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10. 将一个含$30°$角的透明直角三角尺按如图所示的方式放置在$\odot O$上. 已知点 A, B,C 都在$\odot O$上,连接 BC. 若$\overset{\frown}{AC}=\frac{3}{2}\overset{\frown}{BC}$,则$\frac{AC}{BC}$的值为（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.1
（第10题图）
（第11题图）
B
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.1
（第10题图）
（第11题图）
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先从已知的30°三角尺入手，确定圆周角∠BAC=30°，结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先求出$\overset{\frown}{BC}$的度数；再根据$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BC}$的数量关系求出$\overset{\frown}{AC}$的度数，进而得到$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠ABC的度数；最后利用同圆中弦长与所对圆心角的三角函数关系，即可求出$\frac{AC}{BC}$的比值。
【解析】
解：由直角三角尺的特征可知，$∠ BAC=30°$。
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，$∠ BAC$对应$\overset{\frown}{BC}$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×30°=60°$。
2. 已知$\overset{\frown}{AC}=\frac{3}{2}\overset{\frown}{BC}$，代入$\overset{\frown}{BC}$的度数可得$\overset{\frown}{AC}$的度数为$\frac{3}{2}×60°=90°$。
3. 设$\odot O$的半径为$R$，根据同圆中弦长公式：弦长$=2R·\sin\frac{α}{2}$（$α$为弦所对的圆心角），可得：
$AC=2R·\sin\frac{90°}{2}=2R\sin45°$，$BC=2R·\sin\frac{60°}{2}=2R\sin30°$。
因此$\frac{AC}{BC}=\frac{2R\sin45°}{2R\sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数，弧弦角关系
【点评】
本题将圆的基本性质和三角函数结合考查，解题的核心是熟练掌握圆周角定理，能把弧的数量关系转化为对应角的度数，再通过三角函数计算弦长比值，是圆章节的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的30°三角尺入手，确定圆周角∠BAC=30°，结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先求出$\overset{\frown}{BC}$的度数；再根据$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BC}$的数量关系求出$\overset{\frown}{AC}$的度数，进而得到$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠ABC的度数；最后利用同圆中弦长与所对圆心角的三角函数关系，即可求出$\frac{AC}{BC}$的比值。
【解析】
解：由直角三角尺的特征可知，$∠ BAC=30°$。
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，$∠ BAC$对应$\overset{\frown}{BC}$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×30°=60°$。
2. 已知$\overset{\frown}{AC}=\frac{3}{2}\overset{\frown}{BC}$，代入$\overset{\frown}{BC}$的度数可得$\overset{\frown}{AC}$的度数为$\frac{3}{2}×60°=90°$。
3. 设$\odot O$的半径为$R$，根据同圆中弦长公式：弦长$=2R·\sin\frac{α}{2}$（$α$为弦所对的圆心角），可得：
$AC=2R·\sin\frac{90°}{2}=2R\sin45°$，$BC=2R·\sin\frac{60°}{2}=2R\sin30°$。
因此$\frac{AC}{BC}=\frac{2R\sin45°}{2R\sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数，弧弦角关系
【点评】
本题将圆的基本性质和三角函数结合考查，解题的核心是熟练掌握圆周角定理，能把弧的数量关系转化为对应角的度数，再通过三角函数计算弦长比值，是圆章节的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
11.如图,在半径为5的$\odot O$中,弦$AB$,$CD$所对的圆心角分别为$∠ AOB$和$∠ COD$.若$CD=6$,$∠ AOB$与$∠ COD$互补,则弦$AB$的长为
8
.答案
11. 8
解析
【分析】
已知⊙O半径为5，弦CD长为6，∠AOB与∠COD互补，要求弦AB的长。解题思路：我们可以利用圆心角互补的特点，通过旋转将两个圆心角拼接为平角，得到圆的直径，再结合“直径所对的圆周角为直角”的性质构造直角三角形，最后用勾股定理计算AB的长度；也可通过作弦心距，利用垂径定理和全等三角形的性质求解。
【解析】
我们采用旋转法求解：
1. 将△COD绕点O旋转，使OC与OB重合，得到△BOD'。根据旋转的性质可得：BD'=CD=6，OD'=OD=5，∠BOD'=∠COD。
2. 已知∠AOB+∠COD=180°，因此∠AOB+∠BOD'=180°，即A、O、D'三点共线，所以AD'是⊙O的直径，AD'=2×5=10。
3. 根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，因此∠ABD'=90°，△ABD'是直角三角形。
4. 在Rt△ABD'中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD'^2 - BD'^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
【答案】
8
【知识点】
圆周角定理，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，核心是利用互补的圆心角构造特殊图形（直径、直角三角形），解题的关键是合理构造辅助线，能有效考查学生的几何直观和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
已知⊙O半径为5，弦CD长为6，∠AOB与∠COD互补，要求弦AB的长。解题思路：我们可以利用圆心角互补的特点，通过旋转将两个圆心角拼接为平角，得到圆的直径，再结合“直径所对的圆周角为直角”的性质构造直角三角形，最后用勾股定理计算AB的长度；也可通过作弦心距，利用垂径定理和全等三角形的性质求解。
【解析】
我们采用旋转法求解：
1. 将△COD绕点O旋转，使OC与OB重合，得到△BOD'。根据旋转的性质可得：BD'=CD=6，OD'=OD=5，∠BOD'=∠COD。
2. 已知∠AOB+∠COD=180°，因此∠AOB+∠BOD'=180°，即A、O、D'三点共线，所以AD'是⊙O的直径，AD'=2×5=10。
3. 根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，因此∠ABD'=90°，△ABD'是直角三角形。
4. 在Rt△ABD'中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD'^2 - BD'^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
【答案】
8
【知识点】
圆周角定理，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，核心是利用互补的圆心角构造特殊图形（直径、直角三角形），解题的关键是合理构造辅助线，能有效考查学生的几何直观和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12.已知$\odot O$的半径为10，AB是$\odot O$的弦，$AB=10$.
(1)如图1，作弦AC，点E在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，则$∠ BAC$的度数为
(2)如图2，若C，D是$\odot O$上两点，连接CD，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，求CD的长.
(1)如图1，作弦AC，点E在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，则$∠ BAC$的度数为
$90°$
.(2)如图2，若C，D是$\odot O$上两点，连接CD，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，求CD的长.
答案
12. (1) $90°$
(2)如图,连接BO并延长,交$\odot O$于点F,连接AF。
$\because\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD})=\overset{\frown}{BAF}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}$。
$\therefore\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$。
$\therefore AF=CD$。
$\because BF$为$\odot O$的直径，
$\therefore∠ BAF=90°$。
又$\odot O$的半径为10，
$\therefore BF=20$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF = \sqrt{BF^2-AB^2} =\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$。
$\therefore CD=10\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据⊙O半径为10、弦AB=10，可判定△OAB是等边三角形，得到弧AB的度数为60°；再结合已知$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，以及整圆的弧度数和为360°，可推出$\overset{\frown}{BEC}$的度数为180°；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出∠BAC的度数。
(2) 首先根据$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，结合四段弧的和为360°，可得$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=180°$；构造直径BF，可得$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}=180°$，进而推出$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦得到AF=CD；再利用直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理计算AF的长度，即可得到CD的长。
【解析】
(1) 连接OA、OB，
∵⊙O的半径为10，AB=10，
∴OA=OB=AB=10，即△OAB为等边三角形，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°。
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BEC}=360°$，
∴$2\overset{\frown}{BEC}=360°$，即$\overset{\frown}{BEC}=180°$。
∵∠BAC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BEC}$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) 如图，连接BO并延长，交$\odot O$于点F，连接AF。
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}=360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD})=\frac{1}{2}×360°=180°$。
∵BF为⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}=180°$，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$AF=CD$。
∵BF为直径，
∴$∠ BAF=90°$，
∵⊙O半径为10，
∴$BF=2×10=20$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{BF^2-AB^2} =\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$，
∴$CD=AF=10\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $90°$
(2) CD的长为$10\sqrt{3}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，弧弦的关系，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题核心是利用弧的和差关系完成弧相等的转化，再结合直角三角形的性质求解，要求学生熟练掌握弧、弦、圆周角的对应关系，能合理构造辅助线简化问题。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据⊙O半径为10、弦AB=10，可判定△OAB是等边三角形，得到弧AB的度数为60°；再结合已知$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，以及整圆的弧度数和为360°，可推出$\overset{\frown}{BEC}$的度数为180°；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出∠BAC的度数。
(2) 首先根据$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，结合四段弧的和为360°，可得$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=180°$；构造直径BF，可得$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}=180°$，进而推出$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦得到AF=CD；再利用直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理计算AF的长度，即可得到CD的长。
【解析】
(1) 连接OA、OB，
∵⊙O的半径为10，AB=10，
∴OA=OB=AB=10，即△OAB为等边三角形，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°。
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BEC}=360°$，
∴$2\overset{\frown}{BEC}=360°$，即$\overset{\frown}{BEC}=180°$。
∵∠BAC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BEC}$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) 如图，连接BO并延长，交$\odot O$于点F，连接AF。
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}=360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD})=\frac{1}{2}×360°=180°$。
∵BF为⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}=180°$，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$AF=CD$。
∵BF为直径，
∴$∠ BAF=90°$，
∵⊙O半径为10，
∴$BF=2×10=20$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{BF^2-AB^2} =\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$，
∴$CD=AF=10\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $90°$
(2) CD的长为$10\sqrt{3}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，弧弦的关系，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题核心是利用弧的和差关系完成弧相等的转化，再结合直角三角形的性质求解，要求学生熟练掌握弧、弦、圆周角的对应关系，能合理构造辅助线简化问题。
【难度系数】
0.6
13. 如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，$∠ ACB=2∠ BAC$.
(1)求证：$∠ AOB=2∠ BOC$.
(2)若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径长.
(1)求证：$∠ AOB=2∠ BOC$.
(2)若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径长.
答案
13. (1)【证明】$\because∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB,∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC,∠ ACB=2∠ BAC$，
$\therefore∠ AOB=2∠ BOC$。
(2)【解】如图,过点O作$OD⊥ AB$,垂足为E,交$\odot O$于点D,连接DB。
$\therefore AE=BE$。
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
$\therefore∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
由(1)知,$∠ AOB=2∠ BOC$，
$\therefore∠ DOB=∠ BOC$。
$\therefore BD=BC$。
$\because AB=4,BC=\sqrt{5}$，
$\therefore BE=2,BD=\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$∠ DEB=90°$，
$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中,$∠ OEB=90°$，
$\therefore OB^2=OE^2+BE^2$。
$\because OE=OD-DE=OB-1$，
$\therefore OB^2=(OB-1)^2+2^2$。
$\therefore OB=\frac{5}{2}$,即$\odot O$的半径长是$\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠AOB=2∠BOC，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。观察图形可知∠ACB是弧AB对应的圆周角，对应圆心角为∠AOB；∠BAC是弧BC对应的圆周角，对应圆心角为∠BOC。结合已知∠ACB=2∠BAC，代入圆周角和圆心角的关系即可推导得证。
(2) 求圆的半径，已知弦长可通过垂径定理构造直角三角形求解：过圆心作AB的垂线，既平分弦AB，也平分AB所对的弧，可得∠DOB=½∠AOB，结合第一问结论推出∠DOB=∠BOC，进而得到等弦BD=BC，将已知BC的长度转化为BD的长度，再通过两次勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ ACB=2∠ BAC$，代入上述关系得：$\frac{1}{2}∠ AOB=2×\frac{1}{2}∠ BOC$，化简可得$∠ AOB=2∠ BOC$，得证。
(2) 解：过点O作$OD⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D，连接DB。
根据垂径定理，$OD⊥ AB$，因此$AE=BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，可得$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)的结论$∠ AOB=2∠ BOC$，可推出$∠ DOB=∠ BOC$。同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此$BD=BC$。
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，因此$BE=\frac{1}{2}AB=2$，$BD=\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ DEB=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=OD-DE=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，$∠ OEB=90°$，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$，即$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
13. (1)【证明】$\because∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB,∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC,∠ ACB=2∠ BAC$，
$\therefore∠ AOB=2∠ BOC$。
(2)【解】如图,过点O作$OD⊥ AB$,垂足为E,交$\odot O$于点D,连接DB。
$\therefore AE=BE$。
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
$\therefore∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
由(1)知,$∠ AOB=2∠ BOC$，
$\therefore∠ DOB=∠ BOC$。
$\therefore BD=BC$。
$\because AB=4,BC=\sqrt{5}$，
$\therefore BE=2,BD=\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$∠ DEB=90°$，
$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中,$∠ OEB=90°$，
$\therefore OB^2=OE^2+BE^2$。
$\because OE=OD-DE=OB-1$，
$\therefore OB^2=(OB-1)^2+2^2$。
$\therefore OB=\frac{5}{2}$,即$\odot O$的半径长是$\frac{5}{2}$。
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，难度较低；第二问是圆中求半径的典型题型，需要掌握作垂直于弦的半径的辅助线作法，结合等角对等弦转化已知条件，再利用勾股定理列方程求解，同时要熟练运用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠AOB=2∠BOC，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。观察图形可知∠ACB是弧AB对应的圆周角，对应圆心角为∠AOB；∠BAC是弧BC对应的圆周角，对应圆心角为∠BOC。结合已知∠ACB=2∠BAC，代入圆周角和圆心角的关系即可推导得证。
(2) 求圆的半径，已知弦长可通过垂径定理构造直角三角形求解：过圆心作AB的垂线，既平分弦AB，也平分AB所对的弧，可得∠DOB=½∠AOB，结合第一问结论推出∠DOB=∠BOC，进而得到等弦BD=BC，将已知BC的长度转化为BD的长度，再通过两次勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ ACB=2∠ BAC$，代入上述关系得：$\frac{1}{2}∠ AOB=2×\frac{1}{2}∠ BOC$，化简可得$∠ AOB=2∠ BOC$，得证。
(2) 解：过点O作$OD⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D，连接DB。
根据垂径定理，$OD⊥ AB$，因此$AE=BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，可得$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)的结论$∠ AOB=2∠ BOC$，可推出$∠ DOB=∠ BOC$。同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此$BD=BC$。
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，因此$BE=\frac{1}{2}AB=2$，$BD=\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ DEB=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=OD-DE=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，$∠ OEB=90°$，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$，即$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
13. (1)【证明】$\because∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB,∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC,∠ ACB=2∠ BAC$，
$\therefore∠ AOB=2∠ BOC$。
(2)【解】如图,过点O作$OD⊥ AB$,垂足为E,交$\odot O$于点D,连接DB。
$\therefore AE=BE$。
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
$\therefore∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
由(1)知,$∠ AOB=2∠ BOC$，
$\therefore∠ DOB=∠ BOC$。
$\therefore BD=BC$。
$\because AB=4,BC=\sqrt{5}$，
$\therefore BE=2,BD=\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$∠ DEB=90°$，
$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中,$∠ OEB=90°$，
$\therefore OB^2=OE^2+BE^2$。
$\because OE=OD-DE=OB-1$，
$\therefore OB^2=(OB-1)^2+2^2$。
$\therefore OB=\frac{5}{2}$,即$\odot O$的半径长是$\frac{5}{2}$。
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，难度较低；第二问是圆中求半径的典型题型，需要掌握作垂直于弦的半径的辅助线作法，结合等角对等弦转化已知条件，再利用勾股定理列方程求解，同时要熟练运用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
14.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，弦BD交AC于点E，$AE=DE$，$BC=CE$，过点O作$OF ⊥ AC$，垂足为F，延长FO交BE于点G.已知$DE=6$，$EG=4$.
(1)求EF的长.
(2)求AB的长.
(1)求EF的长.
(2)求AB的长.
答案
14. (1)【解】如图,连接CD。
$\because∠ A=∠ D,AE=DE,∠ AEB=∠ DEC$，
$\therefore△ AEB≌△ DEC(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=CE$。
$\because BC=CE$，
$\therefore BE=CE=BC$。
$\therefore△ EBC$为等边三角形。
$\therefore∠ BEC=60°$。
$\because OF⊥ AC$，
$\therefore∠ GFE=90°$。
$\therefore∠ EGF=180°-90°-60°=30°$。
$\therefore EF=\frac{1}{2}EG=2$。
(2)如图,过点B作$BM⊥ AC$,垂足为M。
$\therefore∠ BMC=90°$。
$\because OF⊥ AC$，
$\therefore AF=CF$。
由(1)可知$△ EBC$为等边三角形,$EF=2$。
$\because AE=DE=6$，
$\therefore CF=AF=AE+EF=8$。
$\therefore AC=16,CE=10$。
$\therefore BC=10$。
$\because∠ BMC=90°,∠ BCM=60°$，
$\therefore∠ MBC=30°$。
$\therefore CM=\frac{1}{2}BC=5$。
$\therefore BM = \sqrt{BC^2-CM^2} = \sqrt{10^2-5^2} = 5\sqrt{3}$，$AM=AC-CM=11$。
$\therefore AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{11^2+(5\sqrt{3})^2}=14$。
解析
【分析】
(1) 求EF的长时，首先利用同弧所对圆周角相等得到∠A=∠D，结合已知AE=DE、对顶角∠AEB=∠DEC，可证△AEB≌△DEC，推出BE=CE，结合BC=CE可得△EBC为等边三角形，得到∠BEC=60°；再根据OF⊥AC可知△EFG是含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边的一半即可求出EF。
(2) 求AB的长时，先根据垂径定理，由OF⊥AC得AF=CF，结合(1)中EF的长度和AE的长度求出AF，进而得到AC、CE的长度，即等边△EBC的边长；再过B作BM⊥AC，在Rt△BMC中利用等边三角形的内角为60°，求出CM、BM的长度，计算出AM的长度后，在Rt△ABM中利用勾股定理即可求出AB。
【解析】
(1) 如图，连接CD。
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠A=∠D，
在△AEB和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\AE=DE \\∠AEB=∠DEC\end{array} $
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴BE=CE，
又
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，即△EBC为等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∵OF⊥AC，
∴∠GFE=90°，
在Rt△EFG中，∠EGF=180°-90°-60°=30°，
∴$EF=\frac{1}{2}EG$，
已知EG=4，
∴EF=2。
(2) 如图，过点B作$BM⊥ AC$，垂足为M。
∵OF⊥AC，O为圆心，根据垂径定理可得AF=CF，
由(1)可知EF=2，已知AE=DE=6，
∴$CF=AF=AE+EF=6+2=8$，
∴$AC=AF+CF=16$，$CE=AC-AE=16-6=10$，
∴BC=CE=10，
∵△EBC是等边三角形，
∴∠BCM=60°，
在Rt△BMC中，∠MBC=90°-60°=30°，
∴$CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
由勾股定理得：$BM = \sqrt{BC^2-CM^2} = \sqrt{10^2-5^2} = 5\sqrt{3}$，
又$AM=AC-CM=16-5=11$，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{11^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{121+75}=\sqrt{196}=14$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{EF=2}$
(2) $\boldsymbol{AB=14}$
辅助线参考：
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的判定与性质
3. 垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的突破口是通过三角形全等推导出等边三角形，再结合垂径定理、直角三角形的性质和勾股定理逐步求解线段长度，需要学生具备一定的逻辑推理能力和线段关系梳理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求EF的长时，首先利用同弧所对圆周角相等得到∠A=∠D，结合已知AE=DE、对顶角∠AEB=∠DEC，可证△AEB≌△DEC，推出BE=CE，结合BC=CE可得△EBC为等边三角形，得到∠BEC=60°；再根据OF⊥AC可知△EFG是含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边的一半即可求出EF。
(2) 求AB的长时，先根据垂径定理，由OF⊥AC得AF=CF，结合(1)中EF的长度和AE的长度求出AF，进而得到AC、CE的长度，即等边△EBC的边长；再过B作BM⊥AC，在Rt△BMC中利用等边三角形的内角为60°，求出CM、BM的长度，计算出AM的长度后，在Rt△ABM中利用勾股定理即可求出AB。
【解析】
(1) 如图，连接CD。
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠A=∠D，
在△AEB和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\AE=DE \\∠AEB=∠DEC\end{array} $
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴BE=CE，
又
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，即△EBC为等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∵OF⊥AC，
∴∠GFE=90°，
在Rt△EFG中，∠EGF=180°-90°-60°=30°，
∴$EF=\frac{1}{2}EG$，
已知EG=4，
∴EF=2。
(2) 如图，过点B作$BM⊥ AC$，垂足为M。
∵OF⊥AC，O为圆心，根据垂径定理可得AF=CF，
由(1)可知EF=2，已知AE=DE=6，
∴$CF=AF=AE+EF=6+2=8$，
∴$AC=AF+CF=16$，$CE=AC-AE=16-6=10$，
∴BC=CE=10，
∵△EBC是等边三角形，
∴∠BCM=60°，
在Rt△BMC中，∠MBC=90°-60°=30°，
∴$CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
由勾股定理得：$BM = \sqrt{BC^2-CM^2} = \sqrt{10^2-5^2} = 5\sqrt{3}$，
又$AM=AC-CM=16-5=11$，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{11^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{121+75}=\sqrt{196}=14$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{EF=2}$
(2) $\boldsymbol{AB=14}$
辅助线参考：
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的判定与性质
3. 垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的突破口是通过三角形全等推导出等边三角形，再结合垂径定理、直角三角形的性质和勾股定理逐步求解线段长度，需要学生具备一定的逻辑推理能力和线段关系梳理能力。
【难度系数】
0.6
