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1.如图,点A,B,C都在$\odot O$上,$∠ AOB=100°,∠ C$的度数是 (
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
（第1题图）
（第2题图）
B
)A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形和已知条件：已知圆心角∠AOB的度数，求圆周角∠C的度数。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。接下来判断两个角所对的弧：∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，二者对应同一段弧，因此直接套用圆周角定理计算即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
代入∠AOB=100°得：$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟记定理即可快速求解，是圆相关概念中的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形和已知条件：已知圆心角∠AOB的度数，求圆周角∠C的度数。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。接下来判断两个角所对的弧：∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，二者对应同一段弧，因此直接套用圆周角定理计算即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
代入∠AOB=100°得：$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟记定理即可快速求解，是圆相关概念中的常考基础题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，A，B，C是$\odot O$上的点，BC是$\odot O$的直径，在BA的延长线上取一点D，使$AD=AC$，连接CD，则$∠ ACD$的度数是（
A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
C
）A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先识别图形特征：BC是圆的直径，根据圆周角定理可直接得到直径所对的圆周角∠BAC为直角，进而求出其邻补角∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，可知△ACD为等腰直角三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAC=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴$∠ CAD=180°-∠ BAC=90°$，
又
∵$AD=AC$，
∴$△ ACD$是等腰直角三角形，
∴$∠ ACD=\frac{180°-∠ CAD}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，再结合等腰三角形的角度计算规则即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解题时先识别图形特征：BC是圆的直径，根据圆周角定理可直接得到直径所对的圆周角∠BAC为直角，进而求出其邻补角∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，可知△ACD为等腰直角三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAC=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴$∠ CAD=180°-∠ BAC=90°$，
又
∵$AD=AC$，
∴$△ ACD$是等腰直角三角形，
∴$∠ ACD=\frac{180°-∠ CAD}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，再结合等腰三角形的角度计算规则即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
3.如图,点A,B,C,D都在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,则AD=
(第3题图)
(第4题图)
$2\sqrt{21}$
.(第3题图)
(第4题图)
答案
3. $2\sqrt{21}$
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，得到∠ABC=90°；再根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，推出AC是该圆的直径；再根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC=90°，最后在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ AB=8，BC=6，AC=10，
∴ $AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100 = AC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°。
∵ 点A、B、C、D都在圆上，∠ABC=90°，
∴ AC是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，AC=10，CD=4，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$。
【答案】
$2\sqrt{21}$
【知识点】
勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是通过三角形三边的长度关系判断出圆的直径，再结合圆周角的性质构造直角三角形求解，需要学生熟练掌握勾股定理和圆周角相关的性质定理。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，得到∠ABC=90°；再根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，推出AC是该圆的直径；再根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC=90°，最后在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ AB=8，BC=6，AC=10，
∴ $AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100 = AC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°。
∵ 点A、B、C、D都在圆上，∠ABC=90°，
∴ AC是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，AC=10，CD=4，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$。
【答案】
$2\sqrt{21}$
【知识点】
勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是通过三角形三边的长度关系判断出圆的直径，再结合圆周角的性质构造直角三角形求解，需要学生熟练掌握勾股定理和圆周角相关的性质定理。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点.若$∠ CAB=50°$，则$∠ D$的度数为
$40°$
.答案
4. $40°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB是$\odot O$的直径入手，根据直径所对的圆周角为直角，可连接BC构造直角三角形ACB；已知$∠ CAB$的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出$∠ ABC$的度数；最后观察$∠ D$与$∠ ABC$的位置关系，二者都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB=50°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-50°=40°$，
∵$∠ D$和$∠ ABC$都是弧AC所对的圆周角，
∴$∠ D=∠ ABC=40°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是熟练掌握直径与圆周角的关系、同弧圆周角的性质，通过构造辅助线得到直角三角形即可快速求解，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AB是$\odot O$的直径入手，根据直径所对的圆周角为直角，可连接BC构造直角三角形ACB；已知$∠ CAB$的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出$∠ ABC$的度数；最后观察$∠ D$与$∠ ABC$的位置关系，二者都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB=50°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-50°=40°$，
∵$∠ D$和$∠ ABC$都是弧AC所对的圆周角，
∴$∠ D=∠ ABC=40°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是熟练掌握直径与圆周角的关系、同弧圆周角的性质，通过构造辅助线得到直角三角形即可快速求解，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
5. 如图，CD是$\odot O$的直径，点A，B都在$\odot O$上. 若$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC = 32°$，则$∠ D$的度数是________。
（第5题图）
（第6题图）
（第5题图）（第6题图）
答案
$16°$
解析
【分析】
解题时先从已知的等弧条件入手，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可先求出∠BOC的度数；再观察所求的∠D是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，对应圆心角是∠BOC，结合圆周角定理就能计算出∠D的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOC = 32°$（同圆中等弧所对的圆心角相等）。
又$\because ∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ D = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 32° = 16°$（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）。
【答案】
$16°$
【知识点】
等弧的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是找准圆周角对应的圆心角，结合等弧的性质推导相关角度，熟练掌握圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的等弧条件入手，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可先求出∠BOC的度数；再观察所求的∠D是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，对应圆心角是∠BOC，结合圆周角定理就能计算出∠D的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOC = 32°$（同圆中等弧所对的圆心角相等）。
又$\because ∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ D = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 32° = 16°$（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）。
【答案】
$16°$
【知识点】
等弧的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是找准圆周角对应的圆心角，结合等弧的性质推导相关角度，熟练掌握圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，BA平分$∠ CBD$.若$∠ AOD=50°$，则$∠ A$的度数为
$65°$
.答案
6. $65°$
解析
【分析】
解题时先从已知的圆心角∠AOD出发，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出圆周角∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角，在直角三角形ACB中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 求∠ABD的度数：
同弧AD所对的圆周角是∠ABD，圆心角是∠AOD，根据圆周角定理可得：
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$
2. 求∠ABC的度数：
∵BA平分$∠CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$
3. 求∠A的度数：
∵AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴$∠ ACB=90°$，
在$Rt△ ACB$中，两锐角互余，因此：
$∠ CAB=90°-∠ ABC=90°-25°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的基础性质和三角形的基础性质，解题的核心是熟练掌握圆心角与圆周角的关系、直径对应的圆周角为直角这两个常用结论。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的圆心角∠AOD出发，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出圆周角∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角，在直角三角形ACB中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 求∠ABD的度数：
同弧AD所对的圆周角是∠ABD，圆心角是∠AOD，根据圆周角定理可得：
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$
2. 求∠ABC的度数：
∵BA平分$∠CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$
3. 求∠A的度数：
∵AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴$∠ ACB=90°$，
在$Rt△ ACB$中，两锐角互余，因此：
$∠ CAB=90°-∠ ABC=90°-25°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的基础性质和三角形的基础性质，解题的核心是熟练掌握圆心角与圆周角的关系、直径对应的圆周角为直角这两个常用结论。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AC为$\odot O$的直径，点B，D都在$\odot O$上，$∠ ADB=∠ CDB$，连接AB，BC.
(1)判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论.
(2)若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.
(1)判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论.
(2)若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.
答案
(1)$△ ABC$是等腰直角三角形。
证明:$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ABC=90°$。
$\because∠ ADB=∠ CDB$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
$\therefore AB=BC$。
又$∠ ABC=90°$，
$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形。
(2)由(1)知，$△ ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore BC=AB=\sqrt{2}$。
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
由题意知$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1,AC=2$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
证明:$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ABC=90°$。
$\because∠ ADB=∠ CDB$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
$\therefore AB=BC$。
又$∠ ABC=90°$，
$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形。
(2)由(1)知，$△ ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore BC=AB=\sqrt{2}$。
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
由题意知$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1,AC=2$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，首先结合已知AC是⊙O的直径，根据直径的性质可得直径所对的圆周角为直角，即∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形；再由∠ADB=∠CDB，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AB与弧BC相等，同圆中相等的弧对应的弦相等，即可推出AB=BC，结合直角的结论就能判定三角形形状。
(2) 求CD的长度时，先借助第一问的等腰直角三角形结论，用勾股定理算出直径AC的长度；再根据直径所对圆周角为直角，可得∠ADC=90°，在Rt△ADC中已知AD和AC的长度，用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=90°$。
∵ $∠ ADB=∠ CDB$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
∴ $AB=BC$。
又$∠ ABC=90°$，
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形。
(2) 由(1)知，$△ ABC$是等腰直角三角形，
∴ $BC=AB=\sqrt{2}$，
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1,AC=2$，
∴ $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰直角三角形；(2) $CD=\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的基本性质，结合直角三角形的判定和勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABC的形状，首先结合已知AC是⊙O的直径，根据直径的性质可得直径所对的圆周角为直角，即∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形；再由∠ADB=∠CDB，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AB与弧BC相等，同圆中相等的弧对应的弦相等，即可推出AB=BC，结合直角的结论就能判定三角形形状。
(2) 求CD的长度时，先借助第一问的等腰直角三角形结论，用勾股定理算出直径AC的长度；再根据直径所对圆周角为直角，可得∠ADC=90°，在Rt△ADC中已知AD和AC的长度，用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=90°$。
∵ $∠ ADB=∠ CDB$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
∴ $AB=BC$。
又$∠ ABC=90°$，
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形。
(2) 由(1)知，$△ ABC$是等腰直角三角形，
∴ $BC=AB=\sqrt{2}$，
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1,AC=2$，
∴ $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰直角三角形；(2) $CD=\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的基本性质，结合直角三角形的判定和勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦AC延长线上一点，$AC=CD$，DB的延长线交$\odot O$于点E，连接CE.
(1)求证：$∠ E=∠ D$.
(2)若$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，求$∠ E$的度数.
(1)求证：$∠ E=∠ D$.
(2)若$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，求$∠ E$的度数.
答案
8. (1)【证明】如图,连接BC。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ACB=90°$。
$\therefore BC⊥ AD$。
又$AC=CD$，
$\therefore BA=BD$。
$\therefore∠ A=∠ D$。
$\because$在$\odot O$中，$∠ A$与$∠ E$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠ A=∠ E$。
$\therefore∠ E=∠ D$。
(2)【解】如图,连接BC,OE。
$\because\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，
$\therefore∠ AOE=104°$。
$\therefore∠ ACE=52°$。
$\because∠ ACE=∠ CED+∠ D$,且$∠ CED=∠ D$，
$\therefore∠ CED=\frac{1}{2}∠ ACE=26°$。
解析
【分析】
(1) 要证明$∠ E=∠ D$，可通过中间量$∠ A$推导：首先根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ A=∠ E$；再证明$∠ A=∠ D$：AB是$\odot O$的直径，由直径所对的圆周角为直角可知$BC⊥ AD$，结合$AC=CD$，可得BC是AD的垂直平分线，进而推出$BA=BD$，根据等腰三角形两底角相等得$∠ A=∠ D$，最后等量代换即可得证。
(2) 已知$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角度数，先根据圆周角定理求出$\overset{\frown}{AE}$对应的圆周角$∠ ACE$的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合(1)中$∠ E=∠ D$的结论，即可求出$∠ E$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AD$，
又$\because AC=CD$，
∴BC垂直平分AD，
∴$BA=BD$，
∴$∠ A=∠ D$，
∵在$\odot O$中，$∠ A$与$∠ E$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ A=∠ E$，
∴$∠ E=∠ D$。
(2) 解：连接OE，
∵$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，
∴$∠ AOE=104°$，
根据圆周角定理得$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×104°=52°$，
∵$∠ ACE$是$△ CED$的外角，
∴$∠ ACE=∠ E+∠ D$，
又$\because ∠ E=∠ D$，
∴$∠ E=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
(1)【证明】如图,连接BC。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ACB=90°$。
$\therefore BC⊥ AD$。
又$AC=CD$，
$\therefore BA=BD$。
$\therefore∠ A=∠ D$。
$\because$在$\odot O$中，$∠ A$与$∠ E$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠ A=∠ E$。
$\therefore∠ E=∠ D$。
(2)【解】如图,连接BC,OE。
$\because\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，
$\therefore∠ AOE=104°$。
$\therefore∠ ACE=52°$。
$\because∠ ACE=∠ CED+∠ D$,且$∠ CED=∠ D$，
$\therefore∠ CED=\frac{1}{2}∠ ACE=26°$。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是合理添加辅助线，将圆的性质和三角形的相关性质结合推导角的等量关系，能够很好地检验学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$∠ E=∠ D$，可通过中间量$∠ A$推导：首先根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ A=∠ E$；再证明$∠ A=∠ D$：AB是$\odot O$的直径，由直径所对的圆周角为直角可知$BC⊥ AD$，结合$AC=CD$，可得BC是AD的垂直平分线，进而推出$BA=BD$，根据等腰三角形两底角相等得$∠ A=∠ D$，最后等量代换即可得证。
(2) 已知$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角度数，先根据圆周角定理求出$\overset{\frown}{AE}$对应的圆周角$∠ ACE$的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合(1)中$∠ E=∠ D$的结论，即可求出$∠ E$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AD$，
又$\because AC=CD$，
∴BC垂直平分AD，
∴$BA=BD$，
∴$∠ A=∠ D$，
∵在$\odot O$中，$∠ A$与$∠ E$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ A=∠ E$，
∴$∠ E=∠ D$。
(2) 解：连接OE，
∵$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，
∴$∠ AOE=104°$，
根据圆周角定理得$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×104°=52°$，
∵$∠ ACE$是$△ CED$的外角，
∴$∠ ACE=∠ E+∠ D$，
又$\because ∠ E=∠ D$，
∴$∠ E=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
(1)【证明】如图,连接BC。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ACB=90°$。
$\therefore BC⊥ AD$。
又$AC=CD$，
$\therefore BA=BD$。
$\therefore∠ A=∠ D$。
$\because$在$\odot O$中，$∠ A$与$∠ E$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠ A=∠ E$。
$\therefore∠ E=∠ D$。
(2)【解】如图,连接BC,OE。
$\because\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，
$\therefore∠ AOE=104°$。
$\therefore∠ ACE=52°$。
$\because∠ ACE=∠ CED+∠ D$,且$∠ CED=∠ D$，
$\therefore∠ CED=\frac{1}{2}∠ ACE=26°$。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是合理添加辅助线，将圆的性质和三角形的相关性质结合推导角的等量关系，能够很好地检验学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AD是$\odot O$的直径，点B，C都在圆上，且$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上。若$∠ PCB = 130°$，则$∠ PBA$的度数为（
A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
B
）A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
答案
9. B
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：1. 先根据AD是直径得出上半圆弧总度数为180°，结合三段等弧的条件，算出每段弧的度数；2. 利用圆周角定理，由已知的∠PCB的度数求出它所对的优弧$\overset{\frown}{PB}$的度数，进而得到劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数；3. 再通过圆周角定理算出△ABP中∠BAP和∠APB的度数，最后用三角形内角和求出∠PBA的度数即可。
【解析】
1. 计算等弧的度数
∵AD是$\odot O$的直径，
∴上半圆弧$\overset{\frown}{ABD}$的度数为$180°$
又
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$
∴$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \frac{180°}{3}=60°$
2. 计算劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数
∠PCB是顶点在圆上的圆周角，它所对的弧为优弧$\overset{\frown}{PB}$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，可得：
优弧$\overset{\frown}{PB}$的度数$=2×∠ PCB=2×130°=260°$
因此劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数$=360° - 260°=100°$
3. 计算△ABP的两个内角
∠BAP是圆周角，所对弧为劣弧$\overset{\frown}{PB}$，故$∠ BAP=\frac{1}{2}×100°=50°$
∠APB是圆周角，所对弧为劣弧$\overset{\frown}{AB}$，故$∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$
4. 求∠PBA的度数
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ PBA=180° - ∠ BAP - ∠ APB=180° -50° -30°=100°$
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系，三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质的常规综合应用题，核心是掌握圆周角和弧的度数的对应关系，能灵活实现角度和弧度数的转换，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：1. 先根据AD是直径得出上半圆弧总度数为180°，结合三段等弧的条件，算出每段弧的度数；2. 利用圆周角定理，由已知的∠PCB的度数求出它所对的优弧$\overset{\frown}{PB}$的度数，进而得到劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数；3. 再通过圆周角定理算出△ABP中∠BAP和∠APB的度数，最后用三角形内角和求出∠PBA的度数即可。
【解析】
1. 计算等弧的度数
∵AD是$\odot O$的直径，
∴上半圆弧$\overset{\frown}{ABD}$的度数为$180°$
又
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$
∴$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \frac{180°}{3}=60°$
2. 计算劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数
∠PCB是顶点在圆上的圆周角，它所对的弧为优弧$\overset{\frown}{PB}$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，可得：
优弧$\overset{\frown}{PB}$的度数$=2×∠ PCB=2×130°=260°$
因此劣弧$\overset{\frown}{PB}$的度数$=360° - 260°=100°$
3. 计算△ABP的两个内角
∠BAP是圆周角，所对弧为劣弧$\overset{\frown}{PB}$，故$∠ BAP=\frac{1}{2}×100°=50°$
∠APB是圆周角，所对弧为劣弧$\overset{\frown}{AB}$，故$∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$
4. 求∠PBA的度数
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ PBA=180° - ∠ BAP - ∠ APB=180° -50° -30°=100°$
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系，三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质的常规综合应用题，核心是掌握圆周角和弧的度数的对应关系，能灵活实现角度和弧度数的转换，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
