3.(期末·津南区)(1)如图①,在$△ ABC$中,$∠ B=60°$,$∠ C=80°$,$AD$平分$∠ BAC$.求证:$AD=AC$.
(2)如图②,在$△ ABC$中,点$E$在$BC$边上,中线$BD$与$AE$相交于点$P$,$AP=BC$.求证:$PE=BE$.

3.【证明】(1)
∵ 在△ABC中,∠B=60°,∠C=80°,
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−80°=40°.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=20°,
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°,
∴ ∠ADC=∠C,
∴ AD=AC.
(2)如图,延长BD至点F,使BD=DF.
∵ BD为中线,
∴ AD=CD.
在△ADF和△CDB中,
$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADF=∠CDB, \\ DF=DB, \end{cases}$
∴ △ADF≌△CDB(SAS),
∴ ∠F=∠DBC,AF=CB.
∵ AP=BC,
∴ AP=AF,
∴ ∠APF=∠F.
∴ ∠DBC=∠APF.
∵ ∠APF=∠BPE,
∴ ∠DBC=∠BPE,
∴ PE=BE.

4. 如图，$△ ABC$是边长为3的等边三角形，$△ BDC$是等腰三角形，且$∠ BDC=120°$，以D为顶点作一个$60°$角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求$△ AMN$的周长。

4.【解】
∵ △BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴ ∠BCD=∠DBC=30°.
∵ △ABC是边长为3的等边三角形,
∴ ∠ABC=∠A=∠BCA=60°,
∴ ∠DBA=∠DCA=90°.
如图,延长AB至点F,使BF=CN,连接DF.
在△BDF和△CDN中,
$\begin{cases} BF=CN, \\ ∠FBD=∠NCD, \\ DB=DC, \end{cases}$
∴ △BDF≌△CDN(SAS),
∴ ∠BDF=∠CDN,DF=DN.
∵ ∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴ ∠BDM+∠CDN=60°,
∴ ∠BDM+∠BDF=60°,即∠MDF=60°,
∴ ∠MDN=∠MDF.
在△DMN和△DMF中,
$\begin{cases} DM=DM, \\ ∠MDN=∠MDF, \\ DN=DF, \end{cases}$
∴ △DMN≌△DMF(SAS),
∴ MN=MF,
∴ △AMN的周长为AM+MN+AN=AM+MF+AN=AM+BM+BF+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=6.
则△AMN的周长为6.