1. 如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连接OA，OB，OC.若$∠ AOB=40°$，$∠ OCA=30°$，则$∠ BCO$的度数为 （）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

（第1题图）
（第2题图）

1. C

【分析】
解题时首先利用圆的半径都相等，可得OA=OC、OB=OC，因此△OAC和△OBC均为等腰三角形。先根据等腰三角形两底角相等结合三角形内角和算出∠AOC的度数，再减去已知的∠AOB得到∠BOC的度数，最后再次利用等腰三角形性质和内角和即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵ OA、OC是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ △OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=30°，
根据三角形内角和定理，∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
∵ ∠AOB=40°，
∴ ∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°，
又
∵ OB、OC是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形，∠BCO=∠CBO，
∴ ∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是抓住同圆半径相等得到等腰三角形，再逐步推导角度，难度较低，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

2.如图，点A，B，C都在$\odot O$上，$∠ BAC=50°$，则$∠ OBC=$$°$.

2. 40

【分析】
解题时首先观察图形，∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，要求∠OBC，可先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数；再结合OB、OC都是圆的半径，可知△OBC为等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC$
已知$∠ BAC=50°$，代入得$∠ BOC=2×50°=100°$
∵OB、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形
∴$∠ OBC=∠ OCB$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握圆周角定理，找准同弧对应的圆周角和圆心角的数量关系，再结合等腰三角形的性质即可求解。
【难度系数】
0.8

【典型例题 2】如图，AC 为$\odot O$的直径，点 B，D 都在$\odot O$上，$∠ ABD = 60°$，$CD=2$，连接 AD，则 AD 的长为 （）


A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
【解析】$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$。
$\because ∠ ABD=60°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD=60°$。
$\therefore ∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$。
$\because CD=2$，
$\therefore AC=2CD=4$。
$\therefore AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$。
故选 C。
【答案】C

C

【分析】
解题时首先结合已知条件AC是⊙O的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，可得△ADC是直角三角形；接下来利用已知的∠ABD=60°，根据同弧所对的圆周角相等，可推出∠ACD的度数；之后在Rt△ADC中，先利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长度，最后用勾股定理即可计算出AD的长度。
【解析】
$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
$\because ∠ ABD$和$∠ ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD=60°$。
$\therefore$在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$。
$\because CD=2$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore AC=2CD=4$。
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题关键是熟练运用圆周角定理的相关推论找到角的等量关系，再结合直角三角形的性质求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

3.如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。若$∠ CDB = 24°$，则$∠ ACD$的度数为。

3. 66°

【分析】
解题思路：我们需要结合圆周角定理和等弧的性质来求解。首先明确：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，等弧对应的度数相等，直径所对的半圆的度数为180°。解题步骤如下：1. 先根据已知的圆周角∠CDB，求出它所对的$\overset{\frown}{BC}$的度数；2. 由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$得到$\overset{\frown}{BD}$的度数；3. 结合AB是直径，算出$\overset{\frown}{AD}$的度数；4. 找到∠ACD所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，用圆周角定理即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵ 圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠CDB=24°，且∠CDB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为 $2×24°=48°$
又
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
∴ $\overset{\frown}{BD}$的度数也为48°
∵ AB为$\odot O$的直径，半圆的度数为180°
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数 = $180° - \overset{\frown}{BD}$的度数 = $180°-48°=132°$
∵ ∠ACD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角
∴ $∠ ACD=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}$的度数 = $\frac{1}{2}×132°=66°$
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的应用题，解题的关键是准确对应圆周角和其所对的弧，结合直径对应半圆的特点推导求解，是圆相关考点中的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

4.如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D都在圆上，且$AC = CD$.若$∠ ABC = 32°$，则$∠ DAB$的度数为.

4. 26°

【分析】解题时可按以下思路推导：首先看到AB是⊙O的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；结合已知∠ABC=32°，在直角三角形ACB中可求出∠BAC的度数；再根据AC=CD，同圆中相等的弦对应的弧相等，等弧所对的圆周角相等，可推出∠CAD与∠ABC相等；最后用∠BAC减去∠CAD即可得到∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=32°$，
∴$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-32°=58°$，
又
∵$AC=CD$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等），
∴$∠ CAD=∠ ABC=32°$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DAB=∠ BAC-∠ CAD=58°-32°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆周角定理；直径的性质；弦与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，核心是考查同圆中弦、弧、圆周角之间的对应转换关系，只要熟练掌握相关性质，理清角之间的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7