1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 2∠ B$.作$∠ ACB$的平分线交AB于D；作$∠ BDC$的平分线DE交BC于点E.（不写作法，保留作图痕迹）

1.【解】所求作的图如图所示。

【典型例题 2】如图, 已知 BD 为$∠ ABC$的平分线,$AB=BC,PM⊥ AD$于点$M,PN⊥ CD$于点$N$. 求证:$PM=PN$.

【证明】因为 BD 为$∠ ABC$的平分线,所以$∠ ABD=∠ CBD$.
在$△ ABD$和$△ CBD$中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ ADB=∠ CDB$.
因为点$P$在$BD$上,且$PM⊥ AD,PN⊥ CD$,
所以$PM=PN$.
规律方法 1. 应用角的平分线的性质要具备两个条件:(1)点在角的平分线上;(2)过这一点作角的两边的垂线段.
2. 角的平分线的性质是证明两线段相等的重要方法之一,其优点是不用再证两个三角形全等.

证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB,\\∠ABD = ∠CBD,\\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD(SAS)，
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD是∠ADC的平分线。
∵ 点P在BD上，且$PM⊥ AD$，$PN⊥ CD$，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ $PM = PN$。

2.(2024·四川绵阳中考)如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（）

A.1
B.2
C.3
D.5

2.B 【解析】如图,过 D 作 $DF⊥AB$ 于点 F, 因为 AD 平分$∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB$,所以 $DE=DF$. 因为 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB· DF=\frac{1}{2}×5DF=5$,所以 $DF=2$,所以 $DE=2$。

1.（2024·青海中考）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（）


A.4
B.3
C.2
D.1

1.C 【解析】如图,过 P 作 $PE⊥AO$ 于 E，因为 OC 平分 $∠AOB$，$PD⊥OB$,所以 $PE=PD=2$，所以点 P 到 OA 的距离是 2。

2.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径作弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为.

2.$a+b=0$ 【解析】由作图知点 P 在第二象限两坐标轴夹角的平分线上,该点的坐标特征是横、纵坐标互为相反数,所以 $a+b=0$。