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例2 如图，$∠ AOB$内有一点$P$，试在射线$OA$上找出一点$M$，在射线$OB$上找出一点$N$，使$PM+MN+NP$的和最小。
解 如图，作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，则$M$，$N$两点即为所求。
解 如图，作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，则$M$，$N$两点即为所求。
答案
解：
作法：
(1) 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$；
(2) 作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
(3) 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$。
则点$M$，$N$即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，
因此$PM+MN+NP = P_1M + MN + NP_2 = P_1P_2$。
在射线$OA$上任取异于点$M$的点$M'$，在射线$OB$上任取异于点$N$的点$N'$，连接$PM'$、$M'N'$、$PN'$、$P_1M'$、$P_2N'$，
同理可得$PM'=P_1M'$，$PN'=P_2N'$，因此$PM'+M'N'+N'P = P_1M' + M'N' + N'P_2$。
根据两点之间，线段最短，可得$P_1M' + M'N' + N'P_2 ＞ P_1P_2$，
因此$PM'+M'N'+N'P ＞ PM+MN+NP$，即上述作法得到的$M$、$N$可使$PM+MN+NP$的和最小。
作法：
(1) 作点$P$关于射线$OA$的对称点$P_1$；
(2) 作点$P$关于射线$OB$的对称点$P_2$；
(3) 连接$P_1P_2$，分别交射线$OA$于点$M$，交射线$OB$于点$N$。
则点$M$，$N$即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，
因此$PM+MN+NP = P_1M + MN + NP_2 = P_1P_2$。
在射线$OA$上任取异于点$M$的点$M'$，在射线$OB$上任取异于点$N$的点$N'$，连接$PM'$、$M'N'$、$PN'$、$P_1M'$、$P_2N'$，
同理可得$PM'=P_1M'$，$PN'=P_2N'$，因此$PM'+M'N'+N'P = P_1M' + M'N' + N'P_2$。
根据两点之间，线段最短，可得$P_1M' + M'N' + N'P_2 ＞ P_1P_2$，
因此$PM'+M'N'+N'P ＞ PM+MN+NP$，即上述作法得到的$M$、$N$可使$PM+MN+NP$的和最小。
1. 平行河岸两侧各有一个城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两个城镇。已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，在下图中应该选择方案 （
C
）答案
1. C
2. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”
诗句中隐含着一个数学问题：士兵在观
望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营. 若点A，B到水平直线$l$($l$表示小河)的距离分别是2，1，A，B两点之间的水平距离是4，则$AP+PB$的最小值可能为（
A.3
B.4
C.5
D.7
诗句中隐含着一个数学问题：士兵在观
望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营. 若点A，B到水平直线$l$($l$表示小河)的距离分别是2，1，A，B两点之间的水平距离是4，则$AP+PB$的最小值可能为（
C
）A.3
B.4
C.5
D.7
答案
2. C
3. 直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 表示一条河的两岸，且 $ l_1 // l_2 $，已知村庄 $ P $ 和村庄 $ Q $ 在这条河的两岸. 现要在这条河上建一座桥 $ EF $（桥 $ EF $ 与河的两岸 $ l_1 $，$ l_2 $ 垂直），使得从村庄 $ P $ 经桥 $ EF $ 过河到村庄 $ Q $ 的路径 $ PEFQ $ 最短，即 $ PE + EF + FQ $ 最小，则下列四种方案满足条件的是 （
A
）答案
3. A
