基础知识·预习
问题1 同圆或等圆中,同一条弧所对的圆心角与圆周角有何数量关系？
问题2 直径所对的圆周角的度数是多少？如何进行证明？
问题3 你能用一个三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？如何操作？

1. 同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即同弧所对的圆心角的度数是该弧所对圆周角的2倍。
2. 直径所对的圆周角的度数是90°（直角）。证明：设AB为圆O的直径，点C是圆上异于A、B的任意一点，根据圆周角定理，弧AB对应的圆心角是180°，因此它所对的圆周角∠ACB的度数为180°÷2=90°。
3. 可以。操作方法：将三角尺的直角顶点抵在圆形纸片的圆周上，标记出三角尺两条直角边和圆周的两个交点，连接这两个交点得到的弦就是圆的一条直径；重复该操作，画出另一条不与这条直径重合的直径，两条直径的交点就是圆形纸片的圆心。

【分析】
这三道题围绕圆周角定理及其推论展开，考查基础概念理解与应用能力，思考路径如下：
1. 问题1直接对应圆周角定理的核心内容，只需回忆同圆或等圆中，同弧所对的圆心角和圆周角的数量关系即可作答；
2. 问题2考查圆周角定理的推论，先明确直径对应半圆，半圆的圆心角为180°，再结合圆周角定理就能推导出直径所对圆周角的度数，证明时紧扣定理逻辑即可；
3. 问题3是推论的实际应用，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”的性质，通过两次绘制不重合的直径，两条直径的交点即为圆心，操作时需注意三角尺的直角顶点要落在圆周上。
【解析】
1. 结合圆周角定理的定义：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角与圆心角存在固定的倍数关系，即圆周角等于它所对圆心角的一半，圆心角是对应圆周角的2倍。
2. 直径所对圆周角为90°。证明：设AB为☉O的直径，点C为圆上异于A、B的任意一点，弧AB对应的圆心角∠AOB=180°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此∠ACB=180°÷2=90°。
3. 可以用三角尺确定圆形纸片的圆心。原理是90°的圆周角对应直径，两条直径的交点为圆心，操作时：先将三角尺直角顶点抵在圆周上，标记两条直角边与圆周的交点，连接两点得到一条直径；再调整三角尺位置，重复操作画出另一条不重合的直径，两条直径的交点就是圆心。
【答案】
1. 同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即同弧所对的圆心角的度数是该弧所对圆周角的2倍。
2. 直径所对的圆周角的度数是90°（直角）。证明：设AB为圆O的直径，点C是圆上异于A、B的任意一点，根据圆周角定理，弧AB对应的圆心角是180°，因此它所对的圆周角∠ACB的度数为180°÷2=90°。
3. 可以。操作方法：将三角尺的直角顶点抵在圆形纸片的圆周上，标记出三角尺两条直角边和圆周的两个交点，连接这两个交点得到的弦就是圆的一条直径；重复该操作，画出另一条不与这条直径重合的直径，两条直径的交点就是圆形纸片的圆心。
【知识点】
圆周角定理；圆周角定理推论；圆心确定方法
【点评】
本题从基础定理识记、推论证明到实际应用逐层考查，是圆周角模块的入门级问题，能帮助学生吃透圆周角与圆心角的关联，熟练掌握相关性质可为后续圆的综合问题求解打好基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题 1】如图，AB 是$\odot O$的弦，$OA,OC$是$\odot O$的半径，且$OC ⊥ AB$，垂足为$D$，连接$CB$，$∠ ABC=30°$，$AB=2\sqrt{3}$。

(1)求证:$OA// BC$.
(2)求$\odot O$的半径长.
思路导引 (1)先根据圆周角定理求出$∠ AOC$的度数，再根据$OC ⊥ AB$得到$∠ ADO=90°$，进而求出$∠ OAD$的度数，最后根据“内错角相等，两直线平行”证明$OA// BC$.
$OA// BC$.
(2)先根据垂径定理得到$AD$的长，再根据勾股定理求出$\odot O$的半径长.
(1)【证明】$\because ∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ AOC=60°$.
$\because OC ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADO=90°$.
$\therefore ∠ OAB=180°-∠ ADO-∠ AOC=30°$.
又$∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ ABC$.
$\therefore OA// BC$.
(2)【解】$\because OC ⊥ AB$，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
由(1)知，$∠ OAB=30°$，$∠ ADO=90°$，
$\therefore OD=\dfrac{1}{2}OA$.
设$OA$的长为$x$，则$OD$的长为$\dfrac{1}{2}x$.
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\dfrac{1}{2}x)^2=x^2$.
解得$x_1=2$，$x_2=-2$(不合题意，舍去).
$\therefore \odot O$的半径长为$2$.
规律方法 解决与圆有关的问题时，关键在于分析圆心角、圆周角、直径、半径、弦和弧之间的关系，利用垂径定理、圆周角定理、勾股定理等进行求解或证明.

(1) 证明：
∵ ∠ABC=30°，
∴ ∠AOC=60°。
∵ OC⊥AB，
∴ ∠ADO=90°。
∴ ∠OAB=180°-∠ADO-∠AOC=30°。
又∠ABC=30°，
∴ ∠OAB=∠ABC。
∴ OA//BC。
(2) 解：
∵ OC⊥AB，
∴ AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
由(1)知，∠OAB=30°，∠ADO=90°，
∴ OD=$\frac{1}{2}$OA。
设OA的长为x，则OD的长为$\frac{1}{2}x$。
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$。
解得$x_1=2$，$x_2=-2$(不合题意，舍去)。
∴ $\odot O$的半径长为2。

【分析】
(1) 要证明$OA// BC$，可通过证明内错角相等实现：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由$∠ ABC=30°$可求出$∠ AOC=60°$；再结合$OC⊥ AB$得到$∠ ADO=90°$，在$Rt△ ADO$中可求出$∠ OAB=30°$，与$∠ ABC$相等，满足内错角相等、两直线平行的判定条件。
(2) 求$\odot O$的半径，首先利用垂径定理得到$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$；由(1)知$∠ OAB=30°$，在$Rt△ ADO$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$OD=\frac{1}{2}OA$，设半径$OA$为$x$，结合勾股定理列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ AOC=60°$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADO=90°$。
$\therefore ∠ OAB=180°-∠ ADO-∠ AOC=30°$。
又$∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ ABC$。
$\therefore OA// BC$。
(2) 解：
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
由(1)知，$∠ OAB=30°$，$∠ ADO=90°$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$。
设$OA$的长为$x$，则$OD$的长为$\frac{1}{2}x$。
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$。
解得$x_1=2$，$x_2=-2$(不合题意，舍去)。
$\therefore \odot O$的半径长为2。
【答案】
(1) $OA// BC$，证明成立；
(2) $\odot O$的半径长为$\boxed{2}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了平行线判定、圆的核心性质与直角三角形性质考察，解题关键是熟练运用圆周角定理、垂径定理转化角和线段的数量关系，是圆章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7