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9.解不等式组$\begin{cases}6 - 2x ＞ 0, \\2x ＞ x + 1\end{cases}$，并把解集在数轴上表示出来。
答案
9.$1＜x＜3$ 在数轴上表示(略)
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即为不等式组的最终解集，最后按照数轴表示解集的规则画图即可。具体步骤：①先解第一个不等式6-2x＞0，通过移项、系数化为1求出解集，注意系数为负时不等号方向要改变；②再解第二个不等式2x＞x+1，通过移项求出解集；③取两个解集的公共部分得到不等式组的解集；④数轴表示时，注意大于/小于用空心圆圈，大于等于/小于等于用实心圆点，解集范围用线段标注。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$6 - 2x ＞ 0$
移项得：$-2x ＞ -6$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ 3$
2. 解不等式$2x ＞ x + 1$
移项得：$2x - x ＞ 1$
合并同类项得：$x ＞ 1$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$1 ＜ x ＜ 3$。
数轴表示：在数轴上找到1和3的位置，分别画空心圆圈表示不包含这两个点，再用线段连接两个空心圆圈即可。
【答案】
$1＜x＜3$，在数轴上表示(略)
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集确定，数轴表示解集
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，解题时需注意解不等式时若两边同时乘除负数，不等号方向要发生改变，数轴表示解集时要准确区分空心圆圈和实心圆点的使用场景。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即为不等式组的最终解集，最后按照数轴表示解集的规则画图即可。具体步骤：①先解第一个不等式6-2x＞0，通过移项、系数化为1求出解集，注意系数为负时不等号方向要改变；②再解第二个不等式2x＞x+1，通过移项求出解集；③取两个解集的公共部分得到不等式组的解集；④数轴表示时，注意大于/小于用空心圆圈，大于等于/小于等于用实心圆点，解集范围用线段标注。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$6 - 2x ＞ 0$
移项得：$-2x ＞ -6$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ 3$
2. 解不等式$2x ＞ x + 1$
移项得：$2x - x ＞ 1$
合并同类项得：$x ＞ 1$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$1 ＜ x ＜ 3$。
数轴表示：在数轴上找到1和3的位置，分别画空心圆圈表示不包含这两个点，再用线段连接两个空心圆圈即可。
【答案】
$1＜x＜3$，在数轴上表示(略)
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集确定，数轴表示解集
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，解题时需注意解不等式时若两边同时乘除负数，不等号方向要发生改变，数轴表示解集时要准确区分空心圆圈和实心圆点的使用场景。
【难度系数】
0.8
10.如图所示，在$△ ABC$中，D是AB的中点，E是AC上一点，$EF// AB$，$DF// BE$。
（1）请你猜想：AE与DF的关系是；
（2）说明你的猜想。
（1）请你猜想：AE与DF的关系是；
（2）说明你的猜想。
答案
(1) 互相平分
(2) 证明：
∵ $EF// AB$，$DF// BE$，
∴ 四边形$BDFE$是平行四边形，
∴ $BD = EF$。
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = EF$。
又∵ $AD// EF$，
∴ 四边形$ADEF$是平行四边形，
∴ $AE$与$DF$互相平分。
(2) 证明：
∵ $EF// AB$，$DF// BE$，
∴ 四边形$BDFE$是平行四边形，
∴ $BD = EF$。
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = EF$。
又∵ $AD// EF$，
∴ 四边形$ADEF$是平行四边形，
∴ $AE$与$DF$互相平分。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先根据已知的两组对边平行的条件，先判定四边形BDFE是平行四边形，得到BD与EF相等且平行的关系；再结合D是AB中点的条件，可推出AD与EF平行且相等，进而判定四边形ADEF是平行四边形；最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，即可得出AE与DF的关系。
【解析】
（1）猜想AE与DF的关系为互相平分。
（2）证明过程如下：
∵ $EF// AB$，$DF// BE$，
∴ 四边形$BDFE$是平行四边形，
∴ $BD = EF$。
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = EF$。
又
∵ $AD// EF$，
∴ 四边形$ADEF$是平行四边形，
∴ $AE$与$DF$互相平分。
【答案】
(1) 互相平分
(2) AE与DF互相平分，证明：
∵ $EF// AB$，$DF// BE$，
∴ 四边形$BDFE$是平行四边形，
∴ $BD = EF$。
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = EF$。又
∵ $AD// EF$，
∴ 四边形$ADEF$是平行四边形，
∴ $AE$与$DF$互相平分。
【知识点】
平行四边形的判定，平行四边形的性质，中点的定义
【点评】
本题是平行四边形判定与性质的综合应用题，解题的关键是从已知的平行条件出发，结合中点的性质逐步推导得到新的平行四边形，再利用平行四边形的性质得出结论，整体逻辑清晰，属于基础几何题。
【难度系数】
0.8
解决本题可按以下思路推导：首先根据已知的两组对边平行的条件，先判定四边形BDFE是平行四边形，得到BD与EF相等且平行的关系；再结合D是AB中点的条件，可推出AD与EF平行且相等，进而判定四边形ADEF是平行四边形；最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，即可得出AE与DF的关系。
【解析】
（1）猜想AE与DF的关系为互相平分。
（2）证明过程如下：
∵ $EF// AB$，$DF// BE$，
∴ 四边形$BDFE$是平行四边形，
∴ $BD = EF$。
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = EF$。
又
∵ $AD// EF$，
∴ 四边形$ADEF$是平行四边形，
∴ $AE$与$DF$互相平分。
【答案】
(1) 互相平分
(2) AE与DF互相平分，证明：
∵ $EF// AB$，$DF// BE$，
∴ 四边形$BDFE$是平行四边形，
∴ $BD = EF$。
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = EF$。又
∵ $AD// EF$，
∴ 四边形$ADEF$是平行四边形，
∴ $AE$与$DF$互相平分。
【知识点】
平行四边形的判定，平行四边形的性质，中点的定义
【点评】
本题是平行四边形判定与性质的综合应用题，解题的关键是从已知的平行条件出发，结合中点的性质逐步推导得到新的平行四边形，再利用平行四边形的性质得出结论，整体逻辑清晰，属于基础几何题。
【难度系数】
0.8
11.将两块大小相同的含$30°$角的直角三角尺($∠ BAC=∠ B'A'C=30°$)按图①方式放置，固定三角尺$A'B'C$，然后将三角尺$ABC$绕直角顶点$C$按顺时针方向旋转(旋转角小于$90°$)至图②所示的位置，$AB$与$A'C$交于点$E$，$AC$与$A'B'$交于点$F$，$AB$与$A'B'$相交于点$O$。
(1)求证:$△ BCE ≌ △ B'CF$。
(2)当旋转角等于$30°$时，$AB$与$A'B'$垂直吗？请说明理由。
(1)求证:$△ BCE ≌ △ B'CF$。
(2)当旋转角等于$30°$时，$AB$与$A'B'$垂直吗？请说明理由。
答案
(1)证明:$\because ∠ACB=∠A'CB',\therefore ∠ACB-∠ACA'=∠A'CB'-∠ACA',\therefore ∠BCE=∠B'CF$。
$\because ∠B=∠B',BC=B'C,∠BCE=∠B'CF,\therefore △BCE≌△B'CF$。
(2)解:$AB$与$A'B'$垂直。理由如下：
$\because$旋转角等于$30°$,即$∠ECF=30°,\therefore ∠B'CF=∠BCE=90°-30°=60°,\therefore ∠BCB'=60°+60°+30°=150°$。
又$∠B=∠B'=60°$。
根据四边形的内角和可知$∠BOB'$的度数为$360°-60°-60°-150°=90°,\therefore AB$与$A'B'$垂直。
$\because ∠B=∠B',BC=B'C,∠BCE=∠B'CF,\therefore △BCE≌△B'CF$。
(2)解:$AB$与$A'B'$垂直。理由如下：
$\because$旋转角等于$30°$,即$∠ECF=30°,\therefore ∠B'CF=∠BCE=90°-30°=60°,\therefore ∠BCB'=60°+60°+30°=150°$。
又$∠B=∠B'=60°$。
根据四边形的内角和可知$∠BOB'$的度数为$360°-60°-60°-150°=90°,\therefore AB$与$A'B'$垂直。
解析
【分析】
（1）要证明$△ BCE≌△ B'CF$，首先根据三角尺的性质可得对应边$BC=B'C$、对应角$∠B=∠B'$，再结合两个直角都减去公共角$∠ACA'$，推导出夹角$∠BCE=∠B'CF$，即可用ASA判定定理证明两三角形全等。
（2）判断$AB$与$A'B'$是否垂直，只需验证两线的夹角是否为$90°$。已知旋转角为$30°$，先推导相关角的度数，再结合已知的$∠B=∠B'=60°$，利用四边形内角和公式计算$AB$与$A'B'$的夹角，即可判断垂直关系。
【解析】
(1)证明：$\because ∠ACB=∠A'CB'$，
$\therefore ∠ACB-∠ACA'=∠A'CB'-∠ACA'$，
$\therefore ∠BCE=∠B'CF$。
$\because ∠B=∠B',BC=B'C,∠BCE=∠B'CF$，
$\therefore △ BCE≌△ B'CF$。
(2)解：$AB$与$A'B'$垂直，理由如下：
$\because$旋转角等于$30°$，即$∠ECF=30°$，
$\therefore ∠B'CF=∠BCE=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠BCB'=60°+60°+30°=150°$。
又$∠B=∠B'=60°$，
根据四边形的内角和可知$∠BOB'$的度数为$360°-60°-60°-150°=90°$，
$\therefore AB$与$A'B'$垂直。
【答案】
(1) 已证$△ BCE ≌ △ B'CF$；
(2) $AB$与$A'B'$垂直，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定，旋转的性质，垂直的判定
【点评】
本题结合三角板旋转的情境考查几何基础证明，解题核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，熟练运用全等判定定理和角度和差关系推导结论。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ BCE≌△ B'CF$，首先根据三角尺的性质可得对应边$BC=B'C$、对应角$∠B=∠B'$，再结合两个直角都减去公共角$∠ACA'$，推导出夹角$∠BCE=∠B'CF$，即可用ASA判定定理证明两三角形全等。
（2）判断$AB$与$A'B'$是否垂直，只需验证两线的夹角是否为$90°$。已知旋转角为$30°$，先推导相关角的度数，再结合已知的$∠B=∠B'=60°$，利用四边形内角和公式计算$AB$与$A'B'$的夹角，即可判断垂直关系。
【解析】
(1)证明：$\because ∠ACB=∠A'CB'$，
$\therefore ∠ACB-∠ACA'=∠A'CB'-∠ACA'$，
$\therefore ∠BCE=∠B'CF$。
$\because ∠B=∠B',BC=B'C,∠BCE=∠B'CF$，
$\therefore △ BCE≌△ B'CF$。
(2)解：$AB$与$A'B'$垂直，理由如下：
$\because$旋转角等于$30°$，即$∠ECF=30°$，
$\therefore ∠B'CF=∠BCE=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠BCB'=60°+60°+30°=150°$。
又$∠B=∠B'=60°$，
根据四边形的内角和可知$∠BOB'$的度数为$360°-60°-60°-150°=90°$，
$\therefore AB$与$A'B'$垂直。
【答案】
(1) 已证$△ BCE ≌ △ B'CF$；
(2) $AB$与$A'B'$垂直，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定，旋转的性质，垂直的判定
【点评】
本题结合三角板旋转的情境考查几何基础证明，解题核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，熟练运用全等判定定理和角度和差关系推导结论。
【难度系数】
0.7
