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5.把一个长、宽、高分别为3 cm，2 cm，1 cm的长方体铁块熔化后铸成一个圆柱形铁块，则该圆柱形铁块的底面积S（单位：$\mathrm{cm}^2$）关于高h（单位：cm）的函数解析式为
$S=\dfrac{6}{h}$
。答案
5. $S=\dfrac{6}{h}$
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“熔化前后铁块的体积不变”这一隐含条件。解题思路如下：第一步先计算原长方体铁块的体积，第二步根据圆柱体积公式建立体积相等的等量关系，第三步将等量关系变形为底面积S关于高h的函数解析式即可。
【解析】
首先计算长方体铁块的体积：
长方体体积$V_{\mathrm{长}} = 长×宽×高 = 3×2×1 = 6\ \mathrm{cm}^3$
由于铁块熔化前后体积不变，因此铸成的圆柱形铁块体积等于长方体体积，即$V_{\mathrm{柱}} = V_{\mathrm{长}} = 6\ \mathrm{cm}^3$
根据圆柱体积公式$V_{\mathrm{柱}} = S· h$，代入体积可得：
$S· h = 6$
将式子变形为S关于h的表达式，得：
$S = \dfrac{6}{h}$（h为正数，符合实际意义）
【答案】
$S=\dfrac{6}{h}$
【知识点】
等积变换，反比例函数解析式，柱体体积计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的关键是抓住铸造类问题中体积不变的核心条件，结合常见几何体的体积公式即可推导得到对应的函数关系。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住“熔化前后铁块的体积不变”这一隐含条件。解题思路如下：第一步先计算原长方体铁块的体积，第二步根据圆柱体积公式建立体积相等的等量关系，第三步将等量关系变形为底面积S关于高h的函数解析式即可。
【解析】
首先计算长方体铁块的体积：
长方体体积$V_{\mathrm{长}} = 长×宽×高 = 3×2×1 = 6\ \mathrm{cm}^3$
由于铁块熔化前后体积不变，因此铸成的圆柱形铁块体积等于长方体体积，即$V_{\mathrm{柱}} = V_{\mathrm{长}} = 6\ \mathrm{cm}^3$
根据圆柱体积公式$V_{\mathrm{柱}} = S· h$，代入体积可得：
$S· h = 6$
将式子变形为S关于h的表达式，得：
$S = \dfrac{6}{h}$（h为正数，符合实际意义）
【答案】
$S=\dfrac{6}{h}$
【知识点】
等积变换，反比例函数解析式，柱体体积计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的关键是抓住铸造类问题中体积不变的核心条件，结合常见几何体的体积公式即可推导得到对应的函数关系。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，且当 $ x=-2 $ 时，$ y=3 $。
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
(2) 当 $ x=8 $ 时，求 $ y $ 的值。
(3) 当 $ y=2 $ 时，求 $ x $ 的值。
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
(2) 当 $ x=8 $ 时，求 $ y $ 的值。
(3) 当 $ y=2 $ 时，求 $ x $ 的值。
答案
6.【解】(1)设 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$。
$\because$ 当 $x=-2$ 时,$y=3$,
$\therefore 3=\dfrac{k}{-2}$. 解得 $k=-6$.
因此,$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\dfrac{6}{x}$.
(2)把 $x=8$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $y=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}$.
(3)把 $y=2$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $2=-\dfrac{6}{x}$.
解得 $x=-3$.
$\because$ 当 $x=-2$ 时,$y=3$,
$\therefore 3=\dfrac{k}{-2}$. 解得 $k=-6$.
因此,$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\dfrac{6}{x}$.
(2)把 $x=8$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $y=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}$.
(3)把 $y=2$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $2=-\dfrac{6}{x}$.
解得 $x=-3$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰：(1)求解反比例函数解析式可使用待定系数法，先根据反比例函数定义设出一般形式$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入，即可求出系数k，得到完整解析式；(2)已知自变量x的值求函数值y，只需将x代入已求出的解析式直接计算即可；(3)已知函数值y求自变量x的值，将y代入解析式解分式方程即可，注意验证解的合理性。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$。
$\because$ 当 $x=-2$ 时，$y=3$，
$\therefore$ 代入得 $3=\dfrac{k}{-2}$，解得 $k=-6$。
因此，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\dfrac{6}{x}$。
(2) 把 $x=8$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$y=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}$。
(3) 把 $y=2$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$2=-\dfrac{6}{x}$，
解得 $x=-3$，经检验$x=-3$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{6}{x}$；(2) $y=-\dfrac{3}{4}$；(3) $x=-3$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，核心考查待定系数法的应用和代入求值的基本运算，难度较低，熟练掌握反比例函数的基本性质和运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰：(1)求解反比例函数解析式可使用待定系数法，先根据反比例函数定义设出一般形式$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入，即可求出系数k，得到完整解析式；(2)已知自变量x的值求函数值y，只需将x代入已求出的解析式直接计算即可；(3)已知函数值y求自变量x的值，将y代入解析式解分式方程即可，注意验证解的合理性。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$。
$\because$ 当 $x=-2$ 时，$y=3$，
$\therefore$ 代入得 $3=\dfrac{k}{-2}$，解得 $k=-6$。
因此，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\dfrac{6}{x}$。
(2) 把 $x=8$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$y=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}$。
(3) 把 $y=2$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$2=-\dfrac{6}{x}$，
解得 $x=-3$，经检验$x=-3$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{6}{x}$；(2) $y=-\dfrac{3}{4}$；(3) $x=-3$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，核心考查待定系数法的应用和代入求值的基本运算，难度较低，熟练掌握反比例函数的基本性质和运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 现计划铺设轨道，需铺设的轨道长为$ l $ km，铺设轨道的天数为$ t $，每日铺设的轨道量为$ s $（单位：km）。有下列三个结论：
①当$ l $一定时，$ t $是$ s $的反比例函数；
②当$ t $一定时，$ l $是$ s $的反比例函数；
③当$ s $一定时，$ l $是$ t $的反比例函数。
其中正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.①②③
①当$ l $一定时，$ t $是$ s $的反比例函数；
②当$ t $一定时，$ l $是$ s $的反比例函数；
③当$ s $一定时，$ l $是$ t $的反比例函数。
其中正确的是（
A
）A.①
B.②
C.③
D.①②③
答案
7. A
解析
【分析】
解题时首先明确三个量的基本数量关系：总铺设长度=每日铺设量×铺设天数，即$ l = s · t $。再结合反比例函数、正比例函数的定义逐一判断三个结论：反比例函数的形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为非零常数），即两个变量的乘积为定值；正比例函数的形式为$ y=kx $（$ k $为非零常数），即两个变量的商为定值。先确定每个结论中的定值，再变形关系式判断函数类型即可。
【解析】
根据题意可得三个量的关系为：$ l = s · t $，逐一判断如下：
① 当$ l $一定时，将关系式变形为$ t = \frac{l}{s} $，符合反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k=l $为非零常数）的形式，因此$ t $是$ s $的反比例函数，①正确；
② 当$ t $一定时，将关系式变形为$ l = t · s $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k=t $为非零常数）的形式，因此$ l $是$ s $的正比例函数，不是反比例函数，②错误；
③ 当$ s $一定时，将关系式变形为$ l = s · t $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k=s $为非零常数）的形式，因此$ l $是$ t $的正比例函数，不是反比例函数，③错误。
综上，只有①正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义；工程问题数量关系
【点评】
本题核心考查正反比例函数的判定，解题关键是先梳理清楚三个变量之间的数量关系，再结合定值对关系式变形，对应正反比例函数的定义判断即可，注意不要混淆两类函数的表达形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三个量的基本数量关系：总铺设长度=每日铺设量×铺设天数，即$ l = s · t $。再结合反比例函数、正比例函数的定义逐一判断三个结论：反比例函数的形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为非零常数），即两个变量的乘积为定值；正比例函数的形式为$ y=kx $（$ k $为非零常数），即两个变量的商为定值。先确定每个结论中的定值，再变形关系式判断函数类型即可。
【解析】
根据题意可得三个量的关系为：$ l = s · t $，逐一判断如下：
① 当$ l $一定时，将关系式变形为$ t = \frac{l}{s} $，符合反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k=l $为非零常数）的形式，因此$ t $是$ s $的反比例函数，①正确；
② 当$ t $一定时，将关系式变形为$ l = t · s $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k=t $为非零常数）的形式，因此$ l $是$ s $的正比例函数，不是反比例函数，②错误；
③ 当$ s $一定时，将关系式变形为$ l = s · t $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k=s $为非零常数）的形式，因此$ l $是$ t $的正比例函数，不是反比例函数，③错误。
综上，只有①正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义；工程问题数量关系
【点评】
本题核心考查正反比例函数的判定，解题关键是先梳理清楚三个变量之间的数量关系，再结合定值对关系式变形，对应正反比例函数的定义判断即可，注意不要混淆两类函数的表达形式。
【难度系数】
0.8
8. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k＞0$），那么当$x$增加$50\%$时，$y$将（
A.减少$50\%$
B.增加$50\%$
C.减少$\frac{1}{3}$
D.增加$\frac{2}{3}$
C
）A.减少$50\%$
B.增加$50\%$
C.减少$\frac{1}{3}$
D.增加$\frac{2}{3}$
答案
8. C 【解析】由 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$,得 $\dfrac{k}{(1+50\%)x}=\dfrac{2}{3}·\dfrac{k}{x}$. 故当 $x$ 增加 $50\%$ 时,$y$ 将减少 $\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先明确反比例函数中k是固定不变的，函数值随自变量x的变化而变化。第一步先计算x增加50%后的新自变量值，第二步将新自变量代入函数式求出对应的新函数值，第三步对比新函数值和原函数值，计算变化的比例，即可判断最终结果。
【解析】
设原自变量为x，对应的反比例函数值为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $）。
当x增加50%时，新的自变量为：
$ x_{\mathrm{新}} = x + 50\%x = 1.5x = \frac{3}{2}x $
将新自变量代入函数式，得到新的函数值：
$ y_{\mathrm{新}} = \frac{k}{x_{\mathrm{新}}} = \frac{k}{\frac{3}{2}x} = \frac{2}{3} · \frac{k}{x} = \frac{2}{3}y $
计算y的变化量：$ y - y_{\mathrm{新}} = y - \frac{2}{3}y = \frac{1}{3}y $，即y比原来减少了$ \frac{1}{3} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 百分比变化计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题核心是抓住反比例函数中k为定值的特点，先求出自变量变化后的函数值，再通过和原函数值作比得到变化幅度，做题时要注意“减少多少比例”是和原数值作比较，避免计算逻辑错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先明确反比例函数中k是固定不变的，函数值随自变量x的变化而变化。第一步先计算x增加50%后的新自变量值，第二步将新自变量代入函数式求出对应的新函数值，第三步对比新函数值和原函数值，计算变化的比例，即可判断最终结果。
【解析】
设原自变量为x，对应的反比例函数值为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $）。
当x增加50%时，新的自变量为：
$ x_{\mathrm{新}} = x + 50\%x = 1.5x = \frac{3}{2}x $
将新自变量代入函数式，得到新的函数值：
$ y_{\mathrm{新}} = \frac{k}{x_{\mathrm{新}}} = \frac{k}{\frac{3}{2}x} = \frac{2}{3} · \frac{k}{x} = \frac{2}{3}y $
计算y的变化量：$ y - y_{\mathrm{新}} = y - \frac{2}{3}y = \frac{1}{3}y $，即y比原来减少了$ \frac{1}{3} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 百分比变化计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题核心是抓住反比例函数中k为定值的特点，先求出自变量变化后的函数值，再通过和原函数值作比得到变化幅度，做题时要注意“减少多少比例”是和原数值作比较，避免计算逻辑错误。
【难度系数】
0.7
9. 当y关于x的反比例函数$y=(m-2) · x^{2m+1}$的函数值为$\dfrac{1}{3}$时，自变量x的值为
$-9$
。答案
9. $-9$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。解题思路分三步：第一步根据反比例函数的定义，分别对函数的指数和系数列条件，求出参数$m$的值；第二步将$m$代入原式，得到完整的反比例函数解析式；第三步把函数值$y=\frac{1}{3}$代入解析式，求解得到自变量$x$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义可得：
1. 自变量的指数为$-1$，即：$2m + 1 = -1$
解方程得：$2m = -2$，$m = -1$
2. 反比例系数不为0，即：$m - 2 ≠ 0$
将$m=-1$代入验证：$-1 -2 = -3 ≠ 0$，符合条件。
3. 代入$m=-1$得到函数解析式：$y = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}$
4. 当$y = \frac{1}{3}$时，代入解析式得：
$\frac{1}{3} = -\frac{3}{x}$
交叉相乘解得：$x = -3 × 3 = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
反比例函数定义；解一元一次方程；函数求值
【点评】
本题核心考查对反比例函数定义的理解，解题的关键是牢记反比例函数的指数要求和系数不为0的限制，易错点是容易漏记系数不为0的条件，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。解题思路分三步：第一步根据反比例函数的定义，分别对函数的指数和系数列条件，求出参数$m$的值；第二步将$m$代入原式，得到完整的反比例函数解析式；第三步把函数值$y=\frac{1}{3}$代入解析式，求解得到自变量$x$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义可得：
1. 自变量的指数为$-1$，即：$2m + 1 = -1$
解方程得：$2m = -2$，$m = -1$
2. 反比例系数不为0，即：$m - 2 ≠ 0$
将$m=-1$代入验证：$-1 -2 = -3 ≠ 0$，符合条件。
3. 代入$m=-1$得到函数解析式：$y = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}$
4. 当$y = \frac{1}{3}$时，代入解析式得：
$\frac{1}{3} = -\frac{3}{x}$
交叉相乘解得：$x = -3 × 3 = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
反比例函数定义；解一元一次方程；函数求值
【点评】
本题核心考查对反比例函数定义的理解，解题的关键是牢记反比例函数的指数要求和系数不为0的限制，易错点是容易漏记系数不为0的条件，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
10. 一个梯形的面积为 60,其上底是下底的$\frac{1}{3}$.
设它的下底为$x$,高为$y$.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=18$时,求$y$的值.
设它的下底为$x$,高为$y$.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=18$时,求$y$的值.
答案
10.【解】(1)根据题意,得 $\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}x+x)y=60$.
整理,得 $y=\dfrac{90}{x}$.
因此,$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{90}{x}$.
(2)把 $x=18$ 代入 $y=\dfrac{90}{x}$,得 $y=\dfrac{90}{18}=5$.
整理,得 $y=\dfrac{90}{x}$.
因此,$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{90}{x}$.
(2)把 $x=18$ 代入 $y=\dfrac{90}{x}$,得 $y=\dfrac{90}{18}=5$.
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆梯形面积公式，已知下底为$x$，上底是下底的$\frac{1}{3}$，即可表示出上底为$\frac{1}{3}x$，再将上底、下底、高、面积的数值或表达式代入梯形面积公式，得到关于$x$和$y$的等式，最后通过等式变形把$y$单独放在等号一侧，就能得到$y$关于$x$的函数解析式。(2) 求$x=18$对应的$y$值，只需将$x=18$直接代入第一问求出的函数解析式中计算即可。
【解析】
(1) 根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，结合题意代入对应量：
$\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}x+x)y=60$
先化简括号内的项：$\frac{1}{3}x+x=\frac{4}{3}x$，代入得：
$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}xy=60$
计算整理得：$y=\dfrac{90}{x}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{90}{x}$。
(2) 把$x=18$代入$y=\dfrac{90}{x}$，得：
$y=\dfrac{90}{18}=5$
【答案】
(1) $y=\dfrac{90}{x}$；(2) $y=5$
【知识点】
梯形面积计算，反比例函数解析式，代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对基础公式的应用能力和简单代数变形能力，解题核心是准确代入梯形面积公式，熟练完成等式变形和计算即可得分。
【难度系数】
0.9
(1) 解题时先回忆梯形面积公式，已知下底为$x$，上底是下底的$\frac{1}{3}$，即可表示出上底为$\frac{1}{3}x$，再将上底、下底、高、面积的数值或表达式代入梯形面积公式，得到关于$x$和$y$的等式，最后通过等式变形把$y$单独放在等号一侧，就能得到$y$关于$x$的函数解析式。(2) 求$x=18$对应的$y$值，只需将$x=18$直接代入第一问求出的函数解析式中计算即可。
【解析】
(1) 根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，结合题意代入对应量：
$\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}x+x)y=60$
先化简括号内的项：$\frac{1}{3}x+x=\frac{4}{3}x$，代入得：
$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}xy=60$
计算整理得：$y=\dfrac{90}{x}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{90}{x}$。
(2) 把$x=18$代入$y=\dfrac{90}{x}$，得：
$y=\dfrac{90}{18}=5$
【答案】
(1) $y=\dfrac{90}{x}$；(2) $y=5$
【知识点】
梯形面积计算，反比例函数解析式，代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对基础公式的应用能力和简单代数变形能力，解题核心是准确代入梯形面积公式，熟练完成等式变形和计算即可得分。
【难度系数】
0.9
11.已知$y_1$是$x$的正比例函数，$y_2$是$x$的反比例函数，当自变量$x=1$时，$y_1 - y_2 = -3$；当自变量$x=2$时，$y_1 = y_2$.分别求$y_1,y_2$关于$x$的函数解析式.
答案
11.【解】由题意可设 $y_1=k_1x(k_1 ≠ 0),y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2 ≠ 0)$.
根据题意,得 $\begin{cases} k_1 - k_2=-3,\\ 2k_1=\dfrac{k_2}{2}.\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=1,\\ k_2=4.\\ \end{cases}$
故 $y_1,y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式分别为 $y_1=x$,$y_2=\dfrac{4}{x}$.
根据题意,得 $\begin{cases} k_1 - k_2=-3,\\ 2k_1=\dfrac{k_2}{2}.\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=1,\\ k_2=4.\\ \end{cases}$
故 $y_1,y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式分别为 $y_1=x$,$y_2=\dfrac{4}{x}$.
解析
【分析】
要解决这类求函数解析式的问题，首先根据正比例函数、反比例函数的定义，先设出带未知系数的标准解析式，再将题目给出的两组x对应的函数关系代入所设解析式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解出系数后代回原设解析式即可得到最终结果。
【解析】
解：根据正比例函数和反比例函数的定义，设：
$y_1=k_1x(k_1 ≠ 0)$，$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2 ≠ 0)$。
将$x=1$，$y_1 - y_2 = -3$代入解析式，得：$k_1 - k_2 = -3$；
将$x=2$，$y_1 = y_2$代入解析式，得：$2k_1 = \dfrac{k_2}{2}$。
联立得到方程组：
$\begin{cases} k_1 - k_2=-3\\ 2k_1=\dfrac{k_2}{2} \end{cases}$
整理第二个方程得$k_2=4k_1$，代入第一个方程得：
$k_1 - 4k_1 = -3$，解得$k_1=1$，则$k_2=4×1=4$。
将$k_1$、$k_2$代回所设解析式即可。
【答案】
$y_1=x$，$y_2=\dfrac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时要注意正比例、反比例函数的系数不为0的隐含条件，熟练掌握二元一次方程组的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这类求函数解析式的问题，首先根据正比例函数、反比例函数的定义，先设出带未知系数的标准解析式，再将题目给出的两组x对应的函数关系代入所设解析式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解出系数后代回原设解析式即可得到最终结果。
【解析】
解：根据正比例函数和反比例函数的定义，设：
$y_1=k_1x(k_1 ≠ 0)$，$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2 ≠ 0)$。
将$x=1$，$y_1 - y_2 = -3$代入解析式，得：$k_1 - k_2 = -3$；
将$x=2$，$y_1 = y_2$代入解析式，得：$2k_1 = \dfrac{k_2}{2}$。
联立得到方程组：
$\begin{cases} k_1 - k_2=-3\\ 2k_1=\dfrac{k_2}{2} \end{cases}$
整理第二个方程得$k_2=4k_1$，代入第一个方程得：
$k_1 - 4k_1 = -3$，解得$k_1=1$，则$k_2=4×1=4$。
将$k_1$、$k_2$代回所设解析式即可。
【答案】
$y_1=x$，$y_2=\dfrac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时要注意正比例、反比例函数的系数不为0的隐含条件，熟练掌握二元一次方程组的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
12. 把 $x=\frac{2}{3}$代入反比例函数 $y=-\frac{1}{x}$中，将所得函数值记为 $y_1$；再把 $x=y_1+1$代入该反比例函数中，将所得函数值记为 $y_2$；然后把 $x=y_2+1$代入该反比例函数中，将所得函数值记为 $y_3$；……如此继续下去，则 $y_{2027}=$
2
。答案
12. 2 【解析】由题意得 $y_1=-\dfrac{3}{2},y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{3}{2}+1}=2,y_3=-\dfrac{1}{2+1}=-\dfrac{1}{3},y_4=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}+1}=-\dfrac{3}{2}$,……
$\therefore$ 每3次为一个循环.
$\because 2\ 027÷ 3=675······2$,
$\therefore y_{{2027}}=y_2=2$.
$\therefore$ 每3次为一个循环.
$\because 2\ 027÷ 3=675······2$,
$\therefore y_{{2027}}=y_2=2$.
解析
【分析】
本题属于规律探究类问题，解题可按三步思考：第一步，按照题目给出的代入规则，依次计算前几个函数值$y_1、y_2、y_3、y_4……$；第二步，观察计算出的函数值，找到重复出现的规律，确定循环周期；第三步，用2027除以循环周期，根据余数判断$y_{2027}$对应周期内的第几个值，即可得到最终结果。
【解析】
根据题意依次计算：
1. 把$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 把$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 把$x=y_2+1=2+1=3$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 把$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_4=-\frac{3}{2}$；
……
可见函数值每3次为一个循环周期，循环组为$-\frac{3}{2}、2、-\frac{1}{3}$。
计算$2027÷3=675······2$，即2027除以3商675余2，说明$y_{2027}$对应循环组的第2个值，因此$y_{2027}=y_2=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数求值，规律探究，周期计算
【点评】
本题考查学生的归纳探究能力，解题核心是通过计算前几项准确找到循环周期，代值计算时要注意符号，避免因计算失误导致规律判断错误。
【难度系数】
0.65
本题属于规律探究类问题，解题可按三步思考：第一步，按照题目给出的代入规则，依次计算前几个函数值$y_1、y_2、y_3、y_4……$；第二步，观察计算出的函数值，找到重复出现的规律，确定循环周期；第三步，用2027除以循环周期，根据余数判断$y_{2027}$对应周期内的第几个值，即可得到最终结果。
【解析】
根据题意依次计算：
1. 把$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 把$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 把$x=y_2+1=2+1=3$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 把$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_4=-\frac{3}{2}$；
……
可见函数值每3次为一个循环周期，循环组为$-\frac{3}{2}、2、-\frac{1}{3}$。
计算$2027÷3=675······2$，即2027除以3商675余2，说明$y_{2027}$对应循环组的第2个值，因此$y_{2027}=y_2=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数求值，规律探究，周期计算
【点评】
本题考查学生的归纳探究能力，解题核心是通过计算前几项准确找到循环周期，代值计算时要注意符号，避免因计算失误导致规律判断错误。
【难度系数】
0.65
