基础知识·预习
问题1 用描点法画反比例函数图象的步骤是什么？
问题2 反比例函数的图象与坐标轴相交吗？为什么？
问题3 如何利用反比例函数的图象和性质比较函数值的大小？你有几种方法？

1. 用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量x≠0的取值范围内，选取若干个x值，计算出对应的y值；
② 描点：以表格中各组(x,y)作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数的图象。
2. 反比例函数的图象与坐标轴不相交。
原因：反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0），自变量x的取值范围是x≠0，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会和y轴相交；同时由解析式可得$xy=k≠0$，因此函数值y也不可能为0，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会和x轴相交，因此反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
3. 常用的有两种方法：
方法一：性质判断法：先确定反比例函数中k的正负，明确函数图象所在的象限以及对应象限内的增减性：当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，且第一象限内点的函数值恒为正，第三象限内点的函数值恒为负；当k＜0时，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且第二象限内点的函数值恒为正，第四象限内点的函数值恒为负，据此判断各点所在象限，结合增减性和正负性即可比较出函数值的大小。
方法二：代入计算法：将需要比较的点的横坐标直接代入反比例函数解析式，计算出对应的函数值，直接对计算得到的数值进行大小比较即可。

【分析】
这三个问题是反比例函数图象与性质的基础预习问题，解题思路如下：1. 回忆描点法画函数图象的通用步骤，结合反比例函数自变量x≠0的取值限制，梳理对应操作步骤即可；2. 坐标轴上的点满足x=0（y轴上的点）或y=0（x轴上的点），结合反比例函数解析式推导x、y的取值范围，判断是否存在x=0或y=0的情况，即可得出图象是否与坐标轴相交的结论；3. 比较函数值大小可从两类常见思路出发：一是利用反比例函数的增减性、不同象限内函数值的正负特征判断，二是直接代入横坐标计算函数值后比较数值大小。
【解析】
问题1解答
用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量x≠0的取值范围内，选取若干个x值，计算出对应的y值；
② 描点：以表格中各组(x,y)作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数的图象。
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问题2解答
反比例函数的图象与坐标轴不相交。
原因：反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0），自变量x的取值范围是x≠0，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会和y轴相交；同时由解析式可得$xy=k≠0$，因此函数值y也不可能为0，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会和x轴相交，因此反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
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问题3解答
常用的有两种方法：
方法一：性质判断法：先确定反比例函数中k的正负，明确函数图象所在的象限以及对应象限内的增减性：当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，且第一象限内点的函数值恒为正，第三象限内点的函数值恒为负；当k＜0时，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且第二象限内点的函数值恒为正，第四象限内点的函数值恒为负，据此判断各点所在象限，结合增减性和正负性即可比较出函数值的大小。
方法二：代入计算法：将需要比较的点的横坐标直接代入反比例函数解析式，计算出对应的函数值，直接对计算得到的数值进行大小比较即可。
【答案】
1. 用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量x≠0的取值范围内，选取若干个x值，计算出对应的y值；
② 描点：以表格中各组(x,y)作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数的图象。
2. 反比例函数的图象与坐标轴不相交。
原因：反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0），自变量x的取值范围是x≠0，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会和y轴相交；同时由解析式可得$xy=k≠0$，因此函数值y也不可能为0，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会和x轴相交，因此反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
3. 常用的有两种方法：
方法一：性质判断法：先确定反比例函数中k的正负，明确函数图象所在的象限以及对应象限内的增减性：当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，且第一象限内点的函数值恒为正，第三象限内点的函数值恒为负；当k＜0时，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且第二象限内点的函数值恒为正，第四象限内点的函数值恒为负，据此判断各点所在象限，结合增减性和正负性即可比较出函数值的大小。
方法二：代入计算法：将需要比较的点的横坐标直接代入反比例函数解析式，计算出对应的函数值，直接对计算得到的数值进行大小比较即可。
【知识点】
反比例函数图象画法；反比例函数图象性质；反比例函数值比较
【点评】
本题属于反比例函数的基础类问题，覆盖了反比例函数图象绘制、图象特征、性质应用的核心基础内容，掌握上述知识点是后续解决反比例函数综合问题的前提，学习时建议结合图象理解性质，避免机械记忆。
【难度系数】
0.85

【典型例题】已知$y$关于$x$的反比例函数$y=(m-3)x^{3-m^2}$的图象的两支分别位于第二、第四象限.
(1)求$m$的值.
(2)若点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1,y_3)$都在该函数的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为.（用“＞”连接）
【解】(1)根据题意,得$3-m^2=-1$.
解得$m_1=2,m_2=-2$.
∵该函数图象的两支分别位于第二、第四象限,
∴$m-3＜0$,即$m＜3$.
∴$m$的值为2或$-2$.
(2)$y_2＞y_1＞y_3$
规律方法 反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的图象特征和性质如下:
(1)反比例函数的图象由两条曲线组成,它是双曲线.
(2)当$k＞0$时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而减小;当$k＜0$时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而增大.
【即学即练】
反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象的一支位于第一象限.
(1)图象的另一支位于第象限,常数$m$的取值范围是.
(2)已知点$A(a,b),B(c,d)$在该函数的图象上.若$a＞c$,则$b$和$d$有怎样的大小关系?

(1) 三 $m＞3$
(2) 由(1)知该反比例函数的图象的两支分别位于第一、第三象限，
∴在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。
分情况讨论。
①当 $0＞a＞c$ 时，$d＞b$。
②当 $a＞0＞c$ 时，$d＜b$。
③当 $a＞c＞0$ 时，$d＞b$。
综上所述，当 a，c 同号时，$d＞b$；当 a，c 异号时，$d＜b$。

【分析】
(1) 首先回忆反比例函数的图象特征：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象是双曲线，两支关于原点对称，当$k＞0$时，两支分别位于第一、第三象限。题目已知图象一支在第一象限，可推出另一支所在象限，同时列不等式求出$m$的取值范围。
(2) 由(1)可知$k＞0$，根据反比例函数的性质，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，但题目仅给出$a＞c$，未说明$a、c$是否在同一象限，因此需要分$a、c$同负、异号、同正三种情况讨论，再结合增减性和象限内点的坐标符号特征判断$b、d$的大小关系。
【解析】
(1) 反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知一支位于第一象限，则另一支位于第三象限；
要使函数图象位于第一、第三象限，需比例系数大于0，即$m-3＞0$，解得$m＞3$。
(2) 由(1)可知，该反比例函数的$k=m-3＞0$，因此在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
①当两点都在第三象限时，即$0＞a＞c$，此时$y$随$x$的增大而减小，因此$b＜d$，即$d＞b$；
②当两点分别在两个象限时，即$a＞0＞c$，此时点$A$在第一象限，$b＞0$，点$B$在第三象限，$d＜0$，因此$d＜b$；
③当两点都在第一象限时，即$a＞c＞0$，此时$y$随$x$的增大而减小，因此$b＜d$，即$d＞b$。
综上：当$a,c$同号时，$d＞b$；当$a,c$异号时，$d＜b$。
【答案】
(1) 三；$m＞3$
(2) 当$a,c$同号时，$d＞b$；当$a,c$异号时，$d＜b$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数的图象性质，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一个象限内成立，比较函数值大小时，要先判断自变量是否在同一象限，不能直接套用增减性，需要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7