3. 如图,点 D 在 $△ ABC$ 的 AB 边上,且 $∠ ACD=∠ A$.
(1)作$∠ BDC$的平分线$DE$,交$BC$于点$E$;(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,判断直线$DE$与直线$AC$的位置关系,并说明理由.

3.【解】(1)如图,射线 DE 即为$∠BDC$的平分线。
(2)$DE// AC$。
理由: 因为 $∠ACD=∠A$,所以$∠BDC=2∠ACD$。
由(1)得$∠BDC=2∠CDE$,
所以$∠CDE=∠ACD$,所以$DE// AC$。

4. 如图，在$△ ABC$中，以点$C$为圆心，任意长为半径作弧，分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$，分别以点$D$，$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧交于点$F$，作射线$CF$交$AB$于点$G$，若$AC=9$，$BC=6$，$△ BCG$的面积为8，则$△ ACG$的面积为。

4.12 【解析】如图,过点 G 作 $GM⊥BC$ 于点 M，$GN⊥AC$ 于点 N。
由作图可知 CG 平分$∠ACB$,所以 $GM=GN$。
因为 $S_{△BCG}=\frac{1}{2}BC· GM=\frac{1}{2}×6GM=8$,
所以 $GM=\frac{8}{3}$,所以 $GN=\frac{8}{3}$,
所以 $S_{△ACG}=\frac{1}{2}AC· GN=\frac{1}{2}×9×\frac{8}{3}=12$。

5.如图,已知OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.

5.【证明】因为 OC 是 $∠AOB$ 的平分线, $PD⊥OA$, $PE⊥OB$,所以 $PD=PE,∠DOF=∠EOF$。
在$\mathrm{Rt}△OPD$ 和 $\mathrm{Rt}△OPE$ 中,$\begin{cases}OP=OP,\\PD=PE,\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△OPD≌\mathrm{Rt}△OPE(\mathrm{HL})$,所以 $OD=OE$。在$△ODF$ 和$△OEF$ 中,$\begin{cases}OD=OE,\\∠DOF=∠EOF,\\OF=OF,\end{cases}$
所以$△ODF≌△OEF(\mathrm{SAS})$,所以 $DF=EF$。

6. 如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=DC,BD平分∠ABC,试猜想∠BAD与∠DCB的数量关系,并说明理由.

6.【解】$∠BAD+∠DCB=180°$. 理由如下：
如图,过点 D 分别作 $DE⊥BA$,交 BA 的延长线于点 E,$DF⊥BC$,交 BC 于点 F。
因为 BD 平分$∠ABC$,所以 $DE=DF$。
在 $\mathrm{Rt}△AED$ 和 $\mathrm{Rt}△CFD$ 中,$\begin{cases}AD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△CFD(\mathrm{HL})$,
所以 $∠DCB=∠DAE$. 因为 $∠BAD +∠DAE=180°$,所以$∠BAD+∠DCB=180°$。