，对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义要求。
【答案】
对于某一天每一个确定的时刻，都能相应地确定一个唯一的温度。在这个变化过程中，有两个变量时间t和温度T，对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与之对应，因此温度T是时间t的函数。
【知识点】
函数的概念，函数的判定
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题关键是抓住函数定义中“自变量每取一个确定值，因变量有唯一值与之对应”的核心特征，结合图像可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.85
5. 在国内投寄平信应付邮资如下表.
(1) y是关于x的函数吗？为什么？
(2) 当x=5,10,30,50时，分别求函数值，并说明它们的实际意义.
(1) y是关于x的函数吗？为什么？
(2) 当x=5,10,30,50时，分别求函数值，并说明它们的实际意义.
答案
解：
(1) y是关于x的函数。
理由：在信件质量x的取值范围$0＜x≤60$内，对于x的每一个确定的值，邮资y都有唯一确定的值与之对应，符合函数的概念，因此y是关于x的函数。
(2) 当$x=5$时，$y=1.20$，实际意义：质量为5g的平信应付邮资1.20元；
当$x=10$时，$y=1.20$，实际意义：质量为10g的平信应付邮资1.20元；
当$x=30$时，$y=2.40$，实际意义：质量为30g的平信应付邮资2.40元；
当$x=50$时，$y=3.60$，实际意义：质量为50g的平信应付邮资3.60元。
(1) y是关于x的函数。
理由：在信件质量x的取值范围$0＜x≤60$内，对于x的每一个确定的值，邮资y都有唯一确定的值与之对应，符合函数的概念，因此y是关于x的函数。
(2) 当$x=5$时，$y=1.20$，实际意义：质量为5g的平信应付邮资1.20元；
当$x=10$时，$y=1.20$，实际意义：质量为10g的平信应付邮资1.20元；
当$x=30$时，$y=2.40$，实际意义：质量为30g的平信应付邮资2.40元；
当$x=50$时，$y=3.60$，实际意义：质量为50g的平信应付邮资3.60元。
解析
【分析】
(1) 判断y是否为x的函数，需依据函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们只需验证表格中x的取值范围内，每个确定的x是否对应唯一的y即可。
(2) 求不同x对应的函数值，只需将x的值匹配到表格对应的质量区间，找到区间对应的邮资y值即可，其实际意义就是对应质量的平信需要支付的邮资金额。
【解析】
(1) 先根据函数定义判断：在信件质量x的取值范围$0＜x≤60$内，对于x的每一个确定的值，邮资y都有唯一确定的值和它对应，因此满足函数的定义。
(2) 分别代入对应区间求解：
①$x=5$属于$0＜x≤20$区间，对应邮资为1.20元；
②$x=10$属于$0＜x≤20$区间，对应邮资为1.20元；
③$x=30$属于$20＜x≤40$区间，对应邮资为2.40元；
④$x=50$属于$40＜x≤60$区间，对应邮资为3.60元。
【答案】
(1) y是关于x的函数。理由：在信件质量x的取值范围$0＜x≤60$内，对于x的每一个确定的值，邮资y都有唯一确定的值与之对应，符合函数的概念，因此y是关于x的函数。
(2) 当$x=5$时，$y=1.20$，实际意义：质量为5g的平信应付邮资1.20元；
当$x=10$时，$y=1.20$，实际意义：质量为10g的平信应付邮资1.20元；
当$x=30$时，$y=2.40$，实际意义：质量为30g的平信应付邮资2.40元；
当$x=50$时，$y=3.60$，实际意义：质量为50g的平信应付邮资3.60元。
【知识点】
函数的概念、求函数值
【点评】
本题结合生活中平信邮资的收费场景出题，既考查对函数核心定义的理解，又考查从表格中提取对应信息的能力，解题关键是掌握函数定义中“唯一对应”的特征。
【难度系数】
0.8
(1) 判断y是否为x的函数，需依据函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们只需验证表格中x的取值范围内，每个确定的x是否对应唯一的y即可。
(2) 求不同x对应的函数值，只需将x的值匹配到表格对应的质量区间，找到区间对应的邮资y值即可，其实际意义就是对应质量的平信需要支付的邮资金额。
【解析】
(1) 先根据函数定义判断：在信件质量x的取值范围$0＜x≤60$内，对于x的每一个确定的值，邮资y都有唯一确定的值和它对应，因此满足函数的定义。
(2) 分别代入对应区间求解：
①$x=5$属于$0＜x≤20$区间，对应邮资为1.20元；
②$x=10$属于$0＜x≤20$区间，对应邮资为1.20元；
③$x=30$属于$20＜x≤40$区间，对应邮资为2.40元；
④$x=50$属于$40＜x≤60$区间，对应邮资为3.60元。
【答案】
(1) y是关于x的函数。理由：在信件质量x的取值范围$0＜x≤60$内，对于x的每一个确定的值，邮资y都有唯一确定的值与之对应，符合函数的概念，因此y是关于x的函数。
(2) 当$x=5$时，$y=1.20$，实际意义：质量为5g的平信应付邮资1.20元；
当$x=10$时，$y=1.20$，实际意义：质量为10g的平信应付邮资1.20元；
当$x=30$时，$y=2.40$，实际意义：质量为30g的平信应付邮资2.40元；
当$x=50$时，$y=3.60$，实际意义：质量为50g的平信应付邮资3.60元。
【知识点】
函数的概念、求函数值
【点评】
本题结合生活中平信邮资的收费场景出题，既考查对函数核心定义的理解，又考查从表格中提取对应信息的能力，解题关键是掌握函数定义中“唯一对应”的特征。
【难度系数】
0.8
6. 如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,边CA和边MN在一条直线上,点A与点M重合.△ABC沿MN方向运动,当点A与点N重合时停止运动.运动中两个图形重叠部分的面积为y cm²,MA的长度为x cm,用含x的式子表示y,并写出x的取值范围.
答案
解：
由题意可知，重叠部分为等腰直角三角形，其两条直角边的长度均等于MA的长度x cm。
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2}· x· x=\frac{1}{2}x^2$
结合运动过程，x的取值范围是$0≤ x≤10$。
由题意可知，重叠部分为等腰直角三角形，其两条直角边的长度均等于MA的长度x cm。
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2}· x· x=\frac{1}{2}x^2$
结合运动过程，x的取值范围是$0≤ x≤10$。
解析
【分析】
解题时首先分析运动过程中重叠部分的图形形状：已知△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此重叠部分的三角形有一个直角、一个45°角，是等腰直角三角形，且它的直角边长等于MA的长度x cm；接下来回忆等腰直角三角形的面积公式，代入边长即可得到y与x的关系式；最后根据运动的起止状态确定x的取值范围：运动开始时点A与M重合，x=0，运动停止时点A与N重合，MN长10cm，因此x最大为10。
【解析】
由题意可知，重叠部分为等腰直角三角形，其两条直角边的长度均等于MA的长度x cm。
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2}· x· x=\frac{1}{2}x^2$
结合运动过程，x的取值范围是$0≤ x≤10$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x^2（0≤x≤10）$
【知识点】
函数解析式确定，等腰直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于动态几何与函数结合的基础题，解题关键是准确判断运动过程中重叠部分的图形形状，结合几何性质找到两个变量之间的数量关系，同时要注意结合实际运动过程确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先分析运动过程中重叠部分的图形形状：已知△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此重叠部分的三角形有一个直角、一个45°角，是等腰直角三角形，且它的直角边长等于MA的长度x cm；接下来回忆等腰直角三角形的面积公式，代入边长即可得到y与x的关系式；最后根据运动的起止状态确定x的取值范围：运动开始时点A与M重合，x=0，运动停止时点A与N重合，MN长10cm，因此x最大为10。
【解析】
由题意可知，重叠部分为等腰直角三角形，其两条直角边的长度均等于MA的长度x cm。
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2}· x· x=\frac{1}{2}x^2$
结合运动过程，x的取值范围是$0≤ x≤10$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x^2（0≤x≤10）$
【知识点】
函数解析式确定，等腰直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于动态几何与函数结合的基础题，解题关键是准确判断运动过程中重叠部分的图形形状，结合几何性质找到两个变量之间的数量关系，同时要注意结合实际运动过程确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
